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PROPAGATION
DE
L'ÉLECTRICITÉ
HISTOIRE ET THÉORIE
COURS DU COLLÈGE DE FRANCE
PROPAGATION
DE
L'ÉLECTRICITÉ
HISTOIRE ET THÉORIE
MARCEL BRILLOUIN
PROFESSEUR AU COLLÈGE DE FRANCE
PARIS (V*) LIBRAIRIE SCIENTIFIQUE A. HERMANN
ÉDITEUR, LIBRAIRE DE S. M. LE ROI DE SUEDE ET DE NGRI^VÈGE 6 ET 12, RUE DE LA SORBO:iIIB, 6 BT 12
«904
AVANT-PROPOS
Ce livre est la reproduction assez fidèle des leçons"que j'ai professées au Collège de France pendant l'année 1901-1902. Ce n'est nullement un traité d'électricité complet et métho- dique; c'est, conformément, je crois, à l'esprit de l'enseigne- ment du Collège de France, un ensemble de leçons, très inégalement développées, suivant que le sujet dont elles trai- tent est plus ou moins connu par des publications françaises, ou qu'il m'a paru comporter quelques remarques historiques ou théoriques nouvelles. Quant au mode d'exposition et d'en- chaînement des idées et des faits, je ne le donne pas comme préférable à tout autre, mais comme assez différent de ceux qui sont ordinairement adoptés par les auteurs français, et en lui-même assez satisfaisant dans le domaine étudié pour provoquer la comparaison, faire réfléchir le lecteur et l'aider à construire pour lui-même l'édifice le mieux approprié à la nature de son esprit.
Je pense faire suivre ce volume, d'un second qui contien- drait les parties essentielles des leçons de 1902-1903 et de 1 904, aboutissant à la théorie des électrons, qui repose maintenant sur une solide base expérimentale.
J'ai été aidé dans la rédaction de ce livre par MM. Blanc et Blein, agrégés de Physique, anciens élèves de l'Ecole Nor- mal •, qui ont rédigé les leçons et revu les calculs avec un zèle
VI AVANT-PROPOS
et un soin dont je les remercie ; j'espère donc n'avoir laissé échapper aucune erreur grave, et peu d'erreurs de signes ou de notations. Presque tout le volume étail imprimé au début de l'année 1903, avant que les expériences Je MM. Pender et Crémieu eussent mis hors de doute Teflet magnétique de la convection électrique; mais' la publication a été retardée de plusieurs mois par le dernier chapitre. J'ai dû reprendre en effet la théorie des oscillations de l'ellipsoïde, et il m'a paru nécessaire de faire faire les calculs numériques indispensables pour rendre utilisables les fonctions qui définissent la distri- bution sur les ellipsoïdes, et la loi d'émission par les ellipsoï- des. Ces'calculs ont été faits par M. Kannapell ; des vérifica- tions et des contrôles assez nombreux ont été ména- gés ; je crois qu'on peut avoir pleine confiance dans les tables qui terminent le volume. 11 y aurait grand intérêt à ce qu'elles fussent plus développées; mais telles quelles, elles font sortir les fonctions 3^ et 8 des limbes de l'analyse pure et permettent de s'en servir dans la plupart des circons- tances, sans ôtre arrêté par des calculs préliminaires d'une longueur rebutante.
M. B.
HISTOIRE ET THEORIE
DK LA
P R G P A G A T I G xN
DE
L'ÉLKCTUICITÉ
LIVRE PREMIER
CHAPITRE PREMIER FIN DU XVIII' SIÈCLE. — GAV'EXDISII
1. — L'honorable Henry Gavendish est né à Nice, le lo octobre 1731, mort à Clapham, le a4 février 1810; il était membre de la Société Royale de Londres depuis 1760. Fils aîné de lord Charles Cavendish, hii-niême observateur précis et zélé (•), et de lady Anne Grey, il était directement appai-enté au duc de Devonshire et au duc de Kent. II pimiît avoir vécu assez étroitement jusqu'à la mort de son père, 1-83, dans les dépendances de l'hôtel paternel, a Great Malborough Street », et y avoir fait toutes ses e.xi)ériencc8 d'électricité. Tout différent des élégants démonstrateurs français qui ont légué à nos cabinets de physi<|ue tant d'apiKireils dont Icssup- 'j Ses observations sur la dépression capillaire du mercure {Ph. Tr., 1776), ont servi de contrôle à Young, à Laplace, à Poisson, à Ivory iMjur leurs théories.
1
2 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
ports de métal gravé ou ciscl(? ont coûté plus de travail que les pièces essentielles, H. Gavendish n'avait en vue que le but scientifique ; c'était, à ce qu'il semble, un « bricoleur » de l'école de Franklin, sa- chant obtenir la i)récision par les moyens les plus rudimentaires, em- ployant pins souvent le bois blanc qiu^ le métal pour la carcasse de ses appareils. Il entreprenait les recherches les plus laborieuses pour tirer an clair une difficulté que lui seul apercevait ; iiinis il néindu- vait aucunement le besoin de faire connaître les résultats de ses recherches, môme en conversation, car il était d'un caractère assez singulier et peu social )lc. Le D' Thomas Young, son confrère de la Société Royale et son contemporain, un des plus pénétrants physi- ciens du conimencement du xix" siècle et des plus érudits, ignorait complètement les travaux inédits de Gavendish, comme le montre st)n article de Y Encyclopédie Britaniiique. C'est lord Kelvin qui en a révélé la valeur (1849), stupéfait de trouver dan« un extrait
que lui montrait leur possesseur, Snow Ilarris, l'exacte valeur -(,
1 ,07
[- =^ . I du rapport de la capacité d'un disque circulaire à celle de la sphère de même rayon. Son vœu, que les manuscrits de Gavendish sur réleclricilé soient entièrement publiés, a élé cxuiicé par Maxwell, (jui en a mis en relief la singulière valeur, dans l'intro- duction historique et dans les notes théoriques qu'il y a ajoutées (*). Gavendish avait établi, dès 1772, la répulsion de l'électricité sui- vant la loi de l'inverse du carré de la disfcmce, treize ans avant que Goulomb établisse la môme loi pour les corps élcctrisés. Il avait déc<uivert la notion de capacité, utilisant constamment celle de potentiel, sous le nom de « degré d'élecliisation » ; il avait mesuré en pouces, comme nous faisons en centimèlr'es, les capacités de
{•) The eleclrioal rcsearches of the honourahU; Hbhiit Caverdish, F. H. S., wrilten hetween 1771 and 1781, edited froin the original manuscripts in the possession of the Ddke of Devonshirb K, G., by J. Clerk Maxwell, F. R. S. — Cam- bridge, at the Univcrsiiy Press, 1879.(358 pages dont 83 seulement avait déjà paru dans.les Tr. Ph., 1771 et i77().) Ce volume no contient aucune des autres recherches inédites do Cavendish, pas mémo celles sur lo Magnétisme qu'il parait avoir poursuivies de 1773 jusqu'à sa mort.
CHAPITRE 1. — PIN DU XVIlf SIECLE. CAVKNDISII 3
n)ri).s tle tliflï'ii'iilt's foriaes, les pouvoirs iiulucleurs sprcifùiucs de (liffi'it'nUs isolants, chorclié si elles «l«'peinl'*nt du potonlicl ; et, chose cuiinix, toutes ces dreoiivcrtes qu'un autre anglais illustre, Fara- ilay, refera un demi siècle plus tard, avec moins de netteté d'esprit, mais plus de focondil»'*, n'ont aucun point commun avec les travaux d'une perfection si achevée, puhliés par Coulomb à partir de 1785.
2. — De 1773 à 1781, Cttvendish fit toute une série d'expériences sur la résistance éleclrlipie, dont on ne connaissait, jusqu'à la publi- cation de ses notes de laboratoire, que les résultats suivants, donnés sans explications dans son mémoire sur la torpille (1776) : « le fil de fer roiiduità peu près 4oo millions de fois mieux que Teau de pluie ou l'eau distillée ; l'eau de nier ou une solution de 1 de sel dans :')() d'eau, conduit 100 fois mieux, et une solution saturée de sel luaiin, 720 fois mieux que l'ciin de pluie. » C'est tout ; le l'apport fcr-oau salée est exact pour la température de 1 1 " C ! Notons que la balance de Coulomb ne devait être inventée que neu! ans plus tard, rélectrosco[)e à feuille d'or onze ans plus tard.
Quelle méthode, ([uel instrument de mesure Cavendish employait- il donc? Une méthode physioloi;i(|uo ! Il comparait l'intensité de (liMix chocs pjir la sensation perçue aux poignets et aux coudes et appréciait quel était le plus fort.
<< Les conducteurs à comparer étaient, dit .Maxwell ('). pour la plupart, des solutions, de concentration connue, de sel commun ou d'autres substances. Ces solutions étaient placées dans des tubes de verre, de plus d'un mètre de long, courbés près d'une extrémité. Les tubes avaient été au préalable calibrés au mercure.
« Deux fils étaient introduits dans le tube, probablement à tra- vers des trous dans des bouch<jns à chaque bout, pour servir d'élec- trodes. La longueur de la colonne utile du liquide pouvait être changée en faisant glisser un des fils dans la paitie rectiligne du tube.
« Pour envoyer des décharges égales et d'égale force électromo- Irice à travers deux tubes différents, Cavendish choisit six arres de
(') Introduction, p. ltii et suiv.
4 PHOPAOATION DE L ELECTRICITE
ciipacité à peu près égale, parmi les quarante-neuf de sa grande batterie. Les deux tubes étaient placés de telle sorte ([uc les deux fils introduits dans les extrémités courbées communi(inaieat avec l'extérieur de cette batterie de six jarres. Les fils introduits dans les parties droites des tubes étaient attachés à deux morceaux de papier d'éhiin, isolés séparément. Les six jarres étaient alors chargées à la fois par le iiirmc (•uiidiiclriir, jus(iir;i ce ([ue rc-ledidiiirliv à balle de smviiu) iiuliiiuAt un degré convenable d'électrisation. Le conduc- teur (!(• charge était alors enlevé, et les" six jarres restaient avec leurs armatures intérieures isolées l'une de l'autre, et également char- gées.
« Cavendish prenant alors deux morceaux de métal, un dans chaque main, touchait avec l'un le papier d'étain attaché à l'un des tubes et avec l'autre, le bouton de la première jarre, de manière à recevoir un choc, la décharge passant à travers son corps et le tube 1 ».
Il recommençait avec le tube 2 et la seconde jarre ; [)uis avec le tube 1 et la troisième jarre, et ainsi de suite, en alteniani les tubes 1, 2; et comparait les trois chocs reçus à travers le iiil)e 1, à ceux du tube •>.. Ayiiiil tioiiv(' le< uns plus intenses, il cliaii^ieait l'enfon- cement du lil niétMlli([ue dans l'un des deux tubes, de manière à se rapprocher de légalité, et recommençait. 11 continuait ainsi jusqu'à inversion, et, de l'ensemble des essais, il déduisait (pielles longueurs des deux tubes rendaient les chocs bien égaux.
Plus tard, il paraît avoir employé la batterie entière de quarante- neuf jarres, groupées par sept, et avoir eu bénéfice à utiliser «me charge plus considérable avec moins de force électromotrice ('). Sa délicatesse d'appréciation devint vraiment merveilleuse, à en juger par l'accord des résultats entre eux, et par leur comparaison avec les résultats modernes les meilleurs.
Cavendish cherchait à quelle puissance d«» la vitesse (intensité du courant) la résistance (RI) est pro[>ortionnelle. Quatre séries d'expé-
(1) Probableracnl par diininulion d'importance relative de l étincelle au mo- ment du contact.
CHAPITRE I. FIN DU XVIIl* SIÈCLE. CAVB?(DISII 5
rionces. dont on trouvera le détail phis loin, au moyen de tubes d«; différents diamètres, contenant la mémo solution, lui ont donné les puissances
i,o8; i,o3; o,QyG ; >,oo;
et* tjiK^ nous ap|)eIons maintenant résistance (R\ paraissait donc proportionnel au.x puissances
-H 0,08, H- 0.0.3, — 0.024, 0,00,
lit' rinton<itt' I.
3 — Késumons les ri'sultats généraux de Cavcndish sur les dis- solutions (1776-1777).
La résistance des dissolutions de sol vari»* avec la température ; la variation est la même (juelle tiue soit la concentration, entre lo' et 35° C. Pour les solutions diluées, le protluit de la résistance par la concentration est constant (dilution maximum em|)loyée jwr Caven- dish : 20 000 . La n'sistance de l'eau varie avec son origine ; l'eau de pompe résiste4,2 fois plusipie leaude pluie, celle-ci 2,4 fois plus que l'eau distillée. La conductibilité de l'eau distillée augmente après ■'! ' / heures de séjour dans un tuhe de verre.
l'our étendre la loi énoncée pour les solutions faibles, juscpi'aux solutions les plus diluées, il suffisiiit à Cavendish d'admeHîe(nie««n eau distillée contenait déjà 1 : 1 20 000 de sel.
Puis, il compare divers sels en solctions kquivalb.mes (') à 29 de sel marin : sel marin, chlorure de potassium, sel ammoniac, sulfate de soude, nitre, carbonate de potasse, acide sulfurique, acide chlo- rhydrique ; il n'indique pas comment il a choisi ses poids équiva- lents, qui ne paraissent pas conformes à ceux qui avaient cours à ci'tte époque, mais sont i)Our la plupart très voisins des nôtres.
11 cherche aussi si le pa.ssage d'un amducteur à un autre cuise nno i-.'>i-.f;in<e p;ii iiiuli(''re : pour cela, il compare un tube ilont la
(>) N" bVi, p. 339 et n* 694, p. 36o Voir préf. de &1asweu, p. un et note 34, p. 445.
6 PROPAGATION DE L'éLECTRlCITÉ
solution est roiipôo en huit paitios p.ir dos gouttes de raereuro, ji un auliv dont la solution «'lail conliimn ; il ne trouve «lu'une différence iusij^uifiaiilo cntro les longueurs totales des solutions. Avec les faibles (|uanlités d'électricité mises en jeu, la polarisation ne pouvait jouer en effet ([u'un rôle insignifiant.
4. — Après cet aperçu, encore bien incomplet d('> li;i\aiix inédits deCavendish sur l'électricité, revenons avec un peu plus de détails sur la qnc-lioii (h l;i loi d'Ohm (*), et commençons par rappeler les idées (pii le guiduieiil en éle('lrostali(pie :
« Il existe une substance, que j'ai)pelle fluide électrique dont les particules se repoussent entre elles et attirent les particules de toute autre matière, avec une force inversement proportionnelle à une certaine puissance de la distance, moindre que le cube (^) », cette dernière réserve étant néressaire pour la stabilité. Les corps en sont renqdis, et sont dits saturés lorsque la quantité de fluide y est telle et tellement distribuée, f[ue « l'attraction du fluide élecliiqu(^ d'une petite partie du corps -m nue particule donnée de matière, soit égale à la l'épulsioii due à l;i iiialière delà même petite partie du corps ». Dans cerliilns corps, le fluide est immobilisé, ce sont les iso- lants ; dans d'au! l'es, il est mobile, ce sont les conducteurs. Par- tant de ces hyi)othôses, Cavendish montre la distribution rigou- reusement supeificielle de l'excès ou du déficit du fluide sur 1^ sphère, pour la puissance a ; la densité croissante du centre à la surface pour les puissances intermédiaires entre a et 3 ; décrois- sante, au contraire, i)our les i)uissances inférieures à a. C'est déjà le principe théorifjue de l'expérience, à laquelle il fait une rapide allusion, (|n'il <levait réaliser à la fin de l'année suivante, sans en rien publier, et (pii lui donna la puissance a à ± o,oa près.
5. - Oans loid cv méinoiie. poui- reconnaître l'équilibre théo- rique, il su|)|M)se coiislamrnenl les corps à comparer, réunis par un
(') V. 393-^97. M. '.,.,. :h 1-343. 3r)f)-3f)i.
{*) An att<mi|)l lo t!\|ilaia some of the principal plienomena of electricity, by means o(an elastic fluid. — Phil. Tr., 1771.
CHAPITRK I. FIN Dl' VVlll -Il M K (AVgNDISH 7
l'anal, dans lequel le flu'ulo t'^^l siiii|n»c iriidiiijiirssiMe ; c'est le fil niélalli(|ue finde nos lalsonnenienis actuels; et l'équilibre est atteint, lorsque la pression du fluide est uniforme.
u Pour juger, dit-il dans la deuxième partie de son mémoire (n* loa), si un corjjs A est éleclrisè positivement on négativement, sH|»posons (|uun autre corps Dde forme et de dimension données, soit plaeé à une distance infinie de A et de tout autre corps, surcharyé ou sous-chargé (over or under charged). Supposons que B con- tienne la même quantité de fluide que s'il communiquait avec A jwir un canal de fluide incompressible : alors, si B est surchargé, je dis que A est éleetrisé positivement ; s'il est souschargé, je dis que A est ('•lectrisé négativement ; plus le degré de surcharge de B est grand, plus le degré (Telectrisation i)Ositive de A est grand, et v. v. »
La définition expérimentale du potentiel est encore la môme aujourd'bui.
Les définitions théoriques se trouvent avec plus de netteté encore, dans un manuscrit préparatoire (*) resté inédit :
« Déf. 1. Lorsque le fluide électrique dans un corps est plus pressé que dans l'état naturel, je dis que le corps est éleetrisé positivement;...
< Déf. 11. Lorsqu'un corps contient jdus de fluide électrique que dans l'état naturel, je dis qu'il est surchargé ;... »
6. — Ainsi taniilier avec ces notions <listinctes de degré d'électrisa- tion et de charge électrique, habitué à l'usage des canaux dans ses rai- sonnements, partant de l'hypothèse d'un seul fluide, qui occupe tout respjjce, mais n'est mobile que dans les conducteurs, Cavendish t'tait naturellement conduit à regarder le fluide comme s' écoulant à tnivers toute la section, sans que le caractère su]H'rficiel de la distri- bution staticpie lui causât la moindre gène. Dès la fin du niéujoire jinblié en 1771. la proportionnalité de la résistance à la longueur est regardée comme évidente [U" i3i). 11 était également préparé à se représenter exactement le partage des décharges (Mitre plusieurs cir- cuits parallèles ; c'est ce qui lui permit de comprendre et de coor-
{' Thoughtt eoneeming electricity, p. 96, n* 201.
8 PROPAGATION DE l'ÉLKCTBICITÉ
donner des ph«'nomènes sinjiuliers obsorvés par G. Walsh (*), sur la torpille dans l'air et dans l'eau. Dès le début de son mémoire (''), Cavendisb explique que, la résistance du bain d'eau salée étant comparable avec celle du corps humain, le choc de la torpille dans l'eau est encore sensible, mais moindre que dans l'air, et il donne un calcul exact du partajïe de la décharj^^e d'une batterie entre le corps de l'observateur, l'eau, et le bois humide qui représente le corps de sa torpille artificielle.
7. — Beccaria avait déjà remarqué (1772) que le choc reçu à tra- vers un tube large est plus intense qu'avec un tube étroit. Cavendish précisa cette notion en novembre 1773. 11 compara (') les chocs très faibles de deux jarres soit à travers un tube soil à travers neuf tubes parallèles de verre de même longueur et de même section totale approximative que le premier, pleins d'une même solution salée faible : 3y pouces du premier contenaient 260 grains d'eau, 3y pouces des neuf autres contenaient 258 grains d'eau.
La différence fut douteuse ; pourtant le choc à travers le tube unitpie parut plus fort. Avec sept tubes seulement, la différence était manifeste.
Puis il compara une longueur de 44 pouces 1/4 du tube large à un tube ne contenant que 44 grains d'eau pour 87 pouces de longueur, et trouva que 8'', 4 ("st trop et 5p,2 n'est pas assez. Prenant la moyenne 6p,8 et comparant les rapports des longueurs et des sections, il trouva
1,08 f-, -Q \ 1.08-
M _ /44.V P _ /§\' 1
ce qu'il énonça en disant que la résistance est proportionnelle à la puissance 1,08 de la vitesse (supposée en raison inverse de la sec- tion).
(') Of the electric property of the Torpédo. — P/i. T>\, 1773. (2) An account of some attempU to iniilate Ihe effects of the torpetlo by electricily. — Pfi. Tr., 1776. (») N« 574. p. 393.
CHAPITHK I. — UN DU XVIIl* SifeCLB. CAVKNDI8R 9
DtMix autres fuhos, com|)ar('s h la mAine é|>oqiie, donnèrent l'ex- posant i,o;i.
Kii janvier 1781, huit ans plus tard, Cavondish reprit la même exp<^rience avec deux nouveaux tubes et trouva une première fois lVx|K>sant 0,976; la seconde fois 1,00.
I)'aili«^urs, ni dans le journal d'oxpôrionces, ni dans le relevé final des résultats, Cavendish n'a souligné l'importance de ce der- nier résultat — 1,00, — «jui se trouve au milieu des expériences sur les dissolutions ; il n'en est pas moins vrai que dés cette époque éloij,'née, Ciivendisli savait que la résistance d'un tube est propor- tionnelle h la longueur et en raison inverse de la section.
8. — Pour la comi)araison du fer et de l'eau salée, il opère autrement (')• Les deux bonis du fil de for de 2 54o pouces (12 pieds l)èsenl 1 4 grains) soni attachés à des i)oignées do laiton, tenues dans chaque main et la décharge se partage entre le fil de fer et le corps de Cavendish. Rem|)lacant le fil de fer par une colonne d'eau salée à saturation (i pouce contient 9,12 grains d'eau pure) il trouve que le choc est le même pour une longueur de 5,i pouces et diffère si on change la longueur d'un quart de pouce.
C'est seulement en 1776 que fut arrêtée la technique décrite plus haut par Maxwell et qui a servi à toutes les mesures sur les solu- tions.
Les données sont assez complètes pour que Maxwell ait pu inscrire à côté de chaque expérience la résistance en ohms d'après les me- sures (le Kohlmusch.
Pour les fils d»». cuivre, les essais faits en 1781 (*), ont j^ré- senté de grandes difficultés, et fourni des résultats assez singu- liers que Maxwell n'a pas réussi à reproduire.
9. — Stupéfait de l'étendue et de l'exactitude des résultats ob- tenus par (^vendish en appréciant l'identité des chocs dans di-
(1 N" f)-;»), p. 394- {*) P. 338-343.
10 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITK
versps circoiisfnncos, Maxwell a icprtt^ une (Hiidc, dont Caveiidish sriail occui)i' à diverses reprises, celle de rintensilé de la sensation produite par une décharge éloclrique (M. Cavendish s'attendait à ce que l'intensité du choc fût proportionnelle au produit de la quan- tité d'éleclricité par sa vitesse, ou, en langage aeluel, au travail électrique (lé])ensé dans le corps; mais l'expérience ne répondil pas h son atlento. Oi, on sait maintenant (pie la rapidité de la décluirge a une influence pré|M)iMli lanlo sqr la sensation. A Ii;i\(m> une ré- sistance R sans self inductioji, la loi de Tintensitc I en lonclion du temps csl. fonimo on sait,
t R
I = Ip e~ ^^
pour un potentiel initial ¥„ et une capacité C. Comment la sensation
V V
dépend elle de -^ et de CR? ou plutôt, quelle est la relation entre ^
etCR quand la sensation est la môme? C'est ce que Maxwell a étu- dié par la sensali(»n de choc qu'il ressentait dans les poignets et dans les coudes, en recevant la décliarge par les deux mains ])longées chacune dans un hatiuel d'eau salée — ou mieux par l'inscription de la secousse musculaire d'une grenouille. Pour des tem[ts CR qui ont
varié de o%oi à o",ooo oi, ^^ a varié à peu près comme (CR)°'^-'' ;
les quatre expériences de Cavendish que Maxwell a pu calculer con- duisent à des exposants du même ordre.
10. — De Ions ces résultats, (Cavendish ne pnhlia rien ; il n'en laissa rien savoir, ou à peu près rien, même à ses collègues de la Société Royale de Londres ; car il était peu commnnicatif : Maxwell note w«e visit(> de (Hi(I(|nes memhres de cette Société dans son labo- ratoire, pour voir les exi)éricnces sur la lori>ille. Dix ans de travaux assidus furent ainsi perdus pour la Science ; les lois si fécondes des capacités, des pouvoirs inducteurs, de la conductibilité des dissolu-
(«) Note 31, p. 437-44:}.
CIIAPITRB I. — PIN DU XVIII SIÈCLE. CAVKNDISH i 1
lions [resU'rrnl inconnues des suivants {)en<lant pins do trente ans ; elles avaient été découvertes ù nouveau et étaient acquises h la Science depuis près «l'un demi siècle, lorsque la publication des ma- nuscrits de Cavendisli fit à la fois admirer sa puissance de travail, ainsi que la pénétration «le son esprit, et roLToHor ?on imlifféronce jMDur le public et son dédaigneux silence.
GTIAPITRE II
DÉBUTS DU XÎX" SIECLE DAVY. — liARLOW. — BECQUEREL
11. — A peine ()l<]rstetU avait-il découvert l'action du courant sur l'aiguille aimantée, et Ampère les lois qui régissent cette action, que tous les physiciens se mettaient à l'œuvre. Parmi eux, up des plus féconds et des plus pénétrants, sir Ilumpliry Davy faisait connaître par une lettre au D' WoUaston ('), l'attraction des courants sur la limaille de fer, raimantation de l'acier par les courants d'une pile intense et par les décharges des bouteilles de Leyde, et tout un cor- tège de faits curieux ; il avait essayé l'action de laiiiiant sur l'arc électrique ; mais il ne réussit l'expérience que quelques mois plus tard, en employant la grande batterie de l'Institution Royale de Londres, formée de 2 000 cou[)les. Dans le mémoire (=") qui nous intéresse directement, Davy observe réchauffement d'un même fil immergé dans différents milieux, son attraction sur la limaille de fer ; puis, il se demande « si une courte longueur d'un fil fin, pré- servé de la fusion par le refroidissement, transmet toute l'électricité de batteries voltaïques puissantes ; » il fait un second circuil indé- l>endant, au moyen (1(^ doux fils d'argent partant des bornes de la batterie et plongeani (l;ms l'eau, « de faron que la décomposition
(') Oïl llie niamiclic phcnoinena produccd l)y Elcctricily. — P/i. Tr. for llie year x^-x\. Fart. I, p. 7—19 — Uciul. Nov. iG, 1820.
(2) Fariher researclies ou Ihe inagnelic phenomcna produœd by electricity ; with 8ome new experimenls on the properties of clpctrifiod bodies in tboir re- lations to conducting powers and tenaperatm-e
(5 Juillet i8ar. - Ph. Tr. i8ji. Part. II, p. 4a5-439.
CHANTRE II. — DÉBUTS DU XIX* SIÈCLE. DAVY. IIARLOW. BECgUERRL 13
chimique de l'eau indique un résiilu d'électricité dans la balteric >.
De cette façon, il trouve qu'un certain fil de platine refroidi laisse
un grand résidu d'électricité dans douze des batteries employées,
in.iis est capable d'en décharger cxactenieut six.
Ayant ainsi reconnu l'existence d'une limite à la quantité d'élec- tricité que les fils sont capables de transmettre, il devint facile d'ins- tiUier îles expériences sur les pouvoirs conducteurs différents dos différents métaux, et sur les relations de ce pt)uvoir avec la tomp<''- rature, la masse, la surface ou la longueur du corps conducteur, et les conditions de l'action électromagnétique. »
Davy fixe sa technique minutieusement ; en particulier, il employé la même solution d'acide et d'eau pour toutes ses batteries, ce qui semble indiquer qu'il travaillait toujours avec la pile neuve.
12 — Interrompant lanalyse du mémoire, fixons la théorie de la méthode.
Lors(iu'aucune bulle gazeuse ne se dégage sur le fil d'argent né- gatif, le débit à travers le voltamètre est devenu nul, et la différence de potentiel aux bornes a une valeur déterminée E^. D'autre part, la technicfue adoptée fixe la force électromotrice E de la batterie et sa résistance R, y compris les fils de jonction. On a donc, en appe- lant r la résistance du fil conducteur étudié :
E
R
13. — Davy observe d'abord que le pouvoir conducteur des métaux varie en sens inverse de leur température, quel que soit le procédé de chauffage employé. Un fil de platine étant chauffé au rouge par le courant, si on en chauffe une partie au blanc au moyen d'une lampe, le reste devient sombre.
Dès lors il a soin de maintenir les conducteurs dans l'eau froide ; néanmoins la régularité n'est pas parfaite ; « avec la batterie récem-
M PROPAGATION DE l'ÉLECTBICITÉ
mcnl cliargi'-f, les différences entre les conducteurs sont moins ac- cusées qu'avec une batterie usée (') ».
Quoi qu'il en sôit, en employant des batteries en nombre varié, Davy reconnaît que la conductibilité d'un fil est en raison inverse de sa longueur ; désormais, au Heu de clianger le nombre de batteries, il en conserve un nombre fixe, et chanj^e la longueur des fils h com- parer, ce ((ui permet d'opérer |)]us rapidement.
Il trouve « que le pouvoir conducteur d'un fil pour l'électricité est à peu près proportionnel à sa masse ; ainsi un fil de platine pesant 1,1 3 grain par pied et un autre pesant 6,7 grains, employés sous la mémo longueur, décliargent l'un une batterie, l'autre six ». On pou- vait d'ailleurs remplacer le gros fil par six fils fins côte h côte. « Ce résultat suffit à prouver que la surface n'a pas de relation avec le ptmvoir conducteur, ce que |)rouve mieux encore une expérience di- recte : des longueurs égales de fil de platine l'un rond, l'autre passé au laminoir de façon à sextupler sa surface, furent compa- rées ; le fil aplati conduisait mieux dans l'air, parce qu'il s'y re- froidissait mieux ; mais dans l'eau aucune différence ne put être perçue ».
Voilà l'expérience fondamentale de Davy sur ce sujet; on voit que le rôle de la section comiiaK'' à celui de la surface en ressort nette- ment ; mais en faisant intervenir la masse dans son énoncé, Davy laissait encore presque tout à faire, et ce n'est pas sans raison que nous verrons Obm combattre cet énoncé quelques années plus tard et revendiquer pour lui-môme la loi de la section.
14. — Le mémoire de Davy se termine par deux ex[)ériences intéressantes.
(•) Môme 81 l'absence de bulle n'indique pas un courant nul au voltamètre, mal» un courant minimum Iq ; il semble que la substitution d'un fil à un autre devrait exiger l'égalité de résistance; car soit Rq la résistance du volta- mètre, les équations
E - UI = Eo + Ilolo = r(I - lo) donnent
r - ■■^0 + j^'o _ . R
CHAPITHK ir. — DKBUTS DU Xlt" SIÈCLR. DAVY. IIARLOW. IIECQUBRBL 15
Formant uno batterie par une chainc de fils de môme diamètre, il constate (|u'ils s'ôchauffont d'autant moins qu'ils sont plus conduc- toure, dans l'ordre suivant de décroixsjmco : fer, palladium, platine, étain. zinc. or. ploiid). cuivre, argent; mais qu'ils attirent néan- moins tous le mèujt> poids de limaille de fer.
11 fait mi'^me une mesure en plongeant un fil d'argent et un fil de platine d<' mrme diamètre et de mc^me longueur dans des bains d'huile, que le premier échauffe de 4* et le second de aa*.
On voil, par cette analyse incomplèh', combien ce mémoire est nourri el intéressant. Kxtrayons-en pour finir, un argument contre le calorique : « Si la chaleur était uno substance, on ne saurait ima- giner qu'elle s«»it chassée du platine (chauffé par le courant élec- friqne), car une quantité de «haleur indéfinie peut être engendrée du même platine, aussi longtemps que le courant est excité, ou aussi souvent qu'on le renouvelle. «
15. — La même année, le mémoire de Gumming (') sur les piles thermoéleclrlques ne contient que ({neliiues indications peu impor- tantes sur la conductibilité.
Deux ans apn?s, le physicien Barlow (-), à qui ses perfectionne- ments de la boussole marine valurent une récompense nationale, constate qu'en euqdoyant des fils de cuivre de même longueur, mais de plus en plus gros, il arrive un moment oii une augmentation considérable du diamètre ne change rien à l'intensité du courant, et qu'il en est de môme avec le laiton. Il donne ses résultats corrigés des variations de la pile. Dans une série d'e.x[>ériences où il a fait varier la longueur d'un môme fil de 98 à 833 pieds, il compare les tangentes des déviations aux racines carrées des longueurs. « Les différences entre l'observation et le calcul sont trop grandes, dit-il, — (elles at-
(') Annals of Pilosophy, i8a3.
Canibr. Philos. Trans., p. 63, 1821.
C) On tlie laws of eleclromagnetic action, as deiK;nding on thc Icngth and dimensions of Ihe conducting wire, and on Ihe question, whether eleclricnl plionutnenn are due lo the transmission of a single on of a rompoand fluid.
l'iTSK Barlow. — Edinb. Pftil. Journ. XII, 1825, p. ior>-ii4.
16
PROPAGATION DE L ELECTRICITE
toignont ^ à > entre 3oo et 700 pieds !) — pour pouvoir traiter la loi su])posée eomme exacte, mais elles sont assez faibles pour que l'ap- proximation soit acceptable. » C'est seulement sous cette forme mo- deste que Barlow présente cette loi de la racine carrée de la longueur. Mais dans les résumés, on y mettra moins de précautions ; les éditeurs du Philosophical Magasine (*), dans une note du numéro de mars 1825, annoncent que d'après Barlow l'intensité diminue très sensiblement comme l'inverse du carré de la dislance, et que par conséquent « l'idée de construire des télégraphes électriques est chimérique ». Cette note de i3 lignes est traduite aussitôt, et com- mentée par Schweigger (^), à la suite du premier mémoire si impar- fait d'Ohm.
16. — La variabiUté de la pile rendait les expériences de Davypeu régulières ; dans un mémoire lu quelques années plus tard (3i jan- vier 1825) à l'Académie des Sciences (*), Becquerel, après avoir rap- pelé et critiqué la méthode de Davy, cherche à se mettre à l'abri des variations de la pile. Pour cela il invente le galvanomètre différen- tiel, et la méthode de zéro bien connue aujourd'hui, qui per- met de constater l'égalité de deux fils intercalés sur les deux circuits du différentiel, comme le rappelle suffisamment la figure, copie exacte de celle du Fig. 1 Mémoire original. Toutes i)ré-
caulions sont prises pour apprécier exactement le zéro du galvano- mètre, pour établir de bons contacts, pour maintenir les fils à la même température de la glace fondante.
(') Philos. Mag. and Journal, by Tilloch and by. Taylor, London, t. LXV, i8u5, p. aug.
(î) Jahrb. der Ch. Phys. Schweiocir, 1825, t. LXIV, p. 118.
(••) Du Pouvoir conducteur de l'électricilé dans les métaux, et de l'intensité de la force électrodynamique en un point quelconque d'un fil métallique qui joint les deux extrémités d'une pile. — Ann. Ch. Phys. t. XXXII, iSati, p. 'jao-43o.
( IIAIirUF. II. — DÉBITS DU Xl\* SIÈCLE. DAVY. BARLOW. HECyUKREf, 17
>. l'.iui uM.iiii la môme conduclibilitr dans deux fds de iiirme métal, il faut que leui*s poids soient proportionnels aux carrés de leurs longueurs ('), ou bien que les longueurs soient dans le rap- port des sections des fils. Cette loi qui parait rigoureuse pour toutes K's longueurs et grosseurs de fil, rentre dans celle qui a été observée par M. Davy... »
> La conductibilité électrique croît donc avec les niasses, et non avec les surfaces ; [tar consétjuent le fluide électrique en mouvement ne se porte i)as à la surface des corps conducteurs, comme lorsqu'il est en équilibre ; il pénètre dans leur intérieur. »
Becquerel définit ensuite les pouvoirs conducteurs relatifs des mé- taux comme proportionnels aux longueurs qui sous le même dia- mètre donnent la même conductibilité — il en fait l'application aux métaux tenaces en les étirant à la filière, et aux métimx mous en les fondant dans des tubes de verre calibrés.
Dé.sormais nous sommes en présence d'une méthotle de mesure correcte et de définitions précises.
17. — Dès la fin de cette même année, ce mémoire, paru au Bulletin de Férussac en mai, est analysé en détail, ainsi que celui de Barlow, et commenté jmr Schweigger dans son Journal (*) ; ces commentaires eux-mêmes furent immédiatement suivis d'une lettre d'Ohm, qui juge tout à fait insuffisante l'explication du désaccord entre Barlow et Becquerel au sujet de la loi de la longueur. Au sujet des expériences de Becquerel, Ohm, — qui n'a encore trouvé que sa loi logarithmique — insiste sur ce qiïe les fils comparés i)ar Becquerel n'ajoutaient que quelques décimètres à la longueur du circuit, suiMÎrieure à 20 mètres ; l'effet de ce petit accroissement est nécessairement proportionnel à sa longueur, quelle que soit la loi véritable pour le circuit total. « La loi de Bfirlow est donc, dit Ohm, bien plus exacte
(1) Exemple :
P P'
= 10.6:; (() ~ **''''^-
^) Jahrb. d. Ch. Phys. t. XLIV, p. 359-370, i8a5. Lettre d'Oui, p. 370-373.
18 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
quo celle de Becquerel » et concorde sensiblement avec quelques- unes de ses propres exiM'riences.
18. — A la fin de l'annre 1826, un physicien à qui Ton doit de nom- breuses recherches d'électrost<iti(|ue, mais assez peu judicieuses le l»lus souvent, W. Snow Ilarris, [)ubliait (') lui aussi des recherches entreprises au moyen d'un thermomètre à air traversé par le fil mé- tallique. Notant qu'on a depuis loufçlemps remarqué la relation in- verse entre réchauffement et la conductibilité (M. Children, par exemple, avec une large batterie galvanique), il compare les quan- tités de chaleur dégagées dans des fils divers de même longueur et de même diamètre, par la décharge d'une hatlerie de jarres se dé- chai'geant à travers une distance explosive toujours la môme ! Comme les fils n'étaient ni très longs, ni très fins, (o""",35 ou o""",7 de diamètre), l'énergie de la décharge se partageait inégalement entre l'étincelle et le fil, suivant sa nature, au point de donner 6 avec l'argent et le cuivre, et 72 avec le plomb.
On s'étonne de trouver, [)endant longtemps, ses nombres cités dans plusieurs Traités sérieux, à côté de ceux obtenus par des obser- vateurs corrects. Mais, bien que ces nombres ne mesurent pas la conductibilité, leur comparaison a pourtant conduit l'auleur à quel- ques remarques intéressantes sur l'absence d'influence de la forme cylindrique, ou rubanée, ou divisée en plusieurs fils, pour la même masse de métal sous la même longueur ; Ilarris parait avoir reconnu le premier l'influence considérable d'une petite quantité d'un métal dans un alliage (-), en particulier ce fait (|ue la conductibilité de l'alliage est souvent moindre que celle des deux composants, et non pas intermédiaire (^) ; on sait de quelle importance pratique ont été ces remarques en électro-technique.
(•) On tho relative powers of various metallic substances iis conductorç of electricity. — Ph. Trans. 1837, I, (i8-a4).
(2) Elain M]
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Or 3, Cu I.
• IIAIMTHK II. — DKBUTâ DU XIX* SiÈCLX. DAVY. BARLOW. BECQOBRBL 19
19. — C'est en celle uu^int' année 1826 que [tarait le mémoire dans lequel Olim établit enfin la loi véritable de la longueur par des ex- IMîrionces faites au nioyon du couple Ibermoélectrique.
finissant pour le oluipitre suivant, où nous étudierons louvre il Olim on dutiiil, les mémoires de cet éinincnt pbysicicn, cimslii- tons seulement qji'ils n'exercèrent pendant ime dizaine d'années au- cune action hors d'Alleraajine. Pouillet en 1829, dans la pnMnière édition de son Traité de Physique (') consacrait aux lois des courants porniaiienU^, à la notion de longueur réduite, données comme ré- sultiint de ses propres recherches, quelques pages, aussitôt tra- duites dans les Annales de Poggendorff (*) sous le titre de « Re- cherches sur la conductibilité électrique dans différents métaux», et auxquelles Ohm ne fait aucune allusion dans ses mémoires postérieurs. Mais ce n'est qu'en 1837 que parut aux Comptes Kendus le détail des exi)ériences de Pouillet avec toutes les conséquences qu'il tirait de la notion de longueur réduite, comme Ohm l'avait fait auparavant de son côté.
20. — Il est curieux de voir quels scrupules préoccupaient alors les jdiysiciens : critiquant la méthode de Davy, et décrivant la sienne propre, Bec<iuerel reconnaît que ni l'une, ni l'autre n'est « à l'abri de la perte d'électricité qui a toujours lieu ?) quand l'électricité passe d'un conducteur dans un autre. » (p. 76).
On aura une idée de l'incertitude qui régnait sur les ixJuvoirs conducteurs d'après le tableau suivant que j'emprunte à A. C. Bec- (luerel, en le condensant. (Voir le tableau de la page ao).
« De tous ces résultats, conclut Becquerel il n'y a que ceux qui sont compris dims la seconde et la quatrième colonne qui puissent être comparés ; car les autres présentent des différences trop consi- dérables. Nous le répétons encore, il en sera toujours ainsi, quand on n'opérera ims avec de l'électricité provenant de la même source. » Et voilà le second scrupule expérimental, aussi légitime qu'il est ou-
{') Kléments de Physique expérimentale, l. I, p. 7.^4. (■) Pogg. Annal, t. XV, 1829, p. gi-oS-
20
PROPAGATION DK L ÉLECTRICITK
blié, aujourd'hui qu'on le sait inutile : L'électricité qui provient de différentes sources n'a-t-elle point qu(!lque qualité particulière à chaque source ; la lumière, la chaleur, le son en ont bien ! Rien de plus instructif à ce sujet (pie la longue série de mémoires publiés par un physicien genevois, bien oublié aujourd'hui, Elic Wartman, pour reconnaître si Téleclricité n'est pas un état vibratoire, en essayant par exemple de produire quelque interférence d'action de deux (Irilioilcs ploiméos dans un liquide conducteur.
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25,3 |
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Plomb |
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8,3 |
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8,3 |
12,4 |
» |
21. — Une des questions importantes était encore la suivante : L'intensité du courant le long d'un circuit bien isolé, qui, définie éîcctrostatiquement, est évidemment uniforme sur toute la longueur du circuit, est elle aussi uniforme quand on la définit par les forces magnétiques *? Ne ^ changerait-elle pas de signe à l'intérieur de la pile ?
Fechner, en i83i, constate l'uniformité de la force magnétique le long d'une chaîne de métaux; Kohlraush, en 1 856, fait la même constatation pour l'action d'une cuve à sulfate de cuivre. Colley enfin doimc toute la précision possible à la constatation, en for- mant un galviiiioiiiètrc différentiel avcM- un fil de cuivre et un tube plein d'une solution de sidfalc de cuivre enroulés côte à côte.
CIIAPITRB II. DEBUTS DU XIX" SIECLE. nAVV. HARI.OW. HRCC/rEREL 21
Dans I»' Mémoiro dont nous avons ûv\ii dit un mot, Barlow (') avait rochorclié avec le plus grand soin, si l'action magnétique du courant ost la mémo auprès <les polos de la pile et au milieu d'un long cirouit. ot avait conclu de l'identité observée des trois déviations, à l'absence do fuites, et à la probabilité plus grande de la théorie des deux fluides. Cumming, avait en 182.3, remar([uéque la déviation do la boussole est de môme sens le long du bisiiuitb de la pile thormo- t'ioctrique que le long du fil de jonction. Wiedemann enfin fit la même constatation i)our la pile hydroélectritjue on construisant coUc-ci avec un tube de verre un pou long.
No sonl-co i)as là dos exemples frappants de l'origine oxpérimen- talo de notions qui sont devenues tellomont familièros qu'on ne con- çoit mémo plus qu'on ait pu en doutera Et pourquoi'!? Simplement parce que ces vérités péniblement conciuises par de longues séries d'expériences se sont condensées dans l'emploi d'un mot unique ' courant électrique », et que l'unité de dénomination semble indi quer coinmo inlnilive lidontité dos choses que désigne ce nom uni- (|in' : illusion utile à l'enseignement élémentaire, mais profondément nuisible à la philosophie de la science.
(>) On the laws ot Electro-magnelic Action, as depending on the length and dimensions of the conductlng wire, and on the question, whether electrical phenomenn are due to the transmission of a single or o( a compound fluid.
Ed. Ph. Journ. t. XII. 182 , io5-ii4.
CHAPITRE IIÏ OHM
22. — Geor^'cs Simon Ohm naquit le 16 murs 1787 à Erlangon ; il paraissait destiné à y exercer, comme ses ascendants depuis un siècle, le métier de serrurier ; son père, Wolfgang Olim, auquel ses lectures avaient fait comprendre l'utilité de quelques connais- sances scientifiques pour sa profession, lui fit suivre les cours du collège ; ses progrès furent si rapides que, sur le conseil du ma- tliématicien Langsdorff, G. S. Ohm entra à l'Université d'Erlangen en i8o3. Au l)out de trois semestres, il alla dans le canton de Berne, î\ l'institution de Oottstadt où il passa deux ans et demi, puis à Neufchàtel où il vécut de leçons particulières; il finit par revenir à Erlangen en 1811 comme professeur agrégé. Très peu de temps après, il fut envoyé à l'école royale de Baml)erg, dont la dissolution le laissa sans emploi.
En 1817, après treize années d'une vie incertaine, Olim fui nommé professeur de mathémati(jues au grand Collège des Jésuites de Cologne; c'est là «[u'il commença ses recherches expérimentales et théoriques sur le galvanisme.
Après une année de congé passée à Berlin, Ohm pnl)lia la « Théorie mathématique du circuit galvanique » en 18^7, mais sans attirer l'attention ; froissé d'avoir été mal reçu au Ministère quelque temps après, il se démit brusquement de la place qu'il oc- cupait à Cologne, et traîna une existence précaire jusqu'en i8.33, époque de sa nomination ù Técole polytechnique de Xuremlterg comme professeur de IMiysique, puis comuK^ directeur. Très absorbé par l'enseignement et l'administration, Ohm s'attacha pendant ces
CHAPITRE III. — OHM 23
>( ize amures à étalilir une tliéorie p6n(^ralo «les phénomt>ne8 physi- (lues, dont à peu près rien n'a «Hé publié, sauf (|uel«[ue8 mémoires d'Acoustiiiue.
Appelé en 1849 h Munich comme cons«^rvaleur des Collections de physique, en i85i comme professeur de physi«|ue expérimentale, il y publia un intéressant mémoire sur les phénomènes d'interférences dans les cristaux à un axe. Le 7 juillet i854, il fut emporté par une atta«|ue d'apoplcxi«». Il laissait à ses colir^gues do rAcadémie «les Sciences de Munich lo souvenir d'un savant impartial et modeste, nîsté bienveillant malgré les «lifficultés de son existence, et toujours simple, nn^me après avoir reçu de la Société Royale de Londres en i84i. la mé«laillc Copley, accompagnée d'un rapport (') (|ui mettait admirablement en lumi«>re rimportancc de ses travaux sur les courants électri(|ues.
23. — A répo([ue des premières recherches d'Ohm, les piles en usage étaient loin d'avoir une force électromotrice constante et indépendante de leur débit; aussi les résultats s'en ressentaient- ils. Dans son mémoire de 1826 (^), Ohm prend comme source un élé- ment Cuivre-Zinc à auge de o'",33 de haut sur o'",4o de long. Deux gios fils partant du cuivre et du zinc aboutissent à des godets de mercure dans lesquels on plonge les extrémités des conducteurs à comparer, qui sont : un pont gros et court (10 centimètres), et 5 fils (le 1, 3, G, 10 -^ et 9.3 pieds de longueur, et de o,3 ligne (o""",; en- viron) de diamt'tre.
Près d'une partie rectiligne des conducteurs fixes, se trouve une aiguille aimantée suspendue à un fil de tofsion, comme dans la balance magnéti(|ue de Coulomb. On mesure la force magnétique en intercalant les fils dans l'ordre suivant :
p<mt, 1, pont, 3, pont, 6, ptmt, 10 ^, itont, 23, pont.
!«) Proc. lioy. Soc. t., IV.
(-) Vorlaûfige Anzeige des Gesetzes nach welcliem Metalle die Confnctelec- liicitiit leiten. — Poffç. Ann. B'' IV. p. 79-88 : cl Jahrh. des Ch. P/iys. Hchioeigger, t. LXIV, p. 1 10-118.
2i PROPAGATION DB l'kLBCTRICITÉ
D'un gijind iiombio do séries, Ohm déduit les valeurs moyennes, seules publiées, de la perle relative de la force magnétique pour
chaque fil, comparé au pont évidemment -^-ï — L perte que repré- sente très bien (même pour un fil encore plus long) la formule empi- rique 0,4 1 log (i 4- l), en appelant l la longueur en pouces des fils additionnels,
Fil Pont I 3 5 10^ 23 7.5
Perte observée. o 0,12 0,25 o,35 o,43 o,58 0,78-0,75
Formule. . • o 0,12 o,25 o,35 o,^3 0,57 0,77
24. — Soupçonnant que la constante 1 correspond à la partie fixe de son circuit, formée de 4 pieds de gros fil ( 1 ',25) qui équivaudraient à 1 pied seulement do fil fin ('), il remplace prescfuo tout ce gros fili)ar du fil fin, ce qui donne pour le circuit fixe 2', 9 et une série d'expé- riences ainsi faites s'accorde très bien avec la nouvelle formule de porte
»,525l0g(l-H^J.
Ayant remarqué que lorsqu'on substitue un fil long au pont, la force magnétique croît pendant une demi-minute au moins, et que l'inverse se produit lorsqu'on remet le pont, co qui pourrait entraî- ner une erreur de doux divisions du tambour et môme plus (sur i5o au maximum), si l'on faisait les lectures trop tôt, Ohm fait deux nouvelles séries, bien concordantes, avec 4'', 5 de fil fin en circuit fixe, et la formule de perte qui les représente bien est
l
0,452 log (l-f-^)
(>) On voit qu'Ohm ne soupçonnait pas encore la loi de la section, car
^ X ({!)" = o.^ est plus petit que l'unité.
CHAPITRE III. — OHM 25
25. — L'exp<''rience établit donc la lt»i tU' peiU.' : tn log | i H — ).
Cctto loi rend hion compte dos effets observés par WoUaston, par Gilbert, et du fait nnnarjjué [mit Poggondorff, (jue, au delà d'un cer- tain nombre de tours de fil, l'action exercée par un multiplicateur n'augmente plus ; cette action doit même, si on continue à ajouter des tours de fil, décroîtro indéfiniment.
Le coefficient m déiwnd du circuit fixe, du diamètre du conduc- teur, et probablement de la tension de la pile. Un premier aperçu sur les changements de la pile, conduit Ohm à un énoncé paradoxal (*), remplacé dans une addition (*) par les deux énoncés suivants, qui sont exacts :
1 . La force électrique (électromagnétique) est, pour chaque con- ducteur, maximum au premier instant de la fermeture de la pile, puis décroît et atteint un minimum, en supposant invariable le con- ducteur liquide. Quand on ouvre le circuit pendant longtemps, elle reprend sa valeur primitive.
2. Ce minimum est beaucoup moins différent de la valeur initiale avec les longs conducteurs qu'avec les courts (à égalité de diamètre). Ce qui explique plusieurs faits connus relatifs à l'incandescence des fils à la WoUaston par la pile.
26. — Tel est ce premier mémoire (') d'Ohm, uniquement expéri- mental. Faute d'une pile constante, deux actions indépendantes, la résistance des conducteurs, la polarisation de la pile pour un débit déterminé, liées seulement par une technique invariable, conduisent aune loi unique dont Ohm ne pouvait rien tirer. Sachant ce qu'Ohm lui-même nous apprendra bientôt, nous pouvons écrire, pour chaque état permanent de la pile associée à un conducteur l
E = lp 'a -h l)
(') P. 86, Enoncé en italiques, (i) P. 87.88.
(>) Je laisse de côté nne digression sur la manière de régénérer la mousse de platine épuisée.
26 PROPAGATION DE L'ELECTRICITE
OÙ K ost la foicc ('leclroiuotricc fond ion de I, el p un fadeur constant. Or l'expérience a donné
log (l + „')
'0
on a donc
Œ L\ L — I
D'où l'on tire facilement la loi de polarisation delà pile employée par Ohm, en fonction de l'intensité qu'elle fournit
E = Ale-''^
loi très différente de celle (ju'il adoptera, cinq ans plus tard, comme conséquence de nouvelles expériences et des travaux de Fechner :
E = E„ — aL
et qui elle-même, n'est qu'une première approximation do la loi vé- ritable, trouvée par Crova (Ann. ch. et phys., t. LXVIll, 1 863 et t. IV, i8G5).
_ I E = A — Be * s
et généralisée par Bartoli (N. Cim., iSSo) on séparant le rôle des deux électrodes
E = Al — B,e "' Si -h Aj — B^e
=■2 8-
27, — Ce môme volume de Schweigger contient l'analyse des liu- vauxde Becquerel, de Barlow, avec des remarques do Sdiweigger et d'Ohm à ce sujet ('). ainsi qu'un ordre do conductibilité dos métaux par Ohm {Lettre, p. a4'>)'
L'année suivante ('), constatant le désaccord de ses résultats avec
(') Voir Ch. précédent.
{') Rcslimmnnj? des flesetzes, nach welchem Métallo die Coninclelectricitat leiten, nebst einetn Kntwurfe zu einer Théorie des Yoltaischen Apparales und des Schweiggerschen Multiplicators. — Jahrb. der Ch. Ph. Schiceigger, t. XLVI, i8a6, p. 137-166.
CHAPITRE m. OHM 27
ciMix tlo Haiiow »'t ceux <lo nocqucicl. qui vionnrnl tlf paniilrc, ninn reprend la «lueslioii en perfeclionnanl sa leclinique. Il note <I'abord que sa pilo à auges, fermée en conrt circuit, décroît lentement pen- ilant pins do deux heures, et remonte lorsqu'on ouvre le circuit. Pour éviter ces jurandes variations, il laisse d'abord la pile baisser considérablement avant de commencer les mesures, et quand la va- riation est devenue très lenle, il n'ouvre plus le circuit; il met le nouveau fil en dérivation dans les godets de mercure, avant d'enlever le premier.
11 détermine les longueurs équivalentes de différents métau-x sous lo même diamètre.
Puis il cherche la loi de la section sur des fils de diamètres com- pris entre o',i2 et i',4o et obtient le résultat suivant : « des conduc- « leurs eylindriques de même nature et de différents diamètres ont « même conductiliilité lorsque leurs longueurs sont proportionnelles « à leurs sections «Iroites : loi déjà obtenue par Barlow et par Bec- <' querel dans leurs recherches. » Les plus gros fils s'en écartent bien un peu, mais ceja est attribué par Ohm à l'état de leur sur- face.
Tout cela tient en di.\-sept lignes, sans un seul nombre justificatif, ('/est que la loi de la section pouvait être regardée comme accfuise l)ar les mémoires de Davy et de Becquerel ; c'est sur là loi de la longueur à égale section que jjortait le désaccord, c'est cette loi qui fait le principal o])jot du mémoire d'Ohm.
28. —Pour cotte recherche, dans laquelle le circuit extérieur est va- riable. Ohm aband(mne l'emploi, trop peu sûr. de la pile h auges et re- lourt, sur lo conseil de Poggendorf, à la i)ile thermoélectrique Cuivre-Bis- muth, associée à la balance de torsion magnétique comme lo montre la figure 2, exacte reproduction de celle d'Ohm, qui s'explique d'elle- même, ab ha! est le bismuth, dont les branches verticales s(mt fixées au cuivre chacune par deux vis. Ces deux branches verticales sont maintenues l'une à 100°, l'autre à zéro, au moyen d'étuves do laiton à double paroi, sans contact avec la vapeur ou la glace.
De la description détaillée donnée par Ohm, j'extrais seulemeut
28
PROPAGATION DK l'ÉLECTHICITK
ceci : l'aiguille aimantée est supportée par un ruban d'or plat ('),
préférable au fil de torsion rond, surtout pour la fixité du zéro, même après une torsion de trois tours en- tiers sur une longueur de 75 cenlimètres seulement; l'extrémité de l'aiguille, vi- sée à la loupe, était ramenée au zéro à A près, ce qui
correspondait à ] de divi-
4
sion du tambour supérieur de torsion.
Après quelques semaines d'usage, la pile thermoélec- trique est devenue ])arfaite- mcnt ctmstante. Pendant le passage du courant, l'ai- guille aimantée reste fixe indéfiniment, au lieu de subir ces mouvements irréguliers qu'on ob- serve avec les piles à liquides. A titre d'exemple, voici deux séries de mesures (i5 janvier) :
|
Longueur de» Cl» |
TorsiouB observées |
Calculées |
|
|
X pouces |
(IV) |
(V) |
6800 : {X + 20 •/4) |
|
a |
3o5i/i |
3o5 |
3o5V2 |
|
4 |
281 V2 |
aSa |
280 V2 |
|
G |
ar)9 |
a58«A |
259 |
|
10 |
334 |
223 1/., |
2243/4 |
|
i« |
178 i/. |
.78 |
177 V4 |
|
^ |
1-4 Vv |
"4^4 |
1 2') ' / 1 |
|
(i6 |
79 |
78 |
79 |
|
lioVI,]. |
44 V2 |
44 |
4:". |
(•) On sait en outre depuis Saint- Venant que le moment de torsion est con- sidérablement moindre pour le fil laminé.
CHAPITRE lil. — OHM 29
Plusieurs autres ne sont pas moins bonnes. La force nia^ucti(|ue est (loue bien donnée par la fonuulc
X = , .«- - .
I)au> les piles à li<|ui(les, la force ('Icctromotricc a (die errogcndc Kraft) csl inconipurableinent plus grande que dans les piles Ihernio- éli'ctriques (') et h n'est coniparablo que grâce à l'énorme surface des électrodes de la pile à liquide.
Cette formule est daccord avec celle qu'a obtenue lîccquerel [)our (le [)etites variations relatives de x par rapjwrt à h, qui comprc- nail la résistance du galvanomètre multiplicateur.
29. — Ainsi en possession delà loi de la résislancc des conduc- teurs. Ohm en poursuit immédiatement les apidicalions tlicKjriques : j'en donnerai seulement les énoncés abrégés.
L'intensité du courant fourni en court circuit par un nombre quel- conque d'éléments Volta en série est la même que celle d'un seul élément ; mais si les éléments sont montés en parallèle, l'intensité est proportionnelle à leur nombre.
L'intensité du courant fourni sur un circuit très résistant par des éléments en série est sensiblement proportionnelle à leur nombre.
Dans les autres cas elle est intermédiaire ; il cite à ce sujet des observations de Bischof.
Puis il discute le nombre de tours de fils du multiplicateur eu égard à la résistance du reste du circuit, et montre l'existence du maximum d'action, dépendant du nombre d'éléments de pile employés, de leurs dimensions, etc., d'une manière tout à fait conforme aux obser- vations antérieures publiées par Poggendorf sur ce sujet (1821), et dont Nobili n'avait rien soupçonné.
(') En note, p. i.'>6, Ohm indique l'énoncé de Davy ; « Ck>ndnctibilité propor- tionnelle à la masse du fil » ; en oubliant d'ajouter, « sous la même longueur » ce qui le rend faux. Il cilc l'intéressante expérience de conii)araison entre le fil rond et le fil laminé. V. p. 14 ci dessus.
30 PROPAGATION DB L'itECTRlCITÉ
30. — Quelques mois plus tard ('), Ohm annonce qu'il a été assez heureux pour déduire, avec Taidc des mathématiques, de la notion connue et fondamentale de tension électrique (electrisclie Span- nung) e/ilre deuv corps difjérents, deux lois relatives à l'état inté- rieur des corps qui subissent l'action de la pile électrique.
« Ces lois paraissent définir complètement le phénomène dans les conducteurs solides ; pour les liquides de la pile Ohm se réserve encore. Dans cctlc publication il énonce seulement ces lois, et en tire les conséquences principales pour les courants constants et uniformes, sous la forme même qui est devenue clas- sique depuis.
(( Ces deux lois fondamentales sont (^)
(a) X = kio j ,
ce (b) u — c = ± j a,
h, pouvoir conducteur de la matière ;
l, longueur du conducteur prismatique homogène ;
w, section droite ;
a, tension électrique entre ses extrémités ;
X, distance comptée sur le fil à partir d'une section arbitraire ;
X, force (SUlrke) uniforme du coûtant électrique tout le long du conducteur ;
M, intensité de rélcclricité qui agit sur l'électromètre au point oc ;
c, une quantité indépendante de x. »
L'équivalence des fils de longueur proportionnelle à leur sectit)n droite a été découverte « d'abord par Davy, plus tard par Barlow, Becquerel et moi (") », toutefois pour des fils qui ne constituaient qu'une petite partie du circuit total.
{•) Avril 1826. — Versuch eiiier Théorie dcr durch galvanische Kriifte her- vorgebrachten electroscopischen Erschoinung'în. — Pogg. Ann. VI, '|'ï<)'|'«i et VU, 45-.V,.
(2) P. ',fio, /. c.
(•'') Loo. cit., p. 4'i3. Je n'ai rien vu de si précis dans Barlow.
CHAPITRE III. OHM 31
" k définit lu conductibilité si)écifique de la même manière que les expériences de Becquerel et les miennes. » Toutefois, robserN'atioii que j'ai faite (sur l'argent) que des conducteurs de même nature chi- niiciue n'ont \ms toujours la même conductibilité semble indiquer Texistcnoe de quelque autre influence, or Quant à In loi (b), elle a clé déduite par moi antérieurement de nombreuses observations soignées fuites nu moyen de la pile tbermoélectrique, publiées au Journal de Sehweijiger » avec des applications variées.
A ces appréciations historiques il semble qu'il n'y ait rien à chan- jîer aujourd'hui : rimi>ortante loi de la section a bien été découverte par Davy. mais mal énoncée ; la relation avec les actions électrosco- piques et toutes les fécondes applications de ces deux lois réunies sont dues, sans conteste, à Ohm.
31 . - Voici un sommaire très succinct de ces conséquences théo- riques :
A. — Phénotnènes électroscopiqttes dans un circuit simple. — Notons que Ohm précise les circonstances extérieures qui influent sur la constante c, suivant que le circuit est entièrement isolé, ou est. par exemple, en communication parfaite par un de ses points avec le sol. Eli-ments associés en tension ; influence de la résistance du circuit extérieur compîirée à celle de la pile. Tensions électrosco- piques le long de la pile, en supposant qu'à chaque lieu de dévelop- pement d'électricité tout le changement de tension de la pile se pro- duit brusquement ; tensions dans le conducteur liquide. Etat d'un circuit qui contient deux piles en opposition.
Le mois suivant, Ohm écrit à Poggendorf ([ue rex})érience a con- firmé ses déductions théoriques (*). Une pile à colonne de cent dis- ques, fermée \m\v un fil de laiton de 3oo pieds et d'un sixième de ligne de diamètre, ne donnait entre ses pôles qu'une tension à i)eine sensible à l'élcctroscope condensateur et comi>arable à celle d'un seul élément ouvert. En remplaç;)nt le fil de laiton par un fil de fer très
(•> Km :vi^ulmg zii 'liin > (irblebeaden Aolsatz des H. D. Ohm. — Pogg. Ann., t. Vn, 117.
32 PROPAGATION DE L'ÉLECTniCITK
fin (il» i5) (le mt^me longueur, lu dislribution devint sensible même sans condensateur : Avec une pile à tasses de douze petits élé- ments, réunis par le même fil de fer, une extrémité mise au sol, l'autre extrémité « explorée au moyen d'un électromètre, sans con- densateur, très sensil)l<> » lui donnait une impulsion.
Ceci fixe bien la défini li(m expérimentale de la tension de Ohm.
L'exploration du liquide intérieur de la pile a donné des singula- rités.
32. — Toujours soucieux de contrôler ses vues théori(iucs, Ohm publie au début de 1827 de nouvelles recherches expérimentales ("). Il s'agit de la loi des sections droites de Davy, d'après laquelle « l'élec- tricité, pendant qu'elle parcourt les corps, est également répartie entre toutes leurs parties. » Cette propriété paraît si opposée à la distribution superficielle de l'électricité en repos, qu'une nouvelle preuve expérimentale n'est pas superflue.
Avec sa pile thermoélectrique et son galvanomètre de torsion, Obm compare d'abord un fil de laiton de 16 pouces 4 lignes de longueur avec un autre Ijont de même longueur laniiué jusqu'à être sept fois plus large qu'épais, et il trouve 129 i pour l'intensité avec le fil
rond, i32 - avec le fil aplati ; ces deux nombres doivent être regardés comme sensiblement égaux. Toutefois il perfectionne les prises de conUict avec ses godets de mercure, pour être assuré d'opérer tou- jours sur les mêmes longueurs ; et opérant sur 8 fils identiques pla- cés côte à côte, puis sur 3 fils différents combinés en dérivation de toutes les manières, Ohm trouve l'observation et la théorie d'accord à moins de deux divisions près du tambour de torsion sur un total de iooà3oo divisions; ayant constaté cette concordance étroite, il ajoute : « on voit combien la loi que j'ai établie diffère de celle trou- vée par Davy et confirmée par Becquerel ; et on pourrait encore exagérer cette différence en changeant les dimensions du circuit ». Celte différence n'existe que dans l'imagination d'Ohm.
(•) Kinige electrische Vcrsuche. — Jahrb. der Chem. Ph. Schweigffer, XLIX, i8-i7 p. t.
CHAPITHK m. — OHM 33
33. La théorie mathématique du circuit galvanique ('). — Le livre (roiini début»' jKir iiiir Introduction, loiiguo de plus de 3o [Migos, duiis laquelle léuoncé îles principes qu'il a découverts est appliqué h l'étude géométncpic et al^ébricjuo dos courants constants. C'osI une forme perfectionnée et complétée du mémoire de 1826.
Viennenl ensuite trois chapitres :
CuAi'iTRB A. — Considérations générales sni- la [)ropagation de l'électricité.
CiiAi'iTRE B. — Phénomènes de tension.
Chapitre C. — Phénomènes de courant.
Appendice. — Sur les actions chimiques qui se produisent dans le circuit galvanique et sur les variations d'intensité qui en sont la con- sé(pience.
34. — Sans analyser cette œuvre en détail, prenons-y quelques citations (pii nous renseigneront bien sur le vrai point de vue d'Ohm.
Premier principe. — Distribution de l'électricité dans l'intérieur d'un seul et même corps : « Je suis parti de la supposition qu'une molécule électrisée ne peut communiquer d'électricité qu'aux molé- cules conliguës, de telle sorte ([u'il n'y a jamais d'échange immédiat entre îles molécules situées à une plus grande distance. »
Dexi^ciènie principe. — Dispersion de l'électricité dans l'atmosphère ambiante. « J'ai adopté la loi que Coulomb a déduite de ses expé- riences »... « dans le cas d'un circuit galvanique, comme l'électricité circule en très grande partie dans l'intérieur des corps, il n'y en a qu'une très petite partie (jui soit soumise à l'action de l'air, de sorte que la disi)ersion est conq)arativement très petite et n'intervient que rarement dans les expériences. »
Troisième principe. — Mode de développement de l'électricité au
(i) Dii galvanischc Kette, mathematisch bearbeitet, von D' G. S. Ohm. Ber- lin, 1837, bel Riemaun.
En anglais, traduit par William Fbakcis. étudiant en philosophie de l'Uni- versité de Berlin, dans Scientific Mcmoirs... cdiled by Richard Taylor F. S. A V ol. II, 18', I. p. 4oi-'|36 et 437-506.
En français , Traduction, préface et notes par Gacgaih, iSGo, Maixet-Bacuilibk.
3
34 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
point de contact do «leux (•or|)s hétérogènes. « La force électromo- trice 80 trouve définie piir le principe suivant : Quand deux corps différents se touchent, il s'étahlit au point de contact une différence constante entre leurs tensions. »
« Ces deux dernières lois sont pnrenient expérimentales, mais la première est, en partie du moins, hypothétique. »
(( Les équations que l'on obtient sont de la raômo forme que celles qui ont été (Uablies par Fourier et Poisson [mur la propagation de la chaleur, et elles jxMivent être traitées d'une manière analogue... »
35. — Les altérations chimiques qui se produisent dans les parties li(piides du circuit c()mpli(iuenl le phénomène et en cachent la vraie nature ; « j'ai donc étudié séparément les circuits galvani(|ues qui iré[)rouveid, d'altération chimique dans aucune de leurs parties » et consacré un appendice aux autres... « Pour qu'une théorie soit utile et durable, il faut que toutes ses conséquences soient d'accord avec rohsei'vation et l'expérience ; or, en ce qui concerne la première classe d(î circuits ci-dessus juentionnés, cet accord est suffisamment établi, ce me semble, soit par les expériences antérieures d'autres observateurs, soit par celles (pie j'ai moi-même exécutées : ce sont ces evpériences qui nConl fait découvrir la théorie que je développe ici et qui ni'ont ensuite déteiininé à nCy consacrer entièrement. Il n'en est plus de mémo pour les circuits do la seconde classe... ; j'ai donc pris le parti de reléguer dans un coin cette classe de cir- cuits... »
36. — Même en faisant abstraction de la tradition acquise, il est fa- cile à ceux qui ont suivi les travaux expérimentaux d'Ohm, de voir par quelle éhiboration latente il a été conduit à l' « hypothèse » qui forme son premier i)i'incii)e ; peut-être peut-on regretter qu'il n'ait pas rai)pelé formellement au début de son livre le fait expérimental, qui iiVq)ose son hypothèse, celui de la participation uniforme de toute la section au passage du courant ; fait qui a tant étonné les physiciens d'alors (>l cpii surprend encore tellement ions ceuxciui ont été d'abord familiiii'isés avec rélectros|jili(|Me, même quand on ne prend jtas
CiuriTRE m. — OHM 35
plaisir ù joUt lo troiiiilo dans leur esprit en y ajonUint (l»*s le début la proïKKsilion paradoxale do Kirchhoff sur la densité nulle de l'élec- tricité dans le conducteur. Une des phrases citées plus haut et tout le reste du livre montre clain'ment que Ohm regardait la densité de réieetrieité comme finie dans le c<)n(hi('U'ur ; nous y reviendrons.
Notons encore, que tout en excluant de ses raisonnements certains les régions où se produisent des actions chimi({ues, Ohm traite de la pile de Volta, de sa résistance intérieure, etc. ; tous ses raiscmne- ments sont corrects, pourvu «[ue la force éleclromotrice de la pile et sii résistance intérieure soient constantes ; mais il ne soupçonne pas encore la liaison entre la force décomposante et la force électromo- trice.
37. — Il paraît inutile de résumer I'Introduction ; ce sont toutes les propriétés classirjues des circuits simples dans l'état permanent, exposées en faisant le plus large usage de la représentation géométrique linéaire <les tensions le long des circuits avec les sauts brusipies aux i^ints de contact hétérogènes, en insistant sur ce fait que la i)osition de la ligne brisée représentative n'est complètement déterminée que lors(ïu'an sait quel point est en communication avec le sol. Quant ;\ la différence entre les effets des piles thennoélectriques et ceux des piles hydroélectriques (constantes) sur les mêmes con- ducteurs extérieurs, elle provient uniquement de ce que la force élec- tromotrice et la résistance des premières sont beaucoup plus petites que celles des secondes.
38. — Au début du Chapitre A, Ohm définit la tension de l'électri- cité au moyen de l'électroscope, d'une manière qui, malheureusement, manque de netteté (') ; et après quelques réflexions sur le rôle utile des hypothèses mathématiques, il énonce ses hypothèses : « Quand deux éléments éli'<lri(|ues E et E' d'égale grandeur et de inème forme, sem-
(•) « On détermine la force avec laquelle l'électroscope est r«pon88é on at- tiré par le corps avec lequel on l'a mis en relation (Verbindnng) ; cette forcé sera appelée force électroscopique du corps A. »
36 ' PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITK
blablcinoiit placés rim par ra])i)()rl à raiilrc, mais (lou(''s de lensions illégales, sont situés h une distance convenable 1 un de l'autre, ils ma- nifestent une tendance mutuelle vers l'état d'équilibre, ils vont con- tinuellement en se rapi)rocbant de la moyenne de leurs tensions, jusqu'à ce qu'ils l'aient atteinte, c'est-à-dire que l'état électrique des deux éléments se modifie aussi longtem[)s qu'il existe une différence entre leurs tensions, et ([ue cet état devient invariable quand les deux éléments sont airivés à la même ((îusion ; par conséquent, la variation de l'état électri([ue et la différence des tensions sont deux (|uantités liées entre elles, de telle manière qu'elles disparaissent en même temps ; nous admettions que la variation de tension que les deux éléments subissent dans un instant extrêmement court (îst proportionnelle à la différence des tensions actuelles des éléments et à la grandeur du temps écoulé... »
39. — Remarquons de suite qu'il s'agit là d'une hypotlicse analogue à celle de Fouricren clialeur, mais bien moins naturelle. En chaleur, c'est un fait (jue l'échange se fait graduellement par rayonnement entre deux corps éloignés, et l'hypothèse de Fourier n'est pour ainsi dire que la réduction microscopique du fait d'observation. En électri- cité, rien de semblable : deux corps électrisés en présence, à distance un pou grande, dans l'air, n'échangent rien, à proprement parler ; chacun d'eux conserve sa charge, ou la perd d'une manière indépen- dante, par des fuites, c'est-à-dire quelque chose de très mal défini et de très confus ; ce n'est qu'à très petite distance que l'échange se produit, et cela d'une manière discontinue, par aigrette ou par élinccUe ; le phénomène directement observable sur des corps de di- mensions finies est donc très différent du phénomène moléculaire hypothétique en électricité (').
40- — « Nous avons admis, conformément à toutes les observations faites jusqu'ici (V), que lorsque deux éléments qui ont les mêmes formes
(>) A certains égards, une difficulté analogue peut-être soulevée pour l'iiy- potlièse do Fourier ; la réduction hypothéliquo aux dimensions nioléculuires, qui sont bien plus petites que les longueurs d'onde, est tout à fuit arbitraire et sans iustitication ; je m'occuperai ailleurs des échanges de ce genre. M. B.
CHAPITRE lit. -- OHM 37
extcri«'ures réagissent l'un sur l'autre, de manit^it' à mcxlifier i*éci- proquemenl leur état électrique, l'un i)erd en tension précisément autant ((ue l'autre gagin», aussi bien lorsque les deux éléments sont (le nature <lifférenl«'. que lorsqu'ils sont de môme nature ; si rex|)é- rience venait à démontrer plus tard que les corps possèdent une pro- priété analogue à celle que, dans la théorie de la chaleur, on appelle capacité, la loi que nous avons établie devrait subir une légère modi- fication que nous indiquerons à l'endroit convenable. »
« Lorsque les d»Mix éléments E et E' ne sont pas de in«*me gran- deui-, il est permis de les regarder comme des sommes formées de parties e-.ilt- raisonnement exclusivement géométrique.
« D'après cela il est évident que l'expression qui représente l'action mutuelle de deux éléments dissemblables, doit être proportionnelle non seulement à la différence des tensions et au temps écoulé, mais aussi au pitKluit des volumes relatifs des éléments ; à l'avenir, nous désignerons par un nom particulier la somme des tensions rapportée à la grandeur des éléments (ce n'est pas autre chose que le produit de la tension par la grandeur de l'espace sur lecpiel l'électricité se trouve réi)andue, quand la tension est partout uniformément répar- tiel. Pour désigner cette grandeur, nous nous servirons de Texpres- sion quantité d'électricité... »
41. — « La contluctibilité k établie entre deux points est une gnmdeur proportionnelle au produit que l'on obtient en multipliant la quantité d'électricité y transmise en un certain temps d'un point à l'autre ])ar la tlistance s qui sépare les deux points. »
Ces hypothèses et définitions ont pour conséquence presque immé- diate la formule
q = k dt
s
en appelant u et u' les tensions des deux éléments de volume entre lesquels se fait l'échange.
42. Laissant décote une digression sur la préférence accordée
38 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
h la mélhode (le Fouricr sur celle de Laplacc, nous arrivons en par tant (le ces priii(i|)es, à la définilion du courant ('leclriquo S
et par des raisonnements bien connus, à r('!qualion de propagation dans le fil cylindrique
du , d}u ,
(a) a,Y ^ = 0)^: ^^ - heu
10, est la section droite du fil ;
c, est le pcrim(''tre du fil ;
h, un coefficient qui d(:'pend de l'entât actuel de l'atmosphère .
43. — Quant à y, il importe de citer sa d(''finition, car Kirchhoff a eu à rectifier Ohm sur ce point, et Ohm avait laissé entre le gal- vanisme et l'électrostatique un profond fossé :
« La variation totale qu'éprouve dans l'élément de temps di, la tension u du disque M est
du j,
par conséquent la variation totale qu'éprouve dans le temps dl la quantité d'électricité appartenant au disque M est
du w -7— al ; dt
quand toutefois on admet que des changements égaux de tension correspondent toujours à des variations égales de ([uantité. Si l'ex- périence venait à démontrer qu'une même (juantité d'électricité fait éprouver à des corps difféients de môme volume des changements de tension différents, alors il faudrait encore introduire dans \\>\- pression précédente un coefficient y relatif à cette propriété des divers corps ; jusqu'à présent rexpéricnce n'a pas prononcé relativement à
CHAIMTHK III "MM IÎ9
l'flir (Pii'j.i u'U' tU>nl un e>l roudiiil ,i -M-tiix uniicr I exisleiic»* [lai la inuiiiiTc dont se coinporlo la chaleur ».
On le voit, Ohm n'a |)as un instant soupçonné le caractère super- ficiel de cette capacité, et son origine élecliostati(|ue ; il s'est borné à introduire ce terme par analogie avec la chaleur, supposant la ca- pacité par unité de volume caractéristique de la nature du corps. De ce fait, l'ieuvre d'Ohm est restreinte aux courants permanents.
44. — A la surface de contact de deux corps, les équations de continnilé sont
{u)-{u') = a el
du\ ,j , /du''
^-Q = *'•"' (s")
ou. s'il y a deux branches dérivées :
(î/) — (m') = o, (m) — {it!') = a'
;i\.'r
*"(Ê.)=*'-'(â^')-*-"'dl)-
45. — Dans le CiiAriTRK B, l'étude des cfmrants permanents est reprise, sous forme purement algébrique, pour un circuit homogène, puis i)our un circuit formé d'un nombre ([uelconque de parties en série.
A cette occasion, la notion actuelle de résistance est introduite s(tus le nom de longueur réduite.
Puis Ohm arrive au cas d'un circuit mis en communication avec lin condensateur.
n y a ici une idée fausse, rectifiée par Kirchhoff, (piil importe de mettre en évidence.
<i Soit r l'es/îrtcc sur lequel l'électricité se trouve i»'[iaiiiliit' dans iin circuit galvanique donné », u la tension d'un point en communi- cation avec un corps M indépendant du circuit, u' la tension de ce point avant la communication ; la variation de tension u' — u est
40 PROPAGATION DK l'ÉLECTBICITÉ
coîrimimc à tons lus points du circuit, (|ui perd |)ar conséquent une (juanlilé d'électricité r{u' — u).
Supposons maintenant que dans l'état d'équilibre la tension de l'électricité soit uniforme dans le corps M, où elle occupe l'espace 11, on aura
Rm = r (u' — u)
si le contîict ne <lévelop])o pas de force éléclromotrice.
Apres une a|)plicatioii an «ondensateur, le paragraphe se toniiine ainsi :
«... Les considérations théoriques aussi bien (jue les expériences qui ont été exécutées sur le courant électrique ne laissent aucun doute sur ceiioint, que l'électricité en mouvement pénètre dans l'in- térieur des corps, et que sa quantité est en rapport avec leur vo- lume. D'un autre côté, il est également certain que l'électricité en repos s'accumule à la surface des corps et que sa quantité dépend de leur étendue superficielle. Il résulterait de là que, dans les fo^nules qui précèdent, r représenterait le volume du circuit galvanique, quand celui-ci serait feimié, et son aire superficielle quand Userait ouvert. 11 n'y aurait pas, ce me semble, de grandes difficultés à cons- tater ce fait par expérience. »
On ne saurait être plus explicite, et l'erreur est manifeste ; mais il ne faut pas oublier (jue si les mémoires de Poisson étaient déjà anciens, le mémoire fondamental de Green (') n'était pas encore paru .
Quant à l'état permanent avec fuites, et à l'état variable, Ohm se borne en réalité à transposer les formules de Fourier pour l'ar- mille.
46. — Au Chapitre G, les phénomènes de courant permanent, sans fuites, la théorie des courants dérivés, celle de l'association des éléments de pile en série ou en quantité, celle du maximum du gal- vanomètre sont étudiés analytiquement.
(0 Es.say on the application of Mathematxcal Analysis to the Théories of Eleoiricittj and Magnetism. Nottiroham, 1828 ; et J. de Crelle.
CIIAI'ITBK III. OHM 41
Enfin le courant permanent S avec fuites est donné sous la fornu; (WiMiiH'nticllo connuo en fonction do .r el aussi sous une autre forme intéressante
S* = CJ ■+■ Aw. h. c. w*
en fonction de la tension it.
47. — Dans I'Aitkxdicb, Oinn cluTclie par des considérations liy- potliétiquos, qui dovaiiMit paraître acceptables de son temps, à dé- terminer la force de translation du courant, sa force décomposante, la force d'affinité et la force de léaction ainsi que la loi de conduc- tibilité des mélanges. Il obtient ces deux conséquences : la longueur réduite de la partie du circuit où la décomposition s'opère est inva- riable; l'intensité du courant S avant qu'aucune action chimique se soit produite, et l'intensité S' quand l'action chimique est arrivée à l'état permanent sont liées par l'équation
S' =3 S — - .*. (S' -H 'l. co. a)
L, étimt la longueur réduite de tout le circuit ;
«o, la section droite de la partie liquide du circuit;
*, un « coefficient de force électromotrice » (n° 38 du livre d'Ohm) ;
<l, une foncticm assez complexe (définie au n" 35) ;
et a, une densité (n° 32).
Ces deux lois, tout hypothétiques qu'elles soient, vont jouer un rôle important dans toutes les recherches ultérieures d'Ohm, et lui servir de guide poui- l'interprétalion de ses expériences sur les piles.
48. — Les théories d'Ohm ne devinrent pas immédiatement fa- milières aux physiciens.
Il dut fournir des explications à Pfaff d'Erlangen, rectifier des ci- tations de Berzélius, relever des critiques de Pohl (').
' .Nachtrâgo zu Ohm's mathematischer Bearbeitung der galvanischen Kette ; Sendschreiben desD"" G. S. Ohm, Prof, zu Berlin, an den Ilofrath Pfaff, Prof, zu Erlangen. — Arc/iiv. fur die gesammle Nalurlehre. KastiMkr, XIV, i.Sj8, p. 47>49'î.
42 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
A la suite d'un UK-inoirc do Sclnveifjj^cr en 1828, Ohui revint sur la lliéoi'ie du inultiplicalcur ('), entrant dans le détail, et vérifiant au moyen de nmlliplicateurs variés toutes les conséquences extrêmes et plus ou moins paradoxales de la théorie relativement à l'influence du nond)rc de tours de fil, de la giosseur du fil, de sa nature, cte., sui- vant la pile employée.
49. — D'autres ([iicslions le préoccupaient ; en particulier celle de la chaleur dégagée par le courant dans les fils conducteurs (^). Mal- heureusement, il ne rcmanjue pas que réchauffement du fil, étant indépendant du sens du courant, doit être vraisemblablement une
fonction i)aire de l'intensité; et bien que « les expériences de Chil- dren semblent indi({uer que le coefficient dont dépend réchauffe- ment ne fait qu'un avec le coefficient de conductibilité », il le traite comme distinct, et cherche à expliquer toutes les observations anté - rieures en « exprimant par I : / l'état d'échauffement des corps ». Gela vicie toute la première moitié de ce mémoire, bien qu'il retrouve au moins qualitativement un grand nombre de faits connus.
De ce sujet il passe sans interruption à des considéiations qu'il paraît impossible et inutile de résumer sur les fuites p;u' les pointes dans l'air ou dans les électrolytes. C'est l'époque où les moyens de travail expérimental faisaient tout à fait défaut à Ohm, et le carac- Irre de ses hypothèses s'en ressent.
50. — Continuant à réfléchir à l'objet de son Ap[)endice, Ohm réussit à simplifier beaucoup son hypothèse, en la rattachant à celle qui a servi de point de déjiart à sa théorie de la conductibilité (').
(') Experiinenlale Beitrfige zu einer voUstrmdigen Kenntniss des eleclroma- gnelisclien ÏMnlliplicalnrs. — Jaftrb. der Ch. l'/n/s. Scfiicfif^fjo-, t. LV, 1829, p. 1-7/,.
(■■*) Theorelisclio lIcrU-iluiiM tlcpi (ie^'l/e nacli welclit'ii sicli das Ergliilien von Mctalldi-riliten durcli die galvanische Kefte richtet, und nâhere Bcsliin- mung der Modification die dqr electrische Strom dnrch den Einfluss von S|>il/.(Mi crlcidct; — Archiv. f- fl iF^ Natwlelire, Kvst.nkr, XVI. 1829. p. i-.W.
r') .N'aclnveisiiuK eiiu's Uberganges vou dcii» Gct<cUc der Eieclrioilalsver- breitung zu dem der Spannung. — Archiv. fUr die gesammU J\aturlehre. Kastreh, t. .\Vn, i&iij, p. i-af).
CHAPITRK Ml. — OHM 43
Imaginons (|iu' les doux ('•h'^monta entre lesquels se fait r<'<'hfin;îo tl eliH'triciU' |»ossr«l(Mil, « oulrr l«»s tensions variables // et »,' ipii dé- pcndenlde rétat électriqn»', des tensions v, v', invariables Umt que la natiiro foncière dos éléments reste la même, agissant d'ailleurs h dislance suivant les mêmes lois que it el u',et intervenant de même dans rechange d'électricité » la (juantité d'éleclricilé échangée en dt entre les deux éléments sera
q =k dt.
Dans un conducteur homogène {v' = v) cela ne change rien aux conclusions antéiieures ; mais à la surface de séparation de deux conducteurs différents v' et v sont différents pour les deux élé- ments situés de part et d'autre de la surface, et comme leur distunce s est infiniment petite, le numérateur doit l'être aussi ; donc u' -hv' = u -h V, ce qui conduit à l'énoncé suivant (') : « Lorscjue deux corjis différents de forme ((uelcouque se touchent en un j)oint, il apparaît dans les deux corps, des dinix côtés de la surface de contact, des u électricités libres dont la différence est égale à la différence des électricités liées appartenant à ces corps ». Ainsi s'in- troduit par une hypothèse simple ia propriété des surfaces de contact.
Mais Ohm ne fait pas remarquer que la forme même de son hypo- thèse lui donne la loi des tensions de Volta, mais ne se concilie pas a vie l'existence des piles thermoélectriques (puisque ^ (v — v') est évidemment nul dans tout circuit fermé), ni même avec celles des piles à action chimique, à moins d'interpréter avec subtilité la ré- serve de l'énoncé initial : u tant ([ue la nature foncière îles éléments reste la môme. ».
51. — Quelques mois plus tard (*), Ohm ratUu'he cette liNpothèse aux idées moléculaires d'Ampère, en attribuant aux atomes une force
(') P i'(. On remarquera que le langage n'est pas bien fixé ; Ohm déf^igne Il et u' tantôt sous le nom de « eloctrische Kraft », tantôt sous le nom do « freie Electricitfit » ; de même pour v et r'.
(-) Ergûnzender Nuchtrag zu deni in diesem Archive erschienenen Aufsatze. — Archiv. fur d. ges. Nalurlehre, KASTiiKR, Bd XVII, 1829, p. '|:">3'|'ji.
44 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
déterminée, cai)al)lc d'attirer et de repousser les électricités opposées qui sont dans son voisinage. Toi il atome qui n'est pas neutre attire une électricité e( repousse l'autre ; et s'il est impénétrable Ji l'électri- cité, il demeure entouré d'une atmosphère électrique qui le neutra- lise. Cet état dans lequel chaque atome est neutralisé par son atmos- phère, est l'état naturel ; lorsque le corps exerce une action électrique au dehors, les atmosphère^ ne compensent plus exactement l'action atomique. Le corps qui par le contact avec un autre s'électrise positi- vement, est celui dont l'éleclricitéliée est la plus négative.
52. — Fechner, qui avait fait des exiiériencesexlrèmemenl soignées sur les lois des courants, exposa la théorie d'Ohm dans le troisième volume de la traduction de la Physique expérimentale de Biot, et Ohm y ajouta un supplément (1829) qui parut à part l'année sui- vante (i83o) ('), pour discuter quelques-unes de ces expériences, en particulier celles effectuées par Fechner sur des piles eau acidulée chlorhydrique, zinc-cui\Te, zînc-étain, étain-cuivre, pour différentes dislances des plaques, et différentes longueurs des circuits extérieurs. Après avoir discuté l'ordre de grandeur des erreurs de mesure de la force magnétique jiar la méthode des oscillations. Ohm montre que les divergences riKn-mes; trouvées par Fechner entre les forces ma- gnétiques observées et calculées, ne correspondent en réalité qu'à des erreurs de l'ordre de o"2, sur les durées d'oscillation des aiguilles ai- mantées et rentrent par consécjuent presque conqdèlement dans les incertitudes expérimentales, bien qu'une allure un peu systématique permette d'y retrouver la variation progressive de la foice électro- motrice depuis la fermeture du circuit.
Puis une étude expérimentale (^) aiiprofondie de la conductibilité unilatérale du savon, de l'albumine, de diverses flammes découverte par Erman, lui fournit loccasion de préciser ses idées sur les causes d(> l'affaiblissement apparent des piles.
(*) (îehorcht (Ho hydroolecirisclie Kette don von der Théorie ihr vorgeschrie- benen fîeselzen, oder nicht ? Frage und Antwort. — Jahrb. der. Ch nniJ Pfn/s.
(la'io), t. Lviii p. 393-429.
l^) Versuche zu einer nfiliern Rcstimmung der Nalur unipolarcr Loitor. — Jahrb Ch. Phys., (i83o), t. LI.\, p. 3.S4-43r) ; et t. LX, p. 32-r>9.
CHAPITRK III. — OHM 45
53. — En iSiii, (►araissent plusieurs mémoires (') d'Olun. Le ré- sultat le plus intéress^uit des nombreuses exiM'riences faites sur un seul couple avec l'électroscope Bolmenb«'rger est rinvariabilité «le la tension <le la pile, quelles que soient loutr'S ses dimensions, confor- mément aux expériences antérieures de Fecliner. La seconde partie <lu mémoire est remplie par une longue discussion des diverses opi- nions émises sur le siège et l'origine de la force clectromotrice dans les piles à li(iuides.
Dans le second de ces mémoires (') Ohm, reprend l'étude générale du circuit, la discussion de l'expérience du condensateur à plateaux /.inc-cuivre, la distribution des tensions lorsqu'on admet un saut brusque non seulement au contact zinc cuivre, mais aux deux con- tacts avec le liquide, à propos d'expériences de Pfaff, de Jœger, de Fechner, etc. Puis, décrivant les mo<lifications qui se produisent dans la pile depuis sa fermeture, il conclut que la force électromo- Irice et la résistance intérieure peuvent se modifier par le passage du courant. Pour montrer que les variations de la force électromotricc suffisent à expliquer les variations observées, il institue des expé- riences de mesure pour ces deux quantités séparément : résistance intérieure et force électromotrice de la pile (t. LXIV, p. 29-33). C'est à leurs variations sous l'influence des variations du circuit extérieur qu'il rattache les ondes (vvogen) de la pile, causes de tant de soucis pour les physiciens de cette époque.
54. — Enfin, il discute la question de la résistance au passage introduite par Fechner dans ses études sur les variations de la pile. Ohm regarde comme établie par ses études l'existence d'une force électromotrice négative (de polarisation) dans la pile, proportion-
(>) Verâuche iiber den electrischen Zastand der gosctilosseaen eiafachen gal- vanischen Kette und daran geknûpfte Beleuchtung einlger daukeler Stellen iû der Lehre vom Galvanismus. Jahrb. der Ch. Ph. Schtveigger, t. LXIII^ p. i-a6 ; 159-189.
(- An Thatsachen fortgeffihrte Nacliweisung des Zusammenhangs, in wel- clicm dit* niannifîfalUgon Kigcnfhrnnlichkeiten galvanischer, insbesondere Iiydroelectrischer Ketten unter cinanderstehen. — Jahrb. CU. Fh.Schtcetgger, t. LXlll, p. 385-444; t. L.\1V, p. tu.i; ; i^b-if)»; a.">7-a83.
40 PROPAGATION DE l'bLECTRICITÉ
nclle ù la (leiisilr tlu coiiriiiil <luns la pile ; ce qui, à résistance in- terae invariable, donne pour le courant initial (avec nos notations inoilerncs)
*» R et après que la polarisation s'est établie
d'où
E
1 =
R-^l
ce qui est la même formule que celle do Fcclmer. Tout en consta- tant col accord, Ohm défend son interprétation du phénomène. Puis il examine l'iulluenco de l'inégale étendue des deux électrodes et montre comment elle permet de déterminer séparément ce que don- nent chacune des deux électrodes dans le terme a : S, qui devient a' : S' H- a" : S". Enfin il c(mclut tout ce long travail, en exprimant sa satisfaction, je dirais presque son soulagement, d'avoir montré com- ment les actions qui se produisent dans la pile s'interprètent, elles aussi, conformément à sa théorie générale, et d'avoir ainsi levé les doutes qui l'avaient conduit à rejeter en appendice dans son livre de 1827 des vues un peu aventureuses sur les liquides dans lesquels se produisent des actions chimi(iues.
Cette discussion continue en i833 (') ; Fechner n'accepte aucune des remarques d'Ohm : celui-ci revient sur le sujet, tant au point de vue delà discussion numérique des expériences, (pi'au point de vue de l'inlerprélalion des formules ; Fechner tient à introduire une rév- sistance au passage, qui a longtemps encombré la science ; Ohm
(•) Zur Théorie der galpanixchen Kelte ; von Fbchkbb, t. LXVII, p. 137-134 ; — et même litre Oum, t. LXVII, p, i^i-Y)!^.
CHAPITRE III. OHM 47
maintient que cette action à la 8urlace doit être regardrecoiniiK* une force électroinotrice.
A signaler encore en i832 (') un mémoire d'électrostatique, à pro- pos d'expériences de Plaff dans lequel Ohm établit conrorniénuMil aux idées de de Luc (Nouvelles idées sur la inétéoroioj^ie, Cii. v et Ml) qoe les électriciU'S cachées dans les corps, agissent aussi bien (pie leséle<'tricilés libres, pour se reiK)usser ou s'attirer mutuelle-
llM'Ut.
55 -— D'après cette longue analyse des travaux d'Ohm eu élec- tricité, son œuvre nous apparaît sous un aspect auquel nous ne sommes pas habitués en France. C'est par un labeur ex[>érimental incessant qu'Ohm préparait ses méditations sur la propagation de l'électricité, tant dans les métaux que dans les liquides; ce ne sont pas ses hyix)thèses qui lui ont fait découvrir les lois des résistances et des courants dérivés, ce sont ses expériences. C'est parce que les hyiK)thèses de la théorie de la chaleur de Fourier, transportées en électricité, conduisaient directement aux lois expérimentales des courants électriques constants, qu'il les a si facilement adopté'es, tandis (ju'un excimen un peu approfondi eût pu le faire hésiter à les prendre pour bases de sa théorie. Ainsi considérée au milieu de ses autres mémoires, sa Théorie inalhémalique du circuit galvanique est bien ce ({ue devait produire dans un esprit capable d'abstraction la notion de résistance acquise expérimentalement.
Plus curieux des phénomènes naturels que des conséquences ma- thématiques et des applications éloignées, Ohm s'est contenté de montrer la fécondité de sa théorie dans le cas des courants cons- tants ; il n'a pas hésité à consacrer encore de nombreuses années à la recherche expérimentale des phénomènes qui se produisent dans les piles hydroélectriques, dans l'esiwir malheureusement déçu d'en résumer les lois aussi clairomont ot exactement qu'il avait réussi à le faire pour les métaux.
") Ueber cine verkannie Eigcnschaft der gebnndenen Electricitât. Jahbr Ch. l'hys. Schiceigger, t. LV, p. 129-147.
48 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
Bien que surtout connu par l'œuvre dans laquelle il a donné la forme matliémalique générale des lois des courants constants, c'est d'une curiosité de physicien qu'Ohm a toujours été animé. Aucune (les difficultés mathématiques existence cl unité de la solution, par exemple) ne parait l'avoir inquiété. Ohm était un vrai « Natur- forscher ».
GIIAIMTUK IV KIHCHHOFF. — CLAUSIUS
56 — Kirchhoff ne s'est pas attaqué dès le début aux principes mêmes de la tliéorie d'Ohm ; il a commencé par en faire des applica- tions : distribution du courant électrique dans un plan ('), théorie et expériences ; répartition du courant entre des circuits linéaires quel- conques (*) ; application des résultats précédents à des circuits dont certaines parties ne sont pas linéaires. (')
r/est dans ces Mémoires que se trouvent ce qu'on a appelé depuis, dans la théorie des courants dérivés, les deux lemmes de Kirchhoff ; dans le dernier, est établie l'équation de Laplace, pour l'intérieur du corps,
1 u = 0 et les équations de surface
h -^ -t- A , ^ = o, ri — ui = U,
pour la tension (Spannung) ii d'Ohm. On y trouve aussi les résultats suivants : la solution est unique ; la résistance d'un corps étendu en
> ' I l'eber den Darchgang eines electrischea Stromes durch eine Ebene, ins- besondere durch eine Kreisfôrmige. — P. A , LXIV, i845.
Nachtrag zu dem vorigen Aufsatze. — P.A.,LWU, 1846.
(*) Ueber die Auflôsung der gleichungen, auf Welche raan bei der Untersu- chung der Unearen vertbeilang galvanischer Strûme gefûhrt wird. — P. A., LXXII. i84:.
(») Ueber die Anwendbarkeit der Formeln fur die Intensitâten der galva- niâchen Strôme in einem Système linearer Leiter auf Syàteme, die mm Theil aus oicht Unearen Leitem besteben. — P. A., LXXV, 1848.
4
50 PROPAGATION DE l'ÉLECTHICITB
volume, avec deux petites électrodes fixes, est déterminée ; la quan- tité de chaleur définie par la loi de .loule est minimum avec la répartition d'Ohm.
57. — C'est seulement après s'être familiarisé par ces premiers travaux avec la théorie d'Ohm, queKirchhoff s'attaque aux principes, et met en lumière la relation précise entre l'électrostatique et les prin- cipes d'Ohm, relation entrevue d'une manière un peu confuse et in- termittente par ce dernier. Analysons en détail ce mémoire ('), court mais fondamental. Les hypothèses d'Ohm ne sont pas toutes compa- tibles avec ce que nous apprend l'électrostatique ; en particulier celle- ci, que, dans l'équilibre, l'électricité est répartie avec une densité uni- forme dans tout le volume du conducteur. Or il n'est pas douteux que l'équihbre doit apparaître comme un cas limite dans la théorie des courants ; Kirchhoff se propose de montrer comment les formules d'Ohm se déduisent des lois d'attraction et de répulsion électros- tatiques, à l'aide d'hypotlicscs tout à fait naturelles.
Dans un conducteur en équilibre, la force électrique est nulle à l'intérieur ; le potentiel est uniforme, et l'électricité est répartie uniquement à la surface. Lorsqu'on met en contact deux conducteurs différents antérieurement neutres, l'un devient positif, l'autre néga- tif ; dans chacun d'eux le potentiel de toute l'électricité libre est uni. forme ; mais il diffère de l'un à l'autre « car le calcul apprend que s'il avait la même valeur dans les deux conducteurs, l'électricité libre serait nulle en tout point, puisque l'électricité libre totale est nulle. Quant à la différence des deux valeurs du potentiel dans les deux conducteurs, elle pourrait dépendre de leur nature et de leur forme ; je fais l'hypothèse qu'elle est indépendante de cette dernière, et que cette différence de potentiel est la grandeur qui mesure la tension des deux corps ».
58. — Avant de suivre avec Kirchhoff les conséquences de cette hypothèse^ examinons-la en elle-même. C/est encore d'électricité en
{') Ueber die Ableilung der Ohm'schen Geselze, welche sich an die Théorie der Electroslalik anschliesst. — P. A., LXXVIII, 18^9.
CHAPITRE IV. — KIRCHHOPP. CLAISIUS 5i
repos qu'il s'agit ; et les principes d'électro8tati(iue sont insuffisants; les lois (le Coulomb ne distinguent ni conducteur ni isolant ; à for- tiori ne distinguent-elles pas un métal] d'un autre ; un conducteur hétérogène n'est, à leur égard, qu'un conducteur unique. Depuis cin- quante ans que Volta a découvert cette influence de l'hétérogénéité dos conducteurs, la confusion règne encore, en 1849, dans l'esprit de nombre de physiciens qui croient que les lois de Coulomb suffisent à l'explication des phénomènes électrostatiques entre conducteurs dans le vide; c'est qu'ils ne s'aperçoivent pas qu'en dehors des lois d'action entre charges électriques, formulées mathématiquement dans les lois de Coulomb, on est constamment obligé d'invoquer les lois d'action de la matière sur l'électricité, et réciproquement, mais que celles-ci n'ont i>as de formule mathématique. Telles sont : la définition du con- ducteur homogène, dont la matière n'exerce aucune action sur l'élec- tricité dans son intérieur ; la définition de l'isolant, qu'on traite comme impénétrable à l'électricité lorsqu'il entoure un conducteur, bien qu'on sache que l'isolant peut être chargé lui-même, ce qui n'est pas très cohérent. Dans l'énoncé mathématique, la matière a disparu : pour l'intérieur du conducteur, la force électrique est nulle; pour sa surface, la force électrique est normale ; et cette dernière équation n'est plus une équation d'équilibre complète, puisfju'on ne s'explique en rien sur le jeu de forces, dues à l'isolant ou au con- ducteur qui contrebalance la force normale due à l'électricité. De même, à la surface de séparation des deux conducteurs, une diffé- rence de potentiel finie, .c'est-à-dire une force électrique normale infinie dans une couche infiniment mince, est inadmissible, si l'on ne fait appel qu'aux seules forces de Coulomb, au même titre que dans l'intérieur d'un conducteur, puisque le passage de l'électricité à tra- vers la surface se fait d'ailleurs sans obstacle. Invoquer la différence «le nature des deux conducteurs, c'est précisément faire intervenir aussi la matière ; peut-être n'est-il pas inutile de l'énoncer formel- lement : A la surface de séparation de deux conducteurs, l'équilibre électrique dépend des actions d'origine électrique exercées suivant la loi de Coulomb et d'actions exercées par la matière sur l'électricité dans un domaine excessivement petit- Jamais Kirchhoff ne pousse
52 PROPAGATION DB l'ÉLECTRICITÉ
aussi loin son analyse, et à fortiori ne s'occupe de ces lois d'action raUtuolle de l'électricité et de la matière^ qui pourtant sont encore de la physique, et, par exemple, ont un rôle évident dans la production des étincelles. Suivi en cela par un grand nombre de mathématiciens modernes, Kirchhoff est satisfait lorsque l'hypothèse a pris une forme analytique, qui permet d'écrire les équations du problème. Ce sont H. von Ilelmholtz et Lord Kelvin qui ont recherché l(^ contenu de ce fait d'une différence de potentiel au contact, et ont fait pressentir tout ce que l'étude expérimentale approfondie du phénomène peut fournir de données sur les propriétés moléculaires de la matière.
59. — Revenons au mémoire de Kirchhoff : Dans une chaine de plusieurs conducteurs, dont les deux extrêmes sontde même nature, il peut arriver que le potentiel du dernier soit égal à celui du pre- mier, lorsque
dans ce cas on peut réunir les deux extrêmes, l'équilibre subsiste puisqu'ils sont à l'avanco'au même potentiel.
Mais si la condition d'équilibre n'est pas remplie, qu'arrivera-t-il au moment de la fermeture du circuit ? « En un clin d'œil, il s'éta- blira dans le système une distribution déterminée d'électricité. Ne nous inquiétons pas de savoir si elle sera superficielle ou en volume. Soit u le potentiel de cette distribution sur un point du conducteur ; u n'est pas une constante, c'est une fonction des coordonnées du point; en conséquence, les forces qu'exerce l'électricité libre sur l'électricité en un point intérieur au conducteur ne sont pas nulles. Soit R leur résultante ; s'il n'y a pas d'électrité libre au point consi- déré, R décompose le fluide neutre, entraine l'électricilé positive dans sa propre direction, et renvoie l'électricité négative à l'op- posé ». Les masses positive et négative ainsi mises en mouvement sont égales, ainsi que leurs vitesses ; il en passe une quantité k R par seconde et par centimètre carré, et le courant en transporte nécessairement des quantités égales en sens opposés.
CMAPITRK IV. — KIRCHHOFF. CLADSIUS 53
l.iifiii « la dilféreiue des valeurs du potentiel de toute l'éleclricilé libre, pour deux points infiniment voisins de part et d'autre d'une surface de contact est. par hypothèse, la même i)endant le passage (lu courant que dans l'équlliltro. »
Cela fournit immédiateinenl les lois d'Ohm ; le potentiel
V =
V
joue le rôle attribué i)ar Ohm à la tension u. Entrons à ce sujet dans quelques détails. La force R a pour composantes
__dV _«>V _dV.
Appelons densité du courant, le rapport do l'intensité qui traverse normalement un petit élément de surface à la surface de l'élément. Soient^',, ii, j\, les densités à travers trois éléments normaux aux axes de coordonnée?.
L'hypothèse que le courant a la même direction (jue la force se traduit par les équations.
('
|
Ji = |
hX |
|
■h = |
oy |
|
./.î == |
dZ |
60. Répartition de Vélectricité. — Considérons maintenant un parallélépipède et écrivons que ce qui entre par l'ensemble de trois faces sort par les trois autres ; considérons les deux faces normales à O.f situées à la distance d:c (fig. 3i. A travers la première, la den- sité du c<»unint est J,, à travers l'autre, elle est :
j^^^dx^.-kl'^^^dÀ.
54 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITE
L'excès de ce qui entre sur ce qui sort est ;
cV'V
— -^^ dœdvdz. = k. ~, dxdijdz.
Pour l'ensemble de toutes les faces, l'excès est donc
/••
dX'^
iM/
— T, ) dxdydz î>z^ I -^
et dans le régime permanent on doit avoir
o.
Mais on sait que :
AV = — ^r.e
en appelant e la densité en volume de l'électricité libre.
La densité de l'électricité libre est donc nulle dans tout l'intérieur des con- ducteurs parcourus par des courants permanents. C'est là un résultai tout à fait différent de celui d'Ohm, qui pen- sait que la répartition de l'électricité en volume était directement donnée par la valeur de u, (notre V actuel).
Les conditions à la surface sont, comme celles d'Ohm, pour la surface
libre, en contact avec l'isolant :
^n
= 0.
et pour la surface de contact de deux conducteurs
,^N
' 0//,
les normales n, n^ étiint prises vers l'intérieur de chaque corps.
CHAPITRK IV. — KIRCHHOPF. CLAUSIUS 55
61. — Cette théorie a un caractère tout à fait général, elle s'ap-. pli<iue avec succès aux expériences, telles que celles de Kohlrausch (1849), dans les(iuelles un point d'un circuit fermé est relié à un l)lateau d'un condensateur.
Nayant fait intervenir que les lois de Télectrostatique, et non celles de Weber. on n'a pas encore une vue d'ensemble de toutes les lois des courants fermés ; mais pour établir l'accord des considérations actuelles avec la loi de Webcr, il suffit d'y ajouter l'hypothèse que « la force nécessaire pour séparer les deux électricités de l'élément de volume v, peut se calculer en traitant ces deux (''I« rtru ités comme en repos » comme rexpli((ue Kirchhoff en finissant.
Sans doute le résultat relatif à la densité nulle de l'électricité dans le conducteur qui charrie un courant, est d'apparence para- doxale ; mais l'existence des électricités positive et négative n'est- elle pas elle-même un paradoxe ?
62. — Revenons maintenant à la fin du mémoire précédent de Kirchhoff. Joule avait établi, par ses expériences de i84i, que la chaleur dégagée en une seconde par le passage du courant i dans un fil de résistance ?% est proportionnelle à rP. Appliquons cette loi à cha(iue élément de volume du conducteur. Ayant tracé les tubes de courant et les surfaces de niveau, prenons pour élément de volume ds (/S, une petite tranche ds, de base (^S, d'un ces tubes ; l'intensité
du courant est/i- — rfS, ce qui donne
kdS kdS \ ds J \ds /
et remarquant que
/dV\' /ftV\- /à\Y /àXy (aTJ ={.:.) -^(.>J -^Lz)
56
PROPAGATION DE L ELECTRICITE
on voit que la quantité do chaleur dégagée dans tout le conducteur est
Q = V/,.
///[(")'-(%')'- (")>-^--
63. — Cette quantité est minimum lorsque le potentiel obéit aux lois d'Ohm pour l'état permanent
AV = o intérieur
an i>ni
surfaces de contact
<-»;i
= o surface libre.
Formons en effet, la variation de Q en supposant que V soit aug- menté partout d'une quantité œ variable d'un point à l'autre, il vient rigoureusement
sQ = y/.
2 J-4-
dX dX
^ ] -+- ... I dx dy dx
f)X)
Intégrant par parties les termes du premier groupe, suivant la transformation de Green :
>V/
SQ = ,
Ci - «s — -1 > /.■ ' à7l -— ^
^\\ dxdydz
Z'* / » /»
^'j j j\m-^m-^'^'^''
et toute la première ligne est nulle, quel que soit cp en vertu des équations do 1 état permanent d'Ohm.
CHAPITRK IV. — KIRCHHOrF. CLAUS1U5 57
Tous les termes de la seconde ligne sont évidemment positifs ; une variation quelconque ç;, par rapport à la distribution permanente, augmente donc la quantité de chaleur dégagée suivant la loi de Joule.
64. — On peut donner facilement une autre expression de Q : En effet, on a, i)ar la transformation de Green
*^ «^ t
^//(''^'-'■<)
dS
puisque AV = o.
Aux surfaces libres'— = o : aux surfaces de contact, les équa- tions
V — V, := U
k h A-, — =o,
permettent de réduire les intégrales de surface à
. = -V.J.,g
rfS
ou en appelant i l'intensité qui traverse la surface dans le sens posi- tif choisi pour V
Q = ^ r/.
Telle est l'expression de la quantité totale de chaleur que Kirchhoff donne, en dernier lieu, comme équivalente à celle de Joule, en vertu des lois d'Ohm (i848). Nous allons voir quel parti Clausius va en ti rer quatre ans plus tard.
58 PROPAGATION DE L ELECTRICITE
65. — Clausius avait appliqué, quelques mois auparavant, les principes de l'électrostatique, à la recherche de l'équivalent méca- nique d'une décharge électrique et de réchauffement qu'elle produit dans un corps conducteur ; il en fait une nouvelle application aux courants constants (').
Rappelant l'expression électrostatique du travail
des forces électritjuos sur une charge électrique q qui passe du poten- tiel V, au potentiel V^,, il en déduit que pour un courant de densité j, le travail relatif à l'unité de temps, dans l'élément de volume dndS du tube de courant normal à l'élément de surface dS, est
fl?E = — jdS. — dti.
Dans un tube de courant, on a donc
5 = î(V, — V,)
entre deux points où les potentiels sont Vi et V.^. En remplaçant Vi — Vj d'après la loi d'Ohm, il vient
Que devient ce travail? Dans un fil cylindrique rélcclricité marche avec la même vitesse tout le long du fil, il n'y a pas d'accélération ; donc sur toute la longueur le travail des forces électriques est em- ployé tout entier à vaincre la résistance qu'oppose le fil. Clausius admet ((ue ce travail se manifeste uniquement sous forme de cha- leur. La loi (l'Ohm et les principes de l'électrostatique conduisent donc pour les courants permanents, à la loi de Joule.
66. — Il imi)orte de faire (luehfucs réserves au sujet de celte manière d'arriver à la loi de Joult\ L'expression R«- n'ai)paraît ici que comme
(') L'ebcr die hoi cinem slntionarcn elcclrischen Stromc in dem Leiler ge- thane Arbeil und ereeugle W'iirme. — Fo^/ff. Ann. LXXXVII — (i85a) p. 4i5.
CHAPITRE IV. KIRCHHOFF. CLAUSIOS 59
équivalente à l'expression i(V, — V,\ et rien n'indique laquelle de ces deux formes est l'expression immédiate de la loi physique, ou mùme si 00 n'en serait p«is une troisième, „ (V, — V,)*, par exemple, qui donnerait en toute circonstance la vraie valeur de la quantité de cha- leur dégag«V. Pour bien comprendre la iwrtée de cette restriction, qu'on admette un instant cette dernière forme, comme applicable aux courants variables, et. raisonnant comme Hehnholtz ou Thomson, (fu'on recherche les lois des courants induits aux«{uels elle corres- pondrait ! La loi de Joule, que la chaleur dégagée est Ri- en toute circonstance dans un fil homogène, est une loi expérimentale, et il ne faut pas oublier, pour l'établir, de citer non seulement les expé- riences de Joule avec courants i)ermanenls, mais les exjiériences exé- cutées par lui avoi- !•»< conranU diiuluction.
LIVRE II
COURANTS PERMANENTS OU VARIABLES SANS INDUCTION
Désormais, toutes les équations sont écrites en unités électromagnétiques.
Loi de Coulomb
f_a'ee'
Équation de Poisson
dx\ à/:) ày\ dy j itz\ àz / iî désigne la vitesse de la lumière dans le vide.
CHAPITRE PREMIER
COURANTS DANS L'ESPACE
67. — Uésumoiis les résultats acquis, en leur donnant un peu plus (le génémlilé.
Dans un conducteur isotrope homogène, la densité de courant est liée à la force électrique due à l'électricité libre, dont le potentiel est V, par les équations
; ôV
Dans un conducteur isotrope mais hétérogène, la force qui agit sur l'électricité contient doux termes, l'un qui provient de la distri- bution électrique, l'autre qui provient de la distribution de la ma- tière ; nous appellerons cette dernière force E, force électrique d* hétérogénéité.
(I) U = /.-(-f-B.),
Pour une substance isotrope, et pour une hétérogénéité simple,
CHAPITRE I. — COURANTS DANS l'kSPAC* 63
cette force est évideniinont normale aux surfaces d'égale cctinposi- tion c. et foncliuii continue de la Nari.ilion df coniposilion ; on peut donc l'écrire sous la forme :
E, =8{t)~. ce qui donne aux équations la forme :
*^ \dX ^ ' àX]
Mais, lorsque riiétérojîénéité est multiple, due par exemple à la présence simultanée de plusieurs substances qui se diffusent et réa- gissent Tune sur l'autre dans un liquide, il peut n'y avoir pas de surface d'égale composition, et la force électrique d'hétérogénéité peut même n'être pas une somme de termes provenant de chacune des hétérogénéités considérées isolément ; tout semble indiquer jus- qu'à présent qu'elle n'est pas fonction directe du courant et qu'elle n'en dépend que par les hétérogénéités que crée son passage.
68. Courants variables. — Par suite de la définition même de la densité de courant, nous avons par la considération déjà em- ployée d'un petit parallélépipède rectangle
^h ^^i ^^h — -. ^^
dX dy dS àt
en appelant e la densité de l'électricité en volume au point considéré. Nous emploierons dans la suite une notation et un langage abrégés qui commencent à se répandre, et nous écrirons :
que nous énoncerons « Divergence de j égale... » ; c'est l'équation de Conservation de l'électricité.
64 PROPAGATION DB l'ÉLECTRICITK
Dans un conducteur homogène nous aurons : Div.i= — AAV ou :
en appliquant la relation électrostatique, que je suppose connue. K. AV = — /ir.œe
dans un milieu tle pouvoir inducteur sp('!cifiqup K ('). Intégrons par rapport au temps, il vient :
e = c^e l^
Dans un milieu conducteur homogène, les densités internes dis- paraissent sur place, exponentiellement. Cette disparition est d'ailleurs extraordinairement rapide dans les métaux.
Le temps - de chute dans le rapport do i à e = 2,78... est donné par le tableau suivant :
Conducteur -,- . ^ , = t
Guivre 1,4 lo""'"* seconde
Bismuth 1,12 io~'' »
Solution tarturée de sulfate de cuivre 1,00 lo"'" »
Solution étendue de chlorure de potassium (-)
(80 io~ gr. par centim. cube) 10""^ »
Verre ordiuaire peu isolant 10
69. — Mais il n'en est pas de même des densités superficielles. Dans un conducteur hétérogène, isotrope, il vient :
Div.^- = Div. (— /. |2) - Div. (A-Ei,
{«) Sans discuter ici toutes les questions que soulève la représentation, à coup sAr insuffisante, des propriétés spécifiques de chaque corps au point de vue électrostatique, au moyen d'un seul coefficient K.
('•! En prenant 80 pour le pouvoir inducteur spécifique.
CHAPITRE I. — COURANTS DAMS l'bSPACB 65
avec ;
dV
I>iv.(KS)=-4.U'.
et si A" ne varie pas proportionnellement à K, il n'est plus possible •Vrliminer V. mais on peut toujours ôliminor e ot l'on obtient :
(II)
Div. [/.E +/1?.^' H- . 'u, ° (k^^)1 =.o.
Telle est l'équation fondanien taie du problème que nous étudions actuellement.
Lors(jue l'hétérogénéité est simple, A* et K sont des fonctions de la concentration.
70. Surface de séparation- — A la surface de séparation de deux conducteurs A. li en bon contact, nous aurons, en partant des équations précédentes de variation continue,
à f V
^— ^A = — g^(«.)
e, désignant la densité superficielle de l'électricité, y^, j\ les densités du courant, normales à la surface, comptées positivement en traver- sant la surface du corps A vers le corps B.
/ S' "'-/-.
dn -= o
ou ;
', - V^ = _ / E„^
illl) V -- V, = _ / E„f/«
et cette quantité est caractéristique des deux corps en contact, comme la force E elle-même est caractéristique de l'hétérogénéité et indépendante du courant.
66 PROPAGATION DE l'ÉLBCTRICITÉ
On a, en outre, entre les composantes normales, (IV) K, - -? - K. --^ = - ^r.Q'e,.
à associer à
an *■ dn
«^V.. . <>V
ôe..
en considi'rant la différoiicc des donsilés de courant do part et d'autre de la couche hétérogène.
71. Couche de passage. — La densité du courant varie d'une manière rapide dans la couche du passage, mais ne devient évidem- ment pas infinie, dans l'épaisseur de la couche de passage; les équa- tions (I) se réduisent donc à la suivante
- -+- E = o, <^n
qui, avec
an \ an/
donne la répartition de l'électricité en volume dans la couclie de passage :
4- <>n ^ '
Dans l'éUit d'équilibre, où — ^ et —2 sont séparément nuls de part
dn «>n
et d'autre de la couche de passage, la densité sui)erficielle e„ qui est la charge totale de la couche de passage, est nulle (E(i. IV). Comme la densité n'est pas nulle en chaque point, la couche de passage est occupée au moins par deux couches électriques, Tune i)ositive, l'autre négative, de masse totale nulle ; de là le nom de couche double, que nous continuerons à lui attribuer, sans pour cela suppo-
CHAPITBR I. — COURANTS DANi« l'bSPACK 67
ser que lelet-tricit»' positive soit localisée d'un côté et la négative de l'autre côté d'une surface uniqu»'. Cette propriété des couches de passafîca été netleinent formulée par Helinhollz ('); elle était déjà familière à bon nombre do physiciens ; mais beaucoup de ceux-ci l'opposaient à la notion de tension au contact, au lieu do reconnaître que ces deux notions concordent. Toutefois, la concordance n'est pas aussi simple (|ue l'imaginait Helmholtz et que Timafilnent encore la plupart dos physiciens. Cherchons en effet le « moment électrique de la couche double » |)ar unité de surface, sa puissance, comme on dit souvent :
I 4" / àn\ dn)
A A
Dans lo second membre, le premier terme est négligeable pour une couche de passage infiniment mince. Quant au second terme, il n'a d'expression simple que dans un seul cas, celui où le pouvoir induc- teur spécifique est constant dans toute la couche de passage ; il donne alors :
û^ / enrfn = |:(V„-V,).
Lorsque le pouvoir inducteur spécifique K est constant dans toute la couche de passage, la puissance de la couche double est
égale à /-qj fois la différence de potentiel au contact.
C'est l'énoncé admis comme général.
(') Uber einige Gesetze der Vertheilung electrischer Strôme in kôrperlichen Leitern mit Anwendang auf die thierisch-electrischeD Vereuche. — Pogg. Ann. L.\X.\L\. i8:>3, p. 2j6 Abh. .WII, p. 489).
68 PROPAGATION DR l'ÉLECTRICITÉ
72. — Mais lorsque le pouvoir inducteur spécifique est différent dans les deux conducteurs, il n'est pas permis d'admettre qu'il soit constant dans la couche de passage. La quantité :
/
K^—dn = — I KEdn,
est alors une constante spécifique de la surface do contact, tout autre que la diffiTcnce do potentiel au contact.
C'est 4^ii^ fois la puissance de la couche double.
Ces deux quantités sont distinctes, comme sont distinctes dans un corps hétérogène la densité électrique « vraie » et la densité élec- trique « libre », suivant les dénominations de Hertz.
En particulier, lorsque les corps en contact smit une dissolution et un métal, c est-à-dire deux corps dont les pouvoirs inducteurs spécifiques sont de ï ordre de 80, et de 1, il n^ij a aucun rapport entre la puissance de la couche double et la différence de potentiel au contact.
73. — Lorsque, par l'emploi d'une différence de potentiel auxi- liaire, on aura annulé la puissance de la couclie double, rion ne prouve que la densité électrique aura été rendue nulle en tout point de l'épaisseur de la couche de passage ; par conséquent, la différence de potentiel ne sera pas nécessairement annulée.
La méthode d" exteiision de la surface de contact, correcte pour reconnaître que la puissance de la couche double est compensée, n apprend rien sur la valeur de la différence du potentiel au contact.
Nous ne nous occuperons pas davantage des propriétés de la couche de passage ; cette ('tude exigerait à elle seule un grand nombre de leçons.
74. — La différence V„ — V^ des valeurs du potentiel de part et d'autre de la surface de séparation do deux conducteurs homogènes est constante ; par suite, les lignes de niveau sur cette surface sont
CHAMTRB I. COURANTS DANS I. ESPACE
69
Communes, leurs ti-ajt'ctoires oiihogouales aussi ; les composantes laiigoiitielles de la force électrique sont égales, aussi bien pendant It'lat variable que i)endant l'état permanent.
Le plan, normal à la surface, qui contient la ligne de courant d'un côté, contient aussi la ligne de courant de l'autre côté.
Dans l'état permanent, en appelant y ^,^b. les densités de courant, 0^. 6g, les angles (pfelles font avec la normale, dans le plan com- mun, on a alors,
y^8ine^_>,sine,
i, cosO^=^cosO„ Doù la loi de réfraction :
(VI)
j^,tS\=FtgO..
Kn conséquence, la densité de lélectrlcité n'est pas nulle à la sur- face de séparation ; elle est égale à
dans létat permanent.
75. — Dans l'état variable, la loi de rt'fraction ne s'applique plus, ciir on a pour seconde équation :
ACosO^— ygCOsOg^-
et, en éliminant e et V avec l'équation iIV) en K,
\ ->
4- (./^ rn> 0^ - j\ COS 0,) = ^^^.^ '- ^J^ COS 0^)
(vm)
ÀsinO^ y, sinO,
70 PROPAGATION DE l'ÉLECTBICITÉ
La loi de variation de ladensit»' superficielle en fonction du temps, n'est pas, comme celle de la densité interne, indé|)endante de la forme des conducteurs et de la distribution des courants.
76. Pertes superficielles. — Nous ne connaissons pas encore la loi mathématique des perles par la surface lorsque l'isolant est médiocre ; nous n'en parlerons pas dans ce cours.
77. — Les équations électrostatiques qui déterminent la densité en volume et la densité superficielle ont été longtemps écrites en pre- nant un pouvoir inducteur K égal h i partout. J'ai déjà signalé comment ce pouvoir inducteur nous fait modifier le résultat d'Ilelmhollz, relatif à la puissance d'une couche double. Chose curieuse, dans ce mémoire de i853, Helmholtz ne signale pas l'exis- tence nécessaire de la couche superficielle simple h la surface de contact de deux conducteurs. C'est, je crois, dans le mémoire de Kirchhoff de 1867 (') qu'elle apparaît pour la première fois. Dans le premier de ses grands mémoires sur l'éleclrodynamique, H(îlmholtz l'écrit encore de même (1870). Maxwell, après avoir montré si nettement dans l(> \Àxre I de son grand traité (1873), l'importance capitale du pouvoir inducteur, l'oublie au Livre II, en électrociné- tique, et écrit comme Kirchhoff l'équation de la densité superficielle due au passage du courant (^), avec K = 1 ; il y attache d'ailleurs si peu d'importance, que dans le problème particulier des sphères con- centriques, qu'il traite ensuite, il ne s'en occupe plus. Cet oubli paraît d'autant plus étrange, que dans la suite de son livre, la notion de « courant de déplacement », (|ui est sous la dépen- dance directe du pouvoir inducteur spécifique, joue un rôle consi- dérable dans les équations aux dérivées partielles, sans que les é(|uations à la surface soient toujours écrites complètement.
(') L'ber die Bewcgung (1er Eleclriciliil iu Leitern. — Pogg. An7i. Cil. (5) Livre II, cimp. ix, cq. 7 à la, t. I, p. 4;)i de la traduction française.
CHAPITRE 1. COURANTS DANS l'bSPACB 71
78. — C'est seulem«Mil «mi 1888, (\nr de doux cùlés difféieiiis, l'ëquatioii (IV) à la surfaco ('!>l enfin écrite.
MM. Colin et Arons furent ejuiduits à la prendre i>our base d'une méthode de mesure du pouvoir inducteur spéeificpic; des li((uides con- ducteurs, coiniue les dissolutions salines étendues, en rcmanpiant que dans un éleetromètre plein de solution, parcouru par nu cou- rant, ces densités à la surface des électrodes doivent exercer sur celles de l'aiguille un couple proportionnel an pouvoir inducteur, comme si le liquide était isolant.
La même année, partant des équations du traité de Maxwell, M. Gouy, de son côté, mettait aussi ces charges en évidence par les forces (ju'elles exercent dans un électromètre à (|uadrants plein d'eau, traversé par un courant ; d'abord étonné de trouver ces forces (juatre-vingts fois plus grandes que dans l'air, il interpréta ce résultat en attribuant à l'eau uh pouvoir inducteur K de l'ordre de 80, et s'en servit aussitôt pour mesurer la constante diélectrique des disso- lutions, même très conductrices, regardée comme proportionnelle à la force mécaniiiue.
79. — Examinons la question sous son aspect le plus simple, pour un courant variable, dans un conducteur cylindrique, en né- gligeant l'induction magnétique.
Les équations du courant, uniforme à travers la surface de sépa- ration, sont en coni[)tanl positivement de A vers 15 :
■^" " <>7
et
ou. en introduisant les temps t dont nous avons donné plus haut le tableau pour divers conducteurs :
72 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
D'où :
|
h |
= |
e -h |
'" dt |
|
- |
-^ |
||
|
'h |
e -+- |
de |
|
|
T - |
— T |
Toutes les fois que la variatiou relative de charge est lente, — qu'elle n'atteint pas un millième pendant le temps -^x ou tb, par exemple. — le second terme est négligeable ; c'est ce qui arrive tou- jours pour les métaux, toujours pour les dissolutions concentrées, avec (les oscillations de Tosla (fréquence lo^). Mais pour ces mêmes dissolutions avec des ondes hertziennes de quelques mètres, et pour les solutions étendues, avec des oscillations de Testa, même lentes, le second terme devient comparable au premier. Il en est de même avec des décharges non oscillantes, si elles sont très rapidement amorties.
Supposons donc que l'un des conducteurs (A), soit une électrode de grande conductibilité et l'autre (B) une solution étendue, on pourra se contenter de prendre :
e de . e
B
Dans ce cas, la densité superficielle est proportionnelle à l'inten- sité dans l'électrolyte, quelle que soit sa loi de variation.
Si enfin la variation est lente, si la fréquence est de moins de lo' à loS pour des solutions même très étendues, on peut prendre :
e
J^ = Jb = .:-'
B
Cherchons dans ce cas, ce que sont les forces pondéromotrices qui agissent sur les électrodes.
CHAPITRB I. — OOL'RAirrS DANS l'bsPACB 73
La fon*e électnciue moyenne dans la couche superficipllf es^l :
^(^S
soit
-, pratiquement ; la pression électrostatique est
comme à la surfaw do séparation d'un conducteur et d'un isolant, l)0ur la même charge, ce (|ui justifie pleinement la méthode de M. Gouy pour la mesure du pouvoir inducteur K des éleclrolyles.
80. Problèmes divers. — Le problème complet est le sui- vant :
Etant donné un système de corps conducteurs dont on connaît les propriétés physiques [k, K, E) en chaque point, trouver la distri- bution des potentiels, des courants et des charges.
Nous ne nous en occuperons pas cette année. Ou Siiit que pour des conducteurs homogènes, avec différences de potentiel locaUsées aux surfaces de contact, la solution mathématique est unique.
Nous ne nous occuperons que de problèmes restreints : calculer la résistance d'un conducteur homogène, connaissant la distribution du courant sur la surface, distribution ordinairement localisée sur deux aires de petite étendue, appelées électrodes, le reste étant bien isolé; ou, calculer la résistance connaissant la distribution des poten- tiels sur les électrodes.
81. Analogies diverses. — Les équations
AV = o,
\\ ~ V. ==. U. A- — = k. —" fSurface
74 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
qui déterminent la distribution des courants permanents, sont tout à fait analogues à celles de l'électrostatique . pour un ensemble de diélectriques en contact.
Elles ronviennent également poni- des corps conducteurs d'.' la chaleur, en désignant par V la température.
On peut donc se poser des problèmes mathématiques identiques dans ces diverses théories ; mais les problèmes qui se présentent le plus naturellement, et qui ont le plus d'intérêt, ne sont pas tout à fait pareils, à cause de la différence des conditions superfi- cielles.
D'abord la condition V^^ — N^-;zt o est propre au galvanisme. En outre, les surfaces libres, en galvanisme, sont parfaitement isolées ; la
condition y est = o. En électrostatique, les diélectriques, s'ils ne
s'éteudenl pas indéfiniment sont limités par des conducteurs ; la con- dition superficielle V = C", aux électrodes est toute différente. En chaleur, les corps sont en contact avec des sources, V = G"., ou rayonnent et perdent par la surface ; ces pertes ne sont jamais négli- geables, et on admet qu'elles sont proportionnelles à V.
Tout utiles que soient les solutions obtenues en électrostatique et en chaleur, elles exigent une certaine adaptation pour être utilisées en galvanisme.
82. Analogie hydrodynamique.— Une autre analogie, quoique encore incomplèlc, csl intéressante : en appelant V la pression d'un liquide incompressible, les équations permanentes du galvanisme sont celles du mouvement de ce liquide à] travers un corps poreux, lorsque les accélérations sont partout négligeables. C'est cette res- triction qui nous force à réfléchir ; divers auteurs, et non des moindres, ont examiné l'influence qu'exercerait une inertie de l'élec- tricité sur les lois des courants ; mais tous ont examiné les états variables, ce qui rend les expériences fort délicates ; or, une inertie se montrerait foui aussi biiui dans l'étal permanent, pourvu <pie les densités des courants varient beaucoup duii point à l'autre : les équations eulériennes complètes du mouvement permanent du
CHAPITRE I. — COURANTS DANS l'bSPACB 75
liquide sont en effet dans un filtre homogène :
f. ._ -f- — = o ,
fix ày HZ l'inertie de rélectricitc se traduirait de même par des termes en :
surtout sensibles au voisinage des électrodes ponctuelles, des points anguleux, des changements brusques de section. 11 y aurait donc à cet égard un grand intérêt à étudier avec précision ce que donnent les lois d'Ohm dans ces différents cas, pour pouvoir les comparer ulté- rieurement avec rexpérience et avec ce que donneront les termes (jue je signale ici, quand leur étude sera faite.
CHAPITRE ir
ELECTRODES DE GRANDE CONDUCTIBILITE
83. — Soient deux électrodes A et B de conductibilité très grande par rapport à celle du milieu dans lequel elles sont plongées. A la surface de séparation de l'une d'elles les lignes de courant sont de part et d'autre dans un môme plan normal a la surface et font avec la normale des angles 0^ et 0 tels que l'on ait
II
Si le rapport > - est très petit tg 0 sera aussi très petit ( à moins
que tg Gq ne soit infini), c'est-a-dire que les lignes de courant dans le mi- lieu de faible conductibilité k sont sen- siblement normales à la surface de l'électrode de grande conductibilité. Celle-ci joue le rôle de surface équi- Fig 5. potentielle.
84, _ Ceci étant, on a à satisfaire aux équations suivantes
(0
AV = 0 en tout point du milieu
V = V )
M aux deux électrodes
rtV
- =0 à la surface de l'isolant qui entoure le
conducteur.
CHAPITRR II. — KLRCTRODBS DR nRA!»OB CONOUCTiniI.ITK 77
Le flux qui sort d'une surface quelconque entourant une électrode (A est
(. 1. -= k
An«.
la normale étant prise vers 1 elec- trode. pnis(|ue la force est
i>V Fig G
iMl
85- — L'intensité a donc la même expression analytique que la ciiarge totale dans le problème électrostatique soumis aux mêmes conditions limites, et où k représenterait le pouvoir inducteur spé- cifique. En particulier pour un milieu homogène indéfiniment étendu, nous n'avons qu'à transcrire les équations de rapacité, pour obtenir (les équations de conductibilité
1. = C.,V. H- C,,(V, - V,) -h C„(V, - V,) -t- ... 1. = C,.(\% - V,) -i- c„v, -+- c,yv, - V,) -h ...
oj, ( omme on sait,
G., -- C,,
représente la capacité mutuelle des deux conducteurs i , 2, et pourra aussi bien s'appeler la conduclibilité mutuelle des deux électrodes. Résolues par rapport à V, les équations deviendraient
V, --R,J, +R„L -^ .... V, ^H„T, H-R,X- ....
et on pourra donner aux coefficients II le nom de résistances, qui corre5[X)nd exactement à leur rôle dans le cas de deux électrodes seulement.
78 PROPAGATION DB l'kLECTBICITÉ
Il reste à remarquer que, si s I n'est pas nulle, il faut imaginer une dernière électrode ù l'infini enveloppant le tout.
86. — Quand on n'a que deux électrodes la notion de résistance est simple : le courant qui sort de l'électrode A est égal ù celui qui entre dans l'électrode B. La résistance est donnée par la relation :
(3) RI = V, - v„
d'où
dS
Prenons une fonction * telle que
On aura alors
* = o dans tout le milieu
* = 1 sur A <i> = 0 sur B
— = () sur la surface limite.
V - v„ + (V, - y.) *
solution qui satisfait à toutes les conditions. L'intensité I est
-V) A*
ï = /.(v.-v,) / l^ds
ee qui donne
'•■('■\-\)f^,'>^ =
M =7 R^ (V. - V.1 / ?^<;s = v,-v.
CHAPITRE 11. — BLKCTRODKS DB GRANDI CONDUCTIBILITK
79
et enfin
(4)
R
J ftn
A- I ^* rfS
1 iiiHiiiiiiL' étanl cleiulueà wik- surface qui entoure l'un des pôles.
87. Cas particuliers — Deux conducteurs 'cylindriques et con- centriques de hauteur h et de rayons a et 6 plongés dans un liquide. Prenons laxo du <\ ^tnino pour axe des z l't'quation AV = o devient
Cette équation a une intégrale de la forme V = A 4- B log >•
r étant la distance à l'axe ; on a donc
Vi = A -+- B log a Vj = A -f- B log b d'où
V, - V, =: B log ? •
Pour un cylindre de rayon r compris entre a et b, la normale est le rayon ; on a
dV^B ftn r
et par snite
f
'^^ /S = ? X 2-r}i = 2-Bh. dn r
La résistance est donc
(5)
^_Blog^_log^5
80
PROPAGATION DB L ELECTRICITE
88- — Deux sphères concentriques de rayons différents a et b. Soit r la distance au centre : l'intégrale
A +
B
donne
v,-v. = 5_!;
Sur une sphère quelconque de rayon intermédiaire, on a
|
i>V_ B |
|
|
y'i^.s=4.B. |
|
|
La résistance est |
(6)
\a b) \TJi
Si la sphère extérieure est très grande, le terme t peut devenir négli- geable et la résistance se réduit à
R=r
I
Fig.Ç.
et ce résultat sera évidemment appli- cable à une enveloppe extérieure de très grandes dimensions, partout très éloignée de la petite sphère, quelle que soit sa forme.
89. — Deux petites électrodes sphériques à grande distance l'une de l'autre.
Solutions approchées. — Supposons la distance D assez grande pour ((uc l'on puisse traiter chaque électrode isolément.
On aura, entre la première sphère prise seule et le plan écjuato- rial,
CHAPITRK II. — ÉLICTII0DR3 DE eRANDC CONDUCTIBILITE 81
et de même, pour la deuxième sphère,
ce qui donne, pour ce«t!eux portions du volume associées en série, ^ • D
Fig a
a'
uiio r«'<i<tanr(> totale
L'approximation e^t é\ idemmenl de Tordre de — ^^ .
Le problème est analogue au problème électrostatique : soient m et m' les charges électrostatiques des deux sphères, I) la distance de leurs centres ; le potentiel au centre de la sphère A est sensible- ment
,r m m! • a D
le second terme étant seuleim^nt approximatif, puisque les points de la surfaco de la deuxième sphère ne coïncident pas avec son centre. De même pour A'
. , m! m
Si on suppose qu'il y a seulement deux électrodes, il faudra faire m' = — w. d'où
\.=m
et
^■.=-'"(î-d)
V,-V. = «[1h-;-,-^]-
82 PROPAGATION DB l'ÉLECTRICITÉ
On en déduit que la résistance serait dans le problème de con- ductibilité
Cette seconde expression est évidemment plus approchée que la précédente. On connaît d'ailleurs la solution exacte du problème électrostatique des deux sphères, il n'y a qu'à la transposer en gal- vanisme suivant la règle générale indiquée plus haut.
CHAPITUE m
ÉVALUATION APPKOXL\L\TI\^ DES RÉSISTANCES LORD RAYLEIGH
90. Méthode d'approximation de Lord Rayleigh. — Il faut souvent pouvoir faire une approximation de sens et de grandeur connus : Lord Rayleigh a donne une méthode applicable au pro - blême qui nous occupe et aux problèmes analogues (écoulement des liquides, etc.).
Elle consiste à remplacer V par une autre fonction connue satis- faisant d'une façon d'une façon approchée aux conditions auxquelles doit satisfaire V. Soit '^ une fonction telle qu'on ait :
(9)
/ à-l = o dans le conducteur ; ) , M aux électrodes ;
f -- = o à la surface limite ;
mais sans que (i* et ses dérivées soient nécessairement continues dans tout l'intervalle.
91. — Appliquons le théorème de Green au volume limité par les deux, électrodes aux potentiels V, et Vj et par la surface limite exté- rieure on a :
en désignant par d- l'élément de volume dxdydz.
84 PROPAGATION DB L'éLECTRlCITÉ
Or - est nul en tout point de la surface extérieure et les m-
tégrales / -— dS relatives aux deux électrodes sont égales et de
signes contraires ; de plus, AV est nul dans le conducteur, de sorte que l'égalité donne :
(v.-v.)/^^s=y^[(^:)%(:i)
^^^' ■ '%ï-iMîh
l'intégrale de surface devant être étendue à l'électrode de potentiel V, . Il résulte de là qu'on peut écrire :
/ V V
fis
J ^n
(10)
>-]
(V. - v.)^
k
^■/[(Mr-(.f)^(:i)1-
92. — D'autre part, posons :
^(«=(Ë)'-(:f-(:-iy
et cherchons l'expression
/
CHAPITRB ni. — ÉVALUATION APPROXIMATIVE DBS RISISTANCBS 85
on a :
Par conséquent, en posant <!^ — V = w, on a
//àVdU
-\ Jax,
Mais la formule de Green donne :
(.2)
dn
La surface limite n'intervient dans aucune de ces intégrales de surface puisque — et sont nuls en tous ses points ; on n'a à s'oc- cuper que des électrodes et des surfaces de discontinuités.
93. — Si — est seul discontinu sur une surface, on prendra la
dV
deuxième intégrale, où — étant continu, il n'y aura pas de diflicul- àn
tés : suppo sons qu'on s'impose aux électrodes les conditions
■:, = \\ ^^ = V,
86 PHOPAOATION DE l'ÉLECTRICITÉ
ti est nul sur les électrodes et l'intégrale de surface disparait : on aura alors
Gomme la dernière intégrale est toujours positive, il vient
/ A¥^> j . {y)d\
et en prenant pour H l'expression
(i3) R' = - — (VzJi)! .
on aura une solution par défaut, au moyen de la seule fonction t^.
94. — Supposons que l'on ait trouvé une autre forme de solution
approchée telle que -^ soit continu, mais ^ discontinu à travers une
certaine surface.
Nous prendrons alors la première intégrale de surface de l'expres- sion (12). Imposons-nous la condition
<}i rfS = / '^ rfs
aux deux électrodes.
L'intégrale de surface disparaît encore et l'on aura comme précé- demment
/ Al {^)d. > \ iW'-
i
CHAPITRE III. — ÉVALUATION APPROXIMATIVE DES RÉSISTANCES 87
et l'expression
14
R' =
/[(Sr - (!)'-(.?!)■>
{fin'-]
k
<-i>
Tn:
->(2)
nous donne au moyen de la seule fonction '}'> une solution par excès. On aura une limite supérieure de l'erreur commise, en prenant la différence R' — R'.
95. Application. — Fil cylindrique aboutissant dans un espace conducteur indéfini limité par un plan perpendiculaire au fil.
L'étude de ce cas est importante pour la construction de l'étalon de résistance constitué par du mercure contenu dans un tube de verre cylindrique aboutissant à un vase de grandes dimensions où plonge une électrode placée très loin et de résistance négligeable. Ce qui importe, c'est de connaître la perturbation à l'extrémité du tube.
Si le diamètre du tube est très petit par rapport à sa longueur et
aux dimensions du vase, la correction à faire pourra être petite. La correction à faire à la longueur sera de l'ordre du diamètre du tube : si celui-ci est égal au —^^ delà longueur et si l'on calcule la correction
au — on aura la résistance au — — . 10 10 000
96. Calcul par défaut. — Nous prendrons l'axe des x dans le sens du tube ; considérons d'abord le cas où i> est continu, mais sa dérivée discontinue ; dans l'espace (i) nous prendrons
Fig 10
X
'}j=X.
88 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
Dans l'espace (a), il faut que <\t soit uniforme sur le plan x = o à l'intérieur du cercle de rayon a. Pour cela, en nous reportant au problème électrostatique nous supposerons une densité fictive <t à l'intérieur de ce cercle, telle qu'elle donne un potentiel uniforme pour r <^a; nous prendrons alors :
4' = A 1-
la valeur de i étant telle qu'à l'intérieur du cercle l'intégrale soit égale à l'unité. Dans ces conditions i> est bien continu et Ton peut appliquer la formule 1 3 ; on a :
•^. = A,
car à l'infini l'intégrale double est négligeable. D'autre part il faut calculer :
qui, d'après la formule de Green, se ramène à
dn
étendue aux électrodes et à la surface de discontinuité. Sur la première électrode
et
y
+ '^ ''S = + -«''•
CHAPITRE III. — KVALUATION APrROXIMATlVft DES RESISTANCES 89
Sur la surface de discontinuité
^ = 0 à l'intérieur du cercle de a,
-- = o an
à Textérieur; l'intégrale est nulle.
Occupons-nous enfiii de l'électrode située à l'infini, 4/ = A ; si on prend pour cette électrode une sphère de très grand rayon p, il est
d'il
facile de voir, d'après l'analogie électrostatique, que — est constant et égal à -^1^:^- ; l'intégrale est donc :
aA
— ;- 1 ab = ï-. aro- = 4 A^a.
Finalement on a pour la résistance cherchée R
{l -f- A)-^ I "^ ^ -aH -\- /iX'a' k'
Cette inégalité, est vraie quel que soit A, donc aussi quand A est tel que la fraction soit maximum ; or cela a lieu pour
et le maximum do la fraction est :
|
T.a^ |
|
|
de sorte qu'on a : |
|
|
(i5) |
-a |
|
^> T.a' /.■■ |
97. Calcul par excès- — Supposons '^ discontinu, mais ^-
9
PROPAGATION DE L ELECTRICITE
continu. Dans le premier milieu nous prendrons encore t^ = «
et dans le plan limite on aura — = i. Dans le deuxième milieu, si
nous supposons une distribution uniforme do densité 7 sur le cercle
de rayon a, la force électrique au voisinage est ir.'s donc -- serait
— 2-(ï, et, pour que cette quantité soit encore égale à 1, il faudra prendre
1
Nous prendrons alors
'^ =
2z / ~r
Cherchons la valeur de '^ en un point P du cercle. A l'élément M correspond une charge
rdrdo,
qui produit au point P le potentiel
drdo.
271
Fig 11
Le potentiel dû aux masses comprises entre o et o + c^ç sera donné par
— do / dr o
la limite r, étant, comme il est facile de le voir,
r, r= p cos « -h v/a^* — p sin^ ; d'où
'_do / dr=:^;'^d'fïp
■«'- / lit 'l'
- "'f I ? cos 'f -\- y a- — p- sm
^»].
CHAPITRE m. — ÉVALUATION APPROXIMATIVE DES RESISTANCES 91
Le potentiel total sera
z C08 ^do — ^ I v'S^"^!'
La première intégrale est nulle ; il reste
•i =z — l j Va* — ?■'
* sin- o do.
Ceci pose, il faut calculer l'expression i4
,f
/.•
'jt'-]
L'intégrale du dénominateur qui ne porte que sur l'une des électrodes est égale à r.a-.
L'intégrale du numérateur est transformée par la formule de Green en
/
^^rfS
étendue aux électrodes et à la surface de discontinuité. Sur la première électrode elle donne comme précédemment
-aH.
Elle est nulle sur la deuxième électrode et sur la partie du plan de discontinuité extérieure au cercle a.
92 PROPAGATION DE l'ÉLBCTRICITK
A l'intérieur de ce dernier, où ^ = i , elle est égale à
on
.^rfS = — 4 / ?dp I v'â^ — f sin^ cp rf?
8 »
Finalement on a pour la résistance cherchée R
8 a
R< i-}.
98. Résultat. — En résumé
, T. ,8a
k -l^r- < «< < ~^^^r- /.
Le terme à ajouter à ^ est compris entre
o,785« et 0,849 a.
Ce problème est le même que celui de l'écoulement lent d'un liquide non visqueux par l'extrémité d'un tube.
Il se rattache directement aussi à l'influenco de l'ouverture dans l'espace libre sur la longueur apparente d'un tuyau sonore. Les plus récentes expériences donnent comme correction à l'extrémité libre le terme additif 0,81 R qui est bien dans les limites que nous avons données d'après lord Rayleigh.
CHAPITRE IV
RESISTANCE DIX CYLINDRE. — ELECTRODES DIVERSES
99. — I-a régularité de toutes les expériences sur les lils cylin- driques, sans précautions spéciales pour le mode d'attache, montre que la distribution uniforme du courant dans la section droite s'établit d'elle rat'uie. Ainsi toutes les irréfjularités variables avec le mode d'attache des fils ne se font sentir qu'à une petite distance des nœuds ou sommets. C'est un résultat expérimental que la théorie matlié- matique doit aussi nous fournir, en le complétant par une déter- mination, au moins approchée, de la valeur de ces variations dans «livers cas. On peut se donner la distribution des densités de courant dans une section droite d'un fil indéfini et chercher la distribution des potentiels à une distance quelconque. On peut encore se donner deux distributions do densité identiques aux deux extrémités d'un cylindre de longueur finie et chercher la distribution dans une section droite intermédiaire.
Nous prendrons comme coordonnées la distance z, comptée sur l'axe, la distance à l'axe r.
Les conditions à satisfaire sont
AV = o à l'intérieur du cylindre :
— = o à la surface du cylindre ou 7' = a ; i\r
\^ — h — -=i [r) fonction de r donnée, sur la base
94 PROPAGATION DE I.'ÉLECTBICITÉ
Le changement de variable donne pour la première équation à^V 1 dV o^Y ' '^!Y —
100. — Supposons, en particulier, que tout est symétrique autour de l'axe du cylindre; comme o n'intervient pas, l'équation de Laplace devient
. , :^-Y i .>V ,^'Y
La solution la plus simple, est
indépendante de r ; qui correspond à la distribution de courant, uniforme dans toute la section, à toute distance
,; = — k — z= — A-A.
On a facilement une infinité d'autres solutions simples de de Laplace : l'équation, en posant
(3) ^ = ^"'V ce qui donne
(4) V = R(Ae^-^+Be"^-^),
Cette expression est le produit de deux facteurs dont l'un ne dépend que de z et l'autre que de r, ce qui permettra de satisfaire facilement aux conditions à la surface.
R est une fonction de /• que nous définirons en substituant l'ex- pression (4) dans l'équation (2) ce qui donne
v>) t:,i 4- - - + V-K = 0.
101. — Ce type d'équation a été étudié par Bessel et les solutions
CHAPITRE IT. RKSI8TANCK d'uN CYLINDRE. iLKCTRODKS OIVIRSIS 95
portent le nom de fonctions de Hessel. Dans l'équalion (5), R ne dépend que du produit h-, et si l'on pose
"kr = or, on trouve l'équation dont Bessel désigne la solution par J^ :
(6) -- 4 _{_ - 4- J r= 0,
on aura alors et |)ar suito
R = J(Xr)
V = (Ae 4-Be'"^'')JM.
On peut trouver une solution de l'équation (6) développée suivant les puissances paires de x, ce qui donne à Torigine
rnro
J = o a donc une valeur maximum que nous prendrons égale à i ; il suffira de multiplier par un facteur numérique à déterminer dans chaque cas.
La fonction J présente des oscillations dont l'amplitude décroit in- définiment; elle a une infinité de maximum et de minimum, une infinité de racines réelles, dont aucune double, qui tendent à s'espacer d'une manière uniforme.
102 — La condition — = o donne — =- o et par suite «> r àr *^
ai
Cette équation doit être satisfaite pour r = a, et détermine une infinité de valeurs réelles distinctes de X (Ch. suivant).
Il y a donc aussi une infînité de valeurs de .r ou de Àr pour les quels on a
àX
W CO ^ 0» o ^ O <J o —
-. i.. ts
c s
5. B
, ^ 3
+ +
Hl-
|
1 |
§• |
•^ |
|
p< |
Cl |
Oq |
|
5 |
M |
|
|
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|
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3 |
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|
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H |
|
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8 |
|
yi o/ |
o |
|
>1 |
|
|
Mo |
?r |
CHAPITRE IV. — RÉSISTANCE d'un CYLINDRK. ÉLKCTRODBS DIVERSES 97
Considérons une de ces valeurs «, ; la valeur correspondante de X est donnée i>ar
).,a -rr ï,
qui satiàlail à la lundiliun à la surface du cylindre.
Si l'on prend la première racine, le flux est nul à travers la surface exlérieuro seule. Mais si «m prend la deuxième racine «j à laquelle correspond X^ on pourra trouver entre o et a une valeur r, du rayon pour laquelle on a
et par suite / — j = o, pour r = r^.
Il y a donc une surface cylindrique Intérieure à travers laquelle le flux ost nul et qui partage le cylindre total en deux parties indé- pendantes l'une de l'autre. A mesure que l'on choisit une racine de rang plus élevée, on décompose ainsi le cylindre en régions cylin - driques indépendantes de plus en plus nombreuses où la propagation se fait sans échanges de l'une à l'autre.
103. — La distribution que donne la solution (7) est la même à toute distance de la base
(8) j = -.k'Ç^ = - Av. (Ae'-' - Be-'^-*) J (Xr)
Si on se donne un cylindre indéfini du côté des z positifs et une base unique pour c ^^ o, il faudra faire A = 0.
Pour un cylindre limité aux deux bouts par deux faces sur lesquelles la distribution des densités est la même, il est commode de placer l'origine au milieu du cylindre ; soit 2 A sa longueur, on a à une oxtrfMnité
J = - AX [ac^^ - Be-''*] J(Xr),
à l'autre
J= - AX [ac -^^ — Be''*] J(Xr).
98 PnOPAGATlON DE l'ÉLECTRICITK
Pour que la distribution soit la môme il faut avoir B = — A, ce qui doune
et nous aurons une solution plus générale en ajoutant un nombre quelconque de solutions simples et nous pourrons prendre
( , o) j = - /.-A, -h-y^ A„X„ (e^-^ -h e - ^-') J (X„r).
La distribution à la base est alors (il) j=^- kko - ky^knlnW'"'' ^ e- ''"'0 J(X„r)-
104. — lieinarquoiis ([ue réquation (6) peut s'écrire
^x- .-+-^J = «-
Intégrons cette équation de o h la ; il vient (12) I ^ — I 4- / 3a;da: = o
[•C-^ /
Le premier terme est nul, puisque — est nul à la surface ; il reste ( 1 3) I ^ -^'^^ =^ ^
ce qui exprime que l'intensité totale relative à une des solutions simples est nulle, / étant proportionnel à J.
Donc si on prend la promirre racine x,, le courant entre dans la partie centrale et sort par la couronne extérieure.
CHAPITRE IV. — RKSISTANCK d\)N CYLINDRE. ELECTRODES DIVERSES 90
Si on prend la deuxième racine, le courant entre par le centre et par la couronne extérieure et sort par la couronne intermédiaire de
Fig. 13 hig Im-
part et d'autre du cylindre de rayon r, que ne traverse aucun flux d'électricité et ainsi de suite.
105. — Il faut déterminer les coefficients Ao, A„, de manière que la distribution dans la base, (il) soit identique à une distribution donnée arbitrairement.
MiiltipUons les deux membres de l'équation (ii) par xdx ou t.-rdr intégrons de »' = o à >• = a.
rdr
1 t
/>Y?r = — AA,X* /
a O
I - k^ A„X„(e''"'^ + 8- >^"'') / XVrfrJ(Xr).
Cette dernière intégrale est nulle comme nous venons de le voir ; il reste i)Our déterminer Ao :
La partie constante de la densité est celle c[ui correspond à l'in- tensité totale, supposée uniforme, du courant qui traverse l'une des bases.
100 PROPAGATION DE l'kLECTRICITK
106. — On peut délerminer chacun des autres coefficients par un artifice analogue à celui qu'on emploie pour calculer les coefficients de la série de Fouricr. L'équation (6) peut s'écrire :
(i6) 'V--)
nous désignerons par J,, Jj--- les solutions correspondant aux équa- tions où l'on a remplacé X par )>,, À^.... Soit:
Multiplions cette équation par J, :
En formant l'équation analogue relative à \ et retranchant on a :
(•7) j^;U'-t')-v^.('\'0-(v-vm=o.
Intégrons de o à a et remarquons qu'on a : Il vient :
(■«) r('.^-'.^:)]><^''-v)rM
dr = o.
Or —.' et '-f sont nuls pour r = a et pour r = o, et si on suppose >., différent de X^ l'équation (i8) donne :
>9) / rJ,J,rfr = o
CHAPITRE IV. — RÉSISTANCB d'l'N CYLliVDRE. iLBCTROOES DIVERSES lOl
t^ci posé, inulliplions l'équation (i i) [uir infdr on a :
0 o
car 1»' coefficient do Ao est nul comme on l'a vu précédemment et tous les autres aussi à cause de l'équation (19). L<' coefficient de A„ est au contraire différent de o car dans l'intégrale correspondante tous les termes sont positifs ; on a donc :
/ Ji{Kr)rdr
kUe^'^ 4- e- ^'^) r [J {Kr)Y rdr Jo
107. — Déterminons maintenant l'intégrale du dénominateur : l'équation (18) est satisfaite quels que soient X, et \ ; elle le sera aussi pour Àj et une quantité voisine À^ -i- ((\^ et par conséquent on pourra la dériver par rapport à À^ : mais
djj r dJj
L'équation dérivée devient alors, — - et ' - étant toujours nuls IKJur r = O,
s ï-r S? - •"■ S7. (r. âr ) J - "' / '••''J.'''- +
+ (V-V')Jl;J,tf <"• = "■
Faisant dans cette équation Xj = X,, d'où J^ c= J,, et supprimons l'indice, il vient
J .JV*-=«;(»J)Va.J.(),a),
O
en tenant compte de l'équation (16).
102 PROPAGATION DK l'ÉLBCTRICITÉ
Dans le cas acluel ; le premier terme du i" membre est nul, et on a
/
D'où, finalement
(21) A„ =
'iX-nlr ■— a-[}(i.a) |-
f" .mn^^yjr
A-X„(e'-'^ + e->'"/0«'[J(M]'
La question est maintenant résolue et V est donné par l'expies- sion dont nous venons de calculer les coefficients
(22) V --= 'A„3r + 2 A„ (e'''"-^ - e" ^"')-\ (X„r).
108. — Dans les premiers problèmes (|ue nous avons étudiés nous avons supposé que le courant entrait par une électrode de forme con- nue sur laquelle le potentiel était constant, sans nous donner la dis- tribution de la densité du courant le long de la base. Le problème actuel est donc différent puistiue nous nous donnons au contraire la distribution des densités de courant et que nous en déduisons la dis- tribution du potentiel sur la base en faisant ;r = /< dans la formule (22). Si le courant n'entre que par une partie de la base, on prendra une densité nulle sur la base là où il n'y a pas de courant.
109. Electrode de grande conductibilité. — Dans ce cas, où la surface de base n'est pas entièrement occupée par l'électrode, le problème de l'électrode de grande conductibilité n'est pas susceptible de solutions simples, par les fonctions de Bessel. Les conditions sur la base, ;: :=; constante, seraient alors de deu.x natures différentes :
r<ib V = constante
b <^r <' a — = 0
CH\PITRK IV. BÉ8ISTANCE D*t?îi CYLINDRF. Él.fCTRODRS DIVBRSBS 103
et les solutions simples ne peuvent pas satisfaire aux deux conditions à la fois.
D'une manière gén«*rale. l'emploi «les solutions simples exige que toute la portion de surlace le long de laquelle règne une même con- dition iici, la paroi cylindrique, et deux couronnes sur les bases) soit représentée par une seule variable. On n'arrive à traiter le problème qu'en choisissant des coordonnées qui donnent pour une variable la réi^ion où V est constant, et pour une autre celle où la dérivée est nulle.
De là résulte la difficulté beaucoup plus grande des problèmes dans lesquels la ligne de démarcation physique entre les deux con- ditions superficielles différentes n'est pas en même temps une ligne d'intersection de deux surfaces géométriques distinctes sous un angle fini, droit de préférence.
110. — Kirchhoff a traité ce problème particulier en adoptant sur l'électrode la mémo distribution de densité que celle qui donnerait sur un disque plat seul dans un milieu indéfini un potentiel constant ; cette distribution est connue en électrostatique et l'on a :
.^ I
2iî6 ^h^ — r*-
h étant le rayon du disque; ce n'est qu'une approximation, mais Kir- chhoff a admis qu'on pourrait s'en contenter si l'électrode était suffi- . I
samment petite ^ 2
Si h est assez petit pour qu'on puisse regarder J ()„»•) comme cons- tant et égal par suite à J(>.„o) à l'intérieur du cercle électrode, on aura
Fig.15.
23) 1 iia„7-)2rdr = Jl„o I j ivch
104 PROPAGATION DR i/ÉLECTRICITÉ
J i{lnr)2rdr = - 1 j •ir.rdr
I
- >
I étant l'intensité totale du courant. L'expression de V sera alors
Ceci s'applique au cas où l'on fait arriver le courant dans un élec- trolyte par une électrode à la Wollaston.
111. — Toutefois on ne peut avoir une représentation exacte des phénomènes qu'assez loin de l'électrode car il y a toujours pour les coefficients un rang n à partir duquel il faudrait prendre la formule exacte. Il reste dans le voisinage immédiat de l'électrode une région que l'on ne peut déterminer avec précision ; quelle est son étendue "?
Les termes mal déterminés sont ceux où J (X„r) varie beaucoup à la surface de l'électrode. On a par exemple Jo(Àr) = o,5 pour \r = 1,52 ; si le rayon b de l'électrode est o,i a, J» variera de i à 0,5 dans l'étendue de l'électrode dès la 5*^ racine (/*. a = i6, 5); si le rayon b = o,oi a, cela n'arrivera qu'à partir de la 4^" racine (X,^ a= i5i).
I
112. — D'autre part l'influence de la distance à l'électrode inter- vient par le facteur
Si on prend l'électrode comme origines ce qui revient à changer ; n\ (-' — h), ce facteur se réduit au terme
CHAPITRC IV. — RésiSTAMCB d'i'N CTLINDU. BLeCTBOOBS DIVBRSBS i05
Or les valeurs x„ = >.„a varient de la façon suivante
a, = 3,83,
a-, = 10,02, (^^ = i3,3, a- = 16,5, *« = »9.6-
Les accroissements sont sensiblement égaux à :: dès les premiers termes et les x sont sensiblement de la forme
X^ = nr. -\- 'j-
Kn particulier si l'on prend
/.„; --^ 2,3,
on a
— 'f..i . J_ _
10
Or la 7' racine étant sensiblement égale à 23 il suffira pour avoir celte valeur — que nous nous placions à une distance à de l'ordre du — du rayon a ; à partir de là. l'influtnce des termes éloignés t^era très petite.
113. Résistance du cylindre- — E.xaminons maintenant quelle est, dans le problème général, la résistance du cylindre considéré : on ne peut pas la définir entre les bases qui ne sont pas nécessairement à un potentiel constant, mais on peut la définir entre deu.v surfaces de niveau voisines des bases : supposons d'abord que nous prenions celles qui passent par les points - = ±: A de ra.xe ; ces surfaces de niveau se confondront avec les bases si la distribution des densités est convenablement choisie ; sinon ce seront deu.x surfaces voisines de la base, d'un côté ou de l'autre.
-Nous pouvons nous donner la densité sur la base sous la forme
J = lA'-).
106 PROPAGATION DK l'ÉLECTRICITÉ
avec la coiidilion
I étant l'intensité totale du courant; /\r) un coefficient de distribution.
V
C'est le quotient — , qui définit la résistance entre la'base et lo cen- tre : pour la surface équipotentielle qui passe par le point z =z -\- h le potentiel est le même qu'au centre de la base ; or sur la base
,A„'« „— '/.Jl\
Au centre, r est nul, par suite J = i , et la résistance est
114. — On aurait pu prendre la surface équipotentielle qui passe par les bords de la base ; alors sur cette surface pour 2^ = -i- A on aura r = a, et
115. — Dans le cas particulier où il y a au centre de la base une petite élcclrodo. cherclions ce que deviennent ces formules :
j.a première donne une valeur de R, qui est infinie, car sous le signe
i^, le facteur -y-^-^ — nrx"^ ^^^ '^^"^^ P^*^ inférieur à l'unité lorsque X„A e " H- 6
est grand, et s'en rapproche indéfiniment ; et il en est de même de aX„|^J(„a) j2 comme le montre l'expression limite donnée au chapitre sur les fonctions de Hesscl. Les termes de la série tendent donc à
CHAPITRE IV. RK8ISTAMCE d'i'N CYLINDRB. ÉLECTRODES DIVERSES 107
devenir tous égaux à i lorsque leur raug croit. Ainsi toute la résis- tance est alors I«>calis«'*e au voisinage de l'élci'lrode.
I^ seule formule qui puisse servir est la deuxième, relative a deux surfaces de niveau déjà éloignées des électrodes : elle donne une résistance qui dépend des dimensions du cylindre et de la perturbation due à l'électrode.
Si la longueur du cylindre n'est pas très grande par rapport au diamètre de la base, le calcul sera pénible parce que les deux bases ont une influence appréciable l'une sur l'autre et qu'il faut prendre tous les termes.
Si la longueur est égale à une vingtaine de fois le diamètre de la base, les coefficients des termes importants au voisinage d'une base ne dépendront lias de l'autre. Dans ce cas, on peut regarder la résis- tance comme proportionnelle à une longueur fictive, égale à la longueur vraie augmentée d'un terme correctif proportionnel au diamètre et dépeudant de la surface tle niveau choisie.
Quant à la série sous le signe S, elle est convergente grùce à lal- tername des signes et à la rapidité avec laquelle croît ^^,,0. Kirchhoff a donné sa valeur numérique
V = 0,38471). ,
On pourrait traiter le même problème dans le cas ou le courant entre par une électrode circulaire sans épaisseur de rayon b ; les -urfaces de niveau sont alors sensiblement des tores à section circu- laire près de l'électrode, puis la section méridienne de la surface prend la forme d'une lemniscate et finalement les surfaces de niveau deviennent lU^t^ plans.
Les coefficients. A V„ s'obtiendront mcore d'une manièn*
simple; il suffira de remplacer J(a„o) qui était égala i parJu,// dans l'équation (23).
CHAPITRE V
QUELQUES PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION Jo DE RESSEL (')
116. — L'équation à laquelle satisfont les fonctions Jq de Bessel
(i) —7, H \- 3 = o.
^ ' dX- X dX
peut être satisfaite par une série ordonnée suivant les puissances positives paires de x
(a) J = Ao -H Aj^2 _,_ ^^.r* + ... •+ A„.r-'" -^ ...
Pour en calculer les coefficients, formons les deux dérivées
— ^ = 2 A, a: -t- ... 4- 2wA„.r-"— ' -h (an 4- 2)A„4. ^x^» + ^ -+-... --2-=2Ai-i-...-4-2n(2n— i)A„a7-'» — -+(2n4-2)(2n4-i)A„4..,a!2"4-...
et portons les dans l'équation (i).
En égalant les termes de degré w, on a la relation entre les coeffi- cients consécutifs :
(3) A„ 4- A„+ ,(2n + 2)- = 0
(•) Pour une étude d'ensemble des fonctions de Bessel, voir : Gray ard Mattkws. — Treatise on Bessel Funclions (Macmillan). RiEMA.'SN-WEBeK. — Partielle Differcntial'Gleichunyen^ 'f édit, .Wieweg) içjoo, en particulier t. I, ch. viii et t. II, eh. iv.
CHAPITRE V. — QUKLQUBS PROPRIRTÉS DE LA PONCTION J, DB BtSSBL 109
d'où
A --^
A — «_ A». — -i- ^» Ai - (4)» - -+- (a.4)«
^ >.\ ... tu)-
Ces termes ont des signes alternés ; leurs dénominateurs croissent vito et la convergence est rapide, ce qui permet d'employer la série commo<lément quand x n'esl pas trop grand.
Ao est arbitraire, nous le prendrons égal ù i et nous aurons
'^2)* "^ (2.4)* ^ '' (2.4 ... 2n)^
Jo n'est pas l'intégrale générale puisque, même en prenant AoJo, il n'y a qu'une constante arbitraire, et que l'équation est du deuxième ordre.
117. — Cette intégrale particulière Jo est, pour nous, la plus im- portante. Chercbons les racines de l'équation J,^ ^= o, en admettant qu'il y en ait. Nous savons à l'avance que s'il y a des racines :
a) elles seront paires ;
b) il n'y en aura pas qui soient imaginaires pures ; car, pour de telles valeurs, tous les termes de la série sont positifs ;
c) il n'y a pas non plus de racines imaginaires complexes; en <.ff,w <ait une telle racine
À, = a -f- pt. Comme les coefficients do tous les termes sont réels,
110 PROPAGATION DE l'ÉLECTHICITK
serait aussi une racine et en substituant Àjr et l^r dans J, on aurait (les résultats de la forme
j, = U -t- \i J^ = U — \i
de sorte que r = i sera racine de J, et de Jj.
D'autre 'part, nous avons obtenu (n^ 106) l'équation suivante (éq, 18) où a, X^, Xj sont arbitraires,
['■('^'-'■^?)]>(v-v)yT.,
ij^dr = o.
Prenons «:^i, JjetJ^ sont nuls à cette limite; la première parenthèse est nulle aux deux limites. En outre, de
X,2 = «2 — p -H 2api
on tire
on a aussi
x,^-x,'-^ = 4ap«;
J,J, = U^' H- V^
Il resterait donc
r(U^ H- V*)rfr = 0.
Cette intégrale ne [)eut ètic nulle, donc il n'y a pas de racines imaginaires conjuguées.
Les racines sont donc taules réelles.
On arrive, de la même façon, aux mêmes conclusions pour les lU- rivées d'ordre quelconque de J.
d) Il n'y a pas de racines doubles ; en effet, s'il y en avait une, X,.
CHAPITRE V. — QUELQUES PROPRIETES DE LA PONCTIUN Jg DE BESSKI. 1 1 1
dJ
elle serait commune à J et à sa dérivée - ; ; or on a (^. 20, n^ 107)
Vax faisant /• = a = 1, J et - s'annuleraient ; le spcmid membre
dr
serait nul «'t on devrait avoir
,1 / ar[ J(X,r)]*rfr = o
ce qui est imi)03sible ; il n'y a pas de racines doubles. Il en est de même pour toutes les dérivées de J .
118. — Enfin il reste à montrer qu'il y a bien des racines : nous ferons la transformation suivante destinée à faire disparaître la dé- Pivéo "— du premier membre de l'équation différentielle :
u
=ziyjl
du /- ôJ . 1 ,
i*x ivr a va?
I.M stili-titnaiil ilans l'équation (i). multipliée par ^ r. on trouve Rappelons en passant (jue luiilos les équations linéaires du second
H 2 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
ordre peuvent être débarrassées de la dérivée première de la fonc- tion ; si l'on a
Po 2 -^ Pi -- -+- p^y = ^
Po' Pi' Pi «tant des fonctions quelconques de /? ; en posant l'équation se ramène à
i>a;^ 4Po'
M = O.
Si a? représente le temps et y le déplacement, ce type d'écjuation peut s'appliquer à un grand nombre de problèmes physiques dans lesquels on étudie le mouvement de corps matériels ou électrisés pour lesquels la masse po, la résistance du milieu p, et la réaction élastique jo^ ne sont fonctions que du temps.
119. — Nous allons montrer en suivant la marche indiquée par M. Kneser, que l'équation
— - -\- ou ^= o
dans laquelle o est toujours positif, a toutes ses intégrales oscil- lantes f*),
(iOnsidérons l'équation auxiliaire :
(6) ^-Z + ,.._o,
(') Krbskb. — Math. Ann., t. XLII, 1897. Voir aussi un ancien Mémoire de Stcrm. — Journ. Liouv., t. I, i83C.
CHAPITHE V. — QUKLQUKS PROPRIBTKS OS LA PONCTIO.^ Jq DK 0KS5ICI. 113
9 étant encore une fonction de x, et comparons m et z pour les mêmes valeurs de x. On a
. — H ; -+- (3 — 9)nS = O
cl en intégrant entre des limites quelconques a et ^
— z)uzdx = o.
120. — Considérons le cas particulier où p = j, c'est à dire où l'on prend deux intégrales différentes de la même équation (5). Supposons qu'il existe sur ox ()fig. i6) deux points a et ? qui soient deux ra- cines consécutives d'une des intégrales u, l'équation (7) se réduit à
Si nous sommes sûrs que ti n'est pas infini dans l'intervalle a?, —
a des signes différents en ces deux points, car u a passé nécessaire- ment par un maximum ou un minimum outre les deux.
L'équation exprime que la quantité 2 — a le même signe en a
et ? ; comme — a changé de signe, ^ en a changé aussi et, à moins
que z ne soit nul pour a et ?, auquel cas cette fonction serait iden- tique à M. - aura une racine entre x et 3. On montrerait de même quïl y a une racine de ïi entre deux racines de -.
Ainsi s'il y a une intégrale qui possède une succession de racines distinctes, toutes les autres auront aussi une suite de racines inter- calées entre celles de la première intégrale.
121 • — Considérons le cas où p et 5 sont différents. Supposons
8
114
PROPAGATION DR L ELECTRICITE
qu'on puisse trouver une fonction a telle que, dans l'intervalle de deux racines consécutives de w, (p — a) ne soit jamais positif,
p — J <^ o.
Nous aurons cette fois
(8)
dx = o.
Supposons que dans cet intervalle (ap), où u garde toujours le
même signe, -+- par exemple, z ne s'annule pas non plus et soit par exemple toujours po- sitif. On a alors
^ig..16
d'autre part, on a
'a>0,
<o.
ffi > o ;
dXj^
La somme dos deux premiers termes de l'équation (8) est donc né- gative ; comme tous les termes de l'intégrale sont aussi négatifs réquation (8) ne peut pas être satisfaite : il en résulte que z ne peut pas être positif dans tout l'intervalle ap. Il ne peut pas être non plus négatif dans tout cet intervalle pour la même raison ; il doit par suite changer de signe entre a et p. Donc si Ton connaît une équation auxiliaire (6), telle qu'on ait p — a < o dans tout un intervalle com- pris entre deux racines consécutives do 7t. il y a une racine de z au moins entre les deux racines do u.
Inversement, si on a une équation auxiliairo telle qu'on ait (p — ff) > 0 dans tout un intorvallo entre deux racines do -, il y a une racine de u au moins entre les deux racines de z.
122. — En particulier, si on connaît pour p une limite finie et po
CHAPITRE V. — QUBLQUKS PROPRlérÉS DB LA rO>CTION J, DB BBSSBL 115
sitive n* à laquelle ? reste toujours sujîérieur quanti x croît consUim- ment, on pourra prendre s = n* et considérer l'équation
-". -H n-z = 0 ax*
dont l'intégrale est
;: = A cos /^r -f- B sin nx.
Entre d<Mi.\ racines consécutives de z, il y aura, d'après ce qui préci'de, au moins une racine de ?/.
Si, à partir dune valeur suffisamment grande de x, p est toujours plus petit que (n -h e)*, e étant positif, considérons l'équation
_ + (n 4- e)*tc = o,
dont 1 intégrait' générale est
xc = C cos (n H- €)x -f- D sin [n -^ t)x
entre deux racines de u, il y a toujours une racine au moins de w.
Choisissons les constantes A, B, C, D, de manière que x-=.\ soit racine à la fois de ;î et de i/j et qu'il n'y ait pas de racine de u dans
l'intervalle très petit entre % h -^ et I 4- - , il ne peut pas y
n
•K.
n
avoir plus d'une racine de u entre $ et Ç -+- - _[^ - , et il y en a tou- jours au moins une entre f et ç
U résulte de là que, pour des valeurs suffisamment grandes de x il y a une racine et une seule dans chaque inter^•alle ' •
123- — Pour l'équation de Bossel, la limite est n = i. Pour de très grandes valeurs do x, les racines finissent par se succéder avec un écart t- l'une de l'autre, et on peut prendre l'expression approché
, . 1 A. cos a? -h B sin a? (9) J = l^i
116 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITK
Comment faut-il déterminer A et B pour que les grandes racines coïncident avec celles de l'intégrale particulière J^ qui se réduit à l'unité pour os = o^^ Cette question est très pénible à traiter et nous en donnerons seulement le résultat :
Pour que la valeur limite soit celle qui correspond à la valeur i à l'origine, il faut prendre
A = B = 4
de sorte que la valeur limite de l'expression de J,, dont nous avons k développement en série est
2 cos
(ï-^)
^'.
Le calcul numérique montre que, dès la première racine, c'est- à-dire pour ce = 2 environ, cette expression représente J^ à moins de 1-.
lOO
Dès le premier maximum, la valeur de x3l relative à ce maximum est égale, au centième près, à la valeur constante que prend ce pro- duit pour les maximum éloignés.
Remarquons enfin que cette intégrale J^ n'est pas celle qui con- vient pour l'extérieur d'un cylindre, car le produit xJ, qui représente le flux de force à travers une circonférence de rayon proportionnel à X, devi(>nt infini en môme temps que x et le flux de force croîtrait indéfiniment avec la distance à l'axe.
CHAPITRE VI CÀBLKS. — ÉTAT VARLVBLE
124. — Le problème général de la propagation des variations de potentiel électrique dans les conducteurs est très difficilement abor- dable ; mais il se simplifie lorsque le conducteur principal est un fil très long, entouré de très près par un autre conducteur au potentiel zéro, qui sépaie le fil de tout autre système électrisé; l'ensemble du fil et de son enveloppe conductrice, uniforme sur des longueurs de plusieurs milliers de fois leurs dimensions transversales, est alors soumis seulement à des influences locales, et n'est exposé à aucune action directe des parties lointaines du circuit. Cet ensemble, fil et son enveloppe conductrice séparés par un isolant solide, qui porte le nom de « câble » se comporte comme ayant une capacité électro- statique déterminée ; c'est ce qu'a admis lord Kelvin dans ses études théoriques sur les câbles, dès i855, au début même de cette indus- trie, études qui ont eu une si capitale importance pour le développe- ment de la télégraphie transatlantique.
Nous commencerons par justifier cette vue au moyen de considé- rations empruntées à M. Vaschy (1888), qui montrent que l'approxi- mation obtenue est certainement meilleure encore que ne l'indique une vue rapide du problème.
c)V
125- — Considérons donc un état dans lequel — peut être consi- déré comme uniforme sur une longueur considérable x du fil. Dans le tube isolant, les équations du problème sont
V = — Au;
118 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
sur la surface du fil conducteur, de rayon R, ; sur la surface exté- rieure de l'isolant, de rayon R^, qui est la surface intérieure de l'ar- mature
et entre les deux cylindres concentriques
On satisfait aux deux dernières conditions en prenant
r
V = - Ba; log ~ ,
et à la première en déterminant B par l'équation
ce qui donne
— Ax =^ Hv log ^ ,
1 ^ ° R
loa%'
. 126. Forme des surfaces de niveau. ~ Pour x = o, \ est nul quel que soit r ; la surface de niveau va normalement du câble à l'armature extérieure. Los autres surfaces sont données par
a? log- =€'";
elles ont comme méridiennes les courbes indiquées sur la figure 17 ; qui toutes se rapprochent de l'armature extérieure à laquelle elles sont asymptotes.
CHAPITRE VI.
CABLKS. ETAT VARIABLE
119
Cherchons sous quel angle elles coupent le fil condih t( m : on a à lu surface du fil conducteur
or
A ji^
l'angle a (|ue fait la tangente à [la courbe avec la direction de l'axe est donné par
tgat
dr dx
dx~ ^ or
Riloj
R,
Cette tangente est infinie pour a; = o et décroil avec une extri^me
Figl7
R.
rapidité : car le facteur — ' devient très vite excessivement petit :
par oxemple, avec R^ égal à 3 fois R,, ce qui donne log ^ = 1,09
R
la tangente est de même ordre de grandeur que — ^ ; pour un fil
d'un inilliinètre de diamètre, l'angle a n'est déjà plus que d'une ou deux minutes à un mètre de distance de l'origine
X 200
Les surfaces de niveau partent donc tangentiellement au conduc- teur à une fraction de degré près. Ce sont sensiblement des c>iindres
120 PROPAGATION DE i/ÉLECTBICITÉ
parallèles à la fois à l'enveloppe et au câble comme dans le cas d'un cylindre en cquiiijjre électrique au milieu du cylindre qui l'entoure.
127. Capacité. — Dans ces conditions on peut s'attendre à ce qu'il devienne légitime d'introduire la notion de capacité par unité de longueur, ([ui était absurde pour un fil placé dans un isolant de grande étendue. En effet la densité à la surface est
^ ' àr
en supposant le pouvoir inducteur spécifique de l'isolant égal à i . On peut écrire
La quantité d'électricité par unité de longueur au point d'abcisse x est
n _ At __ - V .
Il y a une relation de proportionnalité entre la charge et le poten- tiel, ce qui permet de définir une capacité par la relation
'iiîMog|^ "'
C'est précisément celle que l'on trouve en éleclroslalique.
Un point à remarquer c'est que cette valeur est applicable tout le long du cable, y compris le point où le potentiel est égal à celui de l'enveloppe et où la surface du niveau est une section droite.
128. — Donc, dès que le potentiel est devenu linéaire sur des longueurs très grandes par rapport au diamètre, —, petit par
rapport à ,, ' , nous pouvons iutroduire la capacité électrostatique
CHAPITRB M. — CÂBUC8. éXAT VARUBLB 121
et nous en servir dans tous nos raisonnements ; les tout premiers instants sont ainsi seuls exclus. En généralisant le résultat du rai- sonnement de M. Vaschy, nous prendrons pour capacité, celle du problème d^équilibre correspondant même quand le fil sera ext-eiitré.
L'ensemble des équations du champ extérieur au fil se résume dès lors dans léquation de charge superficielle :
ai dV
s'il n'y a pas de fuites ; en éliminant / entre cette équation et l'équa- tion tin'o de la loi d'Ohm
léqualion de propagation de l'électricité dans le câble est : df ~ \ C / à*s '
129. Fuites. — La notion de fuites, si confuse dans le problème général, quand il s'agit d'échanges mal définis entre le conducteur et l'isolant qui l'entoure, fait place, pour les cAbles, à une notion beaucoup plus simple, celle de courants dérivés allant, à travers l'iso- lant imi)arfait, du fil conducteur à l'enveloppe qui lui fait face. Dans l'état permanent, et même dans l'état variable, si l'isolant n'absorbe pas l'électricité, la densité électrique dans l'isolant, môme parcouru par le courant dérivé est nulle, et le problème de la distribution du potentiel reste le même que précédemment ; la notion de capacité subsiste, et de plus, d'après les considérations générales du n" 86 le courant du fil à l'enveloppe est égale à //C^V, en appelant toujours Co la capacité géométrique par unité de longueur du fil dans son enve- loppe et k la conductibilité de l'isolant.
122 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
La perte d'intensité par unité de longueur dans le fil, — ' , fournit
maintenant à la variation décharge de la surface du fil, C -- , et au courant dérivé à travers l'isolant //GjV, ce qui donne
<)S dt "
ou, en employant les unités électromagnétiques de mesure, comme nous le ferons toujours par la suite
iP est le carré de la vitesse de la lumière dans le vide ; K est le pouvoir inducteur spécif i([ue de l'isolant par rapport au vide.
130. — L'équation du potentiel le long du fil devient alors, en éliminant i, entre cette équation et celle de la loi d'Ohm
Les propriétés de l'isolant sont malheureusement encore plus com- pliquées que celles que nous traduisons en lui attribuant un pouvoir inducteur K et une conductibilité k' ; mais l'étude expérimentale de V absorption électrique par l'isolant n'ayant encore révélé aucune loi susceptible d'expression mathématique, nous ne pouvons nullement en tenir compte dans la théorie.
L'équation :
(i) /.--R^ ^ = i^, Co "^ + />K\
est la même équation différentielle qu'Ohm avait obtenue. Mais les coefficients d'Ohm avaient une signification toute différente de ceux-ci.
Ici ., Cy est un coefficient de charge superficielle ; tandis que le
CHAriTRK VI. CÂBLES. ÉTAT VARUBLK 123
coefficient correspondant d'Ohm était un coefficient de charge par unité de volume, correspondant à une propriété hypothétique du mé • tal au lieu d'une propri«'té géomélrique. dans laquelle n'intervient que K. pouvoir inducteur spécifique du milieu extérieur.
131. — l'our tout phénomène défini par des équations différen- tielles linéaires, l'influence de l'état initial et celle d'une modification locale peuvent être étudiées séparément ; l'addition des deux solu- tions convenables, l'une avec modifications locales imposées en fonc- tion dn temps, l'autre avec un état initial simple, fournit la solution pour le cas général.
Nous pouvons donc distinguer deux cas types :
1" Etat initial donné en x ; loi du retour à l'équilibre.
a* Etat initial d'équilibre : modification locale donnée en fonction «lu temps ; loi de la propagation.
C'est ce second problème, qui dans le «as des câbles est le plus important.
Ecrivons l'équation sous la forme
/ , représente la conductibilité do câble ^-R^ ;
o, celle de l'isolant Ar'Co :
Y. est la capacité du câble tv^ C^.
132. Solutions simples- — Etudions d'abord les solutions sim- ples de la forme
X et ^ satisfont à l'é(|uation
/.»"' = ï^ -+- ?'
124 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
La vitesse de propagation correspondant à cette solution est
p /a o
1° Supposons a réel, p et w le sont aussi et l'expression pré- cédente montre que la vitesse w est réelle ; elle croît avec la con- ductibilité du càble ; elle dépend de la valeur de a c'est-à-dire de la forme de la courbe exponentielle au temps o ; elle varie en sens inverse de la capacité y-
2° Examinons le cas plus général oii a et P sont des imaginaires quelconques ; soient
L'équation (3) devient
(4) p, + ih = ^^^'— -y^^— ^- + ^^ «.x,e.
133. — Cas particuliers : La disparition de l'état troublé est pro- gressive sans oscillation, si p^ est nul, ce qui exige que l'une des deux quantités a^ ou «i soit nulle aussi ; cela arrive si l'état initial dé- veloppé dans le sons des x est purement exponentiel {on.^ = o) ou s'il est purement oscillatoire (aj = o).
(a) a, = o. Examinons d'abord ce dernier cas. Quelle (juc soit la période en longueur, la solution est donc toujours de la forme
(5) V = Ae ï Y cos oto-r
L'amortissement comprend deux termes :
- ^ t Le premier e ï dépend du rapport des fuites à la capacité, et il
est indépendant de la longueur d'onde.
CHAPITRE VI. — CÂBLKS. ÉTAT VARIABLK 125
_ y^ t
Le deuxième terme e Y dépend de cette période par «^ et du rapport de la conductibilité du fil à la capacité.
L'amplitude décroit sur place snns qu'il y ait de propagation.
h) «, = o, a, <C o Etat exponentiel, a|)plicable à un câble limité du côté négatif :
V = Ae X ^ r ^ ' • Cet état n'est décroissant en fonction du temps que si l'on a
" /.'
la décroissance du potentiel en r ne doit pas être trop rapide, pour qu'il y ait décroissance dans le temps ; la limite de décroissance en X est d'autant jdus voisine de l'uniformité que les fuites sont plus faibles. Pour
.,=-v/|.
l'étal est indépendant du temps.
134. — c) Supposons maintenant le phénomène purement pério- dique en fonction du temps (obtenu par exemple par un entretien en un point déterminé du fil).
Nous aurons
et par suite
d'où
= o.
fil'^ - 'X,^\ t=
(6)
126 PROPAGATION DK i/ÉLECTRICITÉ
La solution devient
V = Ae" ' Vl + ^ + •• ("^ + ' S? '= V''^ "^ i ) •
en choisissant le signe du radical de façon à avoir un pliénomène s'amor tissant du côté positif ; en prenant la partie réelle et en choi- sissant convenablement l'origine du temps :
(-) V = Ae~ "^ V /. ^ '''' cos \ a, [ce — -^^ t y/? + a^^J ( .
A un instant donné l'amplitude est représentée en fonction de l'espace par une courbe périodique amortie dont les nœuds se trans- portent, quoique l'ampUtude en chaque point ne «lépende pas du temps. La vitesse de propagation des nœuds
dépend de tout ce qui caractérise le câble et l'oscillation. Elle croît
Fig 18
avec la conductibilité du câble, décroît quand la capacité augmente ; croît quand a^ augmente, donc quand la longueur d'onde diminue. Enfin elle croit avec cp, c'ost-à-dire quand les fuites augmentent. Remarquons que si l'on augmente indéfiniment la longueur d'onde (a, = o) la vitesse de propagation tend vers une valeur limite mini- mum, - v/?x> différente de zéro quand il y a des fuites.
CHAPITRE VI. — CÀBLKS. BTAT VARIABLE 127
135, — d) Enfin, considérons le cas général où le mouvement en un point «^st périodique et amorti :
la solution sous la forme réelle est
(8) V = Ae"~ "''*' ~ ^'* cos (a^r ■+■ p./).
Dans ce cas. il y a plusieurs vitesses de propagation à distinguer suivant la nature du phénomène observé.
1° Si nous observons les passages du potentiel par zéro, le cosinus nous donnera pour vitesse des na^uds
p. 2a,
— ~' ou ' .
*i Y
Cette vitesse de propagation est en raison inverse de la capacité et proportionnelle à a, c'est-à-<lire à ramortisseinent île la distribution en longueur ; elle est indépendante de la longueur donde.
2° L'amplitude Ae~ '''^ ~* "'' se propage avec une vitesse différente . de la précédente,
«1 Y \ ^i ' V«i
qui dépend de toutes les qualités du câble, de l'amortissement et de la longueur d'onde.
.'î" L'intensité du courant est
— /.
/A ~ ''«•^ ~ ^'^ [a, COS {oi^o!-^ 3,0 -+- «2 sin (ol,x + p,o].
ses nieuds et son amplitude se propagent comme ceux du potentiel. En résumé, il n'y a pas, dans les câbles, de vitesse de propagation déterminée indépendante des circonstances ; mais on peut créer des séries d'états qui se propagent avec une vitesse uniforme.
136. Formation d'une intégrale plus générale. — Revenons à la forme de solution simple donnée par l'équation (5) ; en effaçant
128 PROPAGATION RE l'ÉlECTRICITÉ
l'indice devenu inutile el laissant arbitraire l'origine nous pouvons la mettre sous la forme
(9) V = r e T (A cos x/; -+- B sin %x).
En ajoutant une infinité de solutions simples de cotte forme nous aurons une série ou une intégrale de Fourier permettant de repré- senter un état initial arbitraire. Les solutions indiquées par Fourier, à propos de la chaleur, sont les plus intéressantes (*).
Si nous avons un fil indéfini du côté des x positifs nous pourrons dans le calcul le considérer comme indéfini dans les deux sens, en prenant à gauche un état initial résultant de celui qu'on s'est donné à droite ; en particulier si l'état initial est représenté à droite par une fonction impaire il faudra prendre, pour — x, la môme valeur initiale que pour + x, changée de signe.
137. — Un des premiers cas étudiés par Fourier est le suivant : ù l'instant initial on établit un potentiel uniforme (température de Fou- rier) égal à 1 , sur une portion de longueur égale à 1 à partir de l'origine; partout ailleurs le potentiel est nul.
La fonction qui donne cet état initial est
10) \ = I cos :1.x ai.
r„
La source qui entretient ce potentiel constant, étant subitement enlevée, il se produit une diffusion progressive représentée par
(II) V = -e X / e cos a,r dx,
■n / a
On remarquera que, par suite de la présence de l'exponentielle, sous le signe /, la discontinuité ne se conserve pas.
138. — On doit à Laplace {Journ. Ec. Polyt. XV Cahier) une forme d'intégrale qui met en évidence l'état initial.
(1) FoDBiER — Théorie de la chaleur. Ch. ix n"' 347, 3'(8.
CHAPITRE VI. — C^BLtS. ÉTAT VARIABLE 129
Partons de l'intégrale connue
ffq = \^r
Cette intégrale étant prise de — x à -+- x nous pourrons rem- placer q par 9 + ', ' étant une constante, sans changer la valeur de l'intégrale
/ e- ^' + ^>'rfî = \^= I
■: ne dépend pas de ç, nous pouvons donc écrire
.+ X
/
(12) I e-î -"3rfî = e'V^.
D'autre part la forme générale de la solution simple est :
Y = Ae»" + ?*, aveo
on peut écrire :
Posons :
d'après ce qui précède, on pourra écrire.
_x
9
130 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
Ajoutons maintenant un nombr»; quelconque de solutions de ce j,'enre, les A et les a étant différents, nous aurons :
qui se réduit pour / = o à
V-=-- / e-'/
-V^Ae'^).:/^ = [ VacH.
139. — Sans nous inquiéter pour lo moment des caractères gé- néraux de cette fonction, nous sommes bien certains qu'elle est ar- bitraire dans une large mesure ; et nous pouvons y mettre en évidence l'état initial : en effet si à l'époque t = o nous avons comme condition initiale :
(i4) 2Ae«^ = F(^)
F étant une fonction connue de l'espace x, la fonction entre crochets sous le signe | , est :
F U
-^wt-
Nous obtenons donc l'expression
"'^ ''=Vi I e-'n^-^n/")''*
00
où l'état initial est bien mis en évidence.
CHAPITRE VI. CVBLBS. ETAT VARIABLE 131
Remarquons qu'à l'intégrale (i5 relative à un état variable quelconque nou<; pouvons ajouter une solution indépendante du temps repiôsonlaiif un état permanent.
140- — Le cas le plus intéressant pour l'étude de la propagation dans les câbles, est celui où. dans l'état initial, le potentiel est nul partout, sauf à rorigino. où nous le prenons égal à i et où il garde constamment cette valeur.
Pour X = o nous devons à toute époque avoir V = i .
Au l)out d'un temps infini la solution correspondant à l'état permanent vers lequel on tend , est
nous prenons | x \ parce que nous admettons que le câble est symé- trique par rapport à l'origine. L'état initial est représenté parla fonc- tion
F(.r)4-e-'"'Vl
ce qui nous conduit à prendre, dans l'intégrale
— ? /*"^ ^
«^ — X
81 X est positif Fi(^) = — e V /.
81 X est négatif Fj(-r) = — e V /.
Sous le signe / il faudra remplacer Y ix — iq \/ - ) par vAx -%q \/lj ) et par F, (x — 'xq y^^U\;
132 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
la variable étant q, le changement de la fonction F, à la fonction Fg se produit pour
î^fV^lr
Il faudra donc écrire l'intégrale, en séparant les deux parties
«.^ GO
dq
•-* V yj-
141. — Mettons en évidence, dans ces intégrales, les termes
elles s'écrivent :
la première — / e "^ \ 7. q \ \ Y / dq
Vit /Ô _ / 1 /U\"
la seconde +/e^ VXe ^ VT/f^gr.
Prenons comme variables respectivement
^ = q — Y ^ dans la première,
^=' q -h v/^ dans la seconde,
et faisons sortir du signe d'intégration les facteurs indépendants de
CHAPITRE VI. — CÂBLES. ÉTAT VARIABLB
ces quantités ; nous aurons finalement
\/î-v/f _
133
H- e
Y - \ / " /
e~=^ d\
— ao
Portons dans l'équation (16) cette valeur de l'intégrale qui y figure ; il vient
\' ^
-VI:
142. — Cette solution satisfait bien aux conditions géné- rales :
1° Pour « = ao et X fini, les deux intégrales sont nulles et on a bien la distribution qui correspond à l'état permanent du câble.
a" Pour < = 0 et a; ;zf o, la seconde intégrale est nulle; la première égale à v/ît ; il en résulte que V est nul.
3° Enfin pour .t? =: 0 et à une époque quelconque, les deux inté- grales sont égales et se détruisent, et il reste seulement le dernier terme, égal à l'unité.
143. Discussion. — L'équation précédente est difficile à discuter, et comme dans la pratique on cherche à diminuer les fuites le plus possible, c'est le cas où elles sont nulles qui a fuit l'objet principal des recherches de Lord Kelvin ; faisons donc
ç = o.
134 PROPAGATION DB l'ÉLECTRICITÉ
Posons
(18)
Cette fonction ê est bien connue ; on en a dressé des tables nu- mériques (voir Tables de Eouët). L'équation (17) devient alors
(•9) ^='-'^{~2\/7t)'
Dans le cas où il n'y a pas de fuite, le potentiel ne dépend que de la variable
•2 V yl
il est facile de voir sur l'équation différentielle même, par de simples considérations d'homogénéité, que lorsque
/i = 0,
c'est bien là la variable essentielle du problème. La capacité et la conductibilité n'interviennent donc que par leur rapport.
144. — Le temps au bout duquel le potentiel on un point x atteint une fraction déterminée du potentiel à l'origine varie comme le carré de cette distance ce. Ce résultat extrêmement important, énoncé par Lord Kelvin au moment des grands projets de communication par câble avec rAméricpie, n a pas été admis du premier coup ; les électriciens n'étaient familiers qu'avec lidée simple d'une vitesse de propagation, c'est-à dire d'une durée de propagation proportionnelle à la dislance.
En particulier un iimcnieur des télégraphes anglais, Whitehouse, publia en 1 856 les réî^ultals d'une série d'expériences qui infirmaient
CHAPITRE VI. — CÀBLBS. ÉTAT VAlUAllLE 135
la loi de Lonl Kelvin ; il trouvait on cffft pour le retard à l'arrivée les liurées indiquées ci-tK-ssous :
Longoear da eAbI>- Retard i larrirâc
83 milles o*.o8
i66 = a X 83 o ,i4
a49 = 3 X 83 o ,36
498 = 6 X 83 o ,79
535 o ,74
loau 1 /l'j
Les nombres obtenus sont irréguliers, cependant semblent plutôt correspondre à une loi linéaire.
Lord Kelvin répliqua en faisant remarquer que les conditions de l'expérience n'étaient pas celles que suppose la théorie : Whitehouse en effet maintenait le contact du câble avec la source pendant une durée limitée et notait non une fraction déterminée du potentiel ini- tial mais l'apparition du signal qui manifestait le courant ; dans ce cas la théorie est beaucoup moins simple.
145. Emission de durée limitée.— L'expression de V que nous avons donnée suppose que, le câble étant d'abord au potentiel o, on met un bout en communication avec une source dont le potentiel varie suivant une loi déterminée en fonction du temps ; alors V est de la forme
y = nt,x)
t étant compté à partir du moment où l'on établit le contact.
Si au lieu d'être établi à l'origine du temps, le contact est établi au temps -, on a
Etablissons d'abord le contact au temps o avec une source à po- tentiel constant, puis supprimons-le au temps x et rétablissons la communication avec le sol ; la solution est évidemment donnée pour les époques postérieures à t. par
\ = f[t, ..■)-/•[< -X, x],
en prenant pour /"le second membre de l'équation (17).
136
PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
Si un potentiel très élevé Vo, est maintenu pendant un temps très court, on aura
V = (V.x) 5(;
nous pouvons toute la distance.
prendre simplement — pour représenter le potentiel à
146. — Les courbes correspondant à ces divers cas ont été pu- bliées par Lord Kelvin, dans une correspondance avec Stokes,où l'on retrouve tout le détail de cette discussion. Portons en abcisses les temps et en ordonnées les potentiels : si on supprime le contact après un certain temps '^, il faut à partir do cet instant retrancher des ordonnées de la courbe primitive, celles de la même courbe avancée de t comme l'indique la figure 19.
Pour tracer les différentes courbes, Lord Kelvin a pris une unité de temps particulière a, arbitraire,
Fig.l9
'^'ÎMÏ)]
Il u tracé une série de courbes pour lesquelles le contact était sup- primé au bout des temps.
v-i
Fiê.20
n, ia, 3a,.,. 7a,
cette unité a est telle que, pendant ce temps, le poten- tiel subisse un accroissement égal à —^ de sa valeur maximum. Au bout de in il aura atteint .7 ; de 3rt, ~ ; et enfin au bout de 7a, - .
ÀO 30 ' JO
CHAPITRE VI. cAbLKS. ^AT VARIABLE i37
Il a trac»' aussi la courbe correspondant à un contact très court avec une batterie puissante, telle que le produit (Vt) du potentiel V de la source par la durée ~ du contact est égal à i.
La courbe fig. 20) a le môme aspect mais monte plus rapide- ment que dans les cas précédents.
147. — Si la longueur du cùble varie, il faut, pour avoir la même courbe, que la duré*» du contact soit proporlionnelle à (a) c'est-à- dire au carré de la longueur ; or, dans les expériences citées plus haut, Whilohouse paraît avoir établi le contact pendant la même durée, (iiielle ({uc fût la longueur ; dans ce cas on peut trouver, en se servant des courbes, le temps au bout duquel arrive le potentiel maximum d'après la théorie :
Longueur des câbles en
milles marin:; .... i")o 3oo 600 i aoo a 400
i» Durée de contact extrêmement courte mais avec une batterie puissante :
E|)oque5 d'arrivée . . . o»,oi64 o»,o656 o',i6io i»,o49o 4*» '960
2» Durée de contact : 1 seconde Epoques d'arrivée. ... i" i' i',io4 i»7o 4'-^3
3» Durée du contact : 16 secondes Epoques d'arrivée ... i^' ifi» i6» i6« '7*.49
L'allure des nombres change complètement d'un cas à l'autre. L'arrivée du maximum retarde énormément à mesure que la durée du contact augmente.
L'arrivée dune fraction déterminée du maximum se fait toujours au bout d'un temps fini qui atteint une valeur limite pour chaque câble. Le tableau suivant indique pour un câble la valeur de ce temps (fraction / du maximum) pour une durée déterminée du con-
138 PROPAGATION DE l'ÉLBCTRICITÉ
tact et pour les autres la valeur limite et la durée du contact pour laquelle on atteint cette valeur.
Durée (lu contact Epoque d'arrivée des - dû maximum pjur les c&bles de
en ieror.dea 4
iSo milles 3oo milles 600 milles 3400 milles
o o»oii
1/3 o«,o37«
2/3 » o»,i5i
8 » » o',6o4 Contact
permanent » » » 9''6^4
Ces tableaux montrent quil y a place pour toute une variété de lois apparentes du temps que met à arriver une fraction déterminée du maximum. Or, c'est une traction du maximum, d'ailleurs assez mal déterminée, dépendant de la sensibilité des appareils récepteurs, que l'on observe lorsqu'on note le début de la déviation, il n'y a rien d'absurde à ce que, dans un cas particulier, Whiteliouseait pu trou- ver une proportionnalité grossière de ce temps à la longueur.
148. — Cette discussion montra péremptoirement que, pour con- server la même durée de propagation, il faut changer ^ dans le même rapport que x^.
Or X est proportionnel à la section du fil et y dépend de log 5^ ; si
on laisse j^ constant, 7 est constant et x varie comme le carré de R, ;
donc il faut faire varier Ri dans le môme rapport que la longueur ; c'est ainsi que Lord Kelvin conseilla de fabriquer le premier câble trausatlantique par rapport aux petits câbles déjà connus.
Cette proposition donna même lieu à une méprise assez amusante, et qui montre bien la difficulté qu'éprouvent souvent les praticiens et les théoriciens à se bien coiiiijrendre : au lieu de prendre un seul gros fil central, Lord Kelvin uvuit propo:;é de former ce conducteur au moyen d'un groupe de fils fins tressés ensemble, ce qui conserve au câble une flexibilité plus grande et diminue beaucoup les chances
CHAPITRE VI. CÀBLBS. KTAT VARIABLE 139
(le rupture intérieuif. M. Wliitehouse, -ayant cru (MJinprendre renoncé, mais n'ayant pas du tout compris la théorie, crut pouvoir contrôler la théorie de lord Kelvin eu employant trois fils couverts séparément de gulla, et placés cAte i\ côte ! Il obtint naturellement des résultats imprévin, dont lord Kelvin n'eut pas grand peine à indiquer l'origine.
149. — Les durées de propagation calculées par Lord Kelvin dans les tableaux précédents se rapportent à un càblc hypothétique. Un des câbles les plus longs qui avaient été posés à cette époque ( 1 856) était celui de Varna à Balaklava, d'une longueur de 4<'o milles. Mais il avait été employé, sitôt achevé, et on avait fait peu de mesures techniques ; or il était nécessaire de calculer pour ce câble les coefficients de l'équation; les capacités étaient bien connues par des mesures électrostatiques (Lord Kelvin prenait 2 comme pouvoir inducteur spécifique de la gutta- percha) ; mais dans notre équation entre k, la conductibilité connue seulement en unités électromagné- tiques. Le passage d'un système à l'autre était impossible à cette époque et Lord Kelvin indique à Stokes à ce propos, qu'il a l'inten- tion de mesurer le rapport des unités (Q^j ; quelques mois après paraissent les expériences de Webcr et Kohlrausch qui déterminent ce rapport et Lord Kelvin en tire aussitôt parti : dans le câble de la mer Noire la durée théorique de propagation du maximum pour un contact de durée très courte est o'.u;; il en déduit que pour un câble de a4oo milles cette durée serait de 4% 2 et il en conclut la ra- pidité de transmission des signaux à travers l'Atlantique, qu'il sera possible d'atteindre au moyen des appareils qu'il avait déjà ima- ginés, et qui sont encore aujourd'hui parmi les plus sûrs pour les transmissions lointaines.
150. Potentiel variable à lorigine. — Vj, ;= /"i/). L'intégrale (19;
qui donne, à partir de l'état neutre, l'effet d un contact prolongé
140 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
depuis < = o avec une source au potentiel i, permet de former faci- lement la solution du nouveau problème.
ôV Une variation — - dx du potentiel à Torigme, produite à l'époque t,
ajoute à l'effet de la diffusion de l'état qui régnait à cette époque x, une variation
i>V
p
'^{^ - ^iWw'^dy
si l'état neutre régnait à l'époque o, nous aurons à l'époque l : (20) V =
-{:("{ -^iw]
/.(^-^)
qui contient la variable t, à la fois sous le signe d'intégration et en limite de l'intégi'ale, tant que le potentiel à l'origine n'est pas devenu constant. En un point quelconque, l'intensité du courant est :
(21) ^• = -v^-Y=^. f ^/"x v/~~ï~~ ~ T yi^) .
en tenant compte de l'expression (18) de la fonction 8.
151. Débit donné à l'origine. — Si nous dérivons l'intégrale (19), par rapport à x, nous obtenons une nouvelle intégrale, l'équa- tion différentielle étant linéaire :
(22) V =
^['-<\/i:)]-h^h-^'-
Le potentiel initial dans Tiutégrale 191 était nul partout, sauf pour a? = 0 ; il en est de même pour l'intégrale obtenue en dérivant par
CHAPITRS VI. — cAbLES. éxAT VARIABLE iif
rapport à r. Quant au potentiel à l'origine, il passe brusquement, pour t = o, de zéro ù l'infini, pour décroître ensuite suivant la loi
Vo
L'intensité du courant
[— (?v^^)]
est égale, en vertu de l'équation différentielle à laquelle satisfait la parenthèse, à
(-) '•=-^;;['-'<n/?<)].
et la quantité totale qui a traversé la section x, de o h t, est
w) y^'<"=-J.-=f.(?\/ï)j.
A l'origine, en particulier, nous savons donc que la quantité totale émise passe brusquement de o à — y à l'origine du temps, et reste ensuite constante. La solution (22) nous donne donc l'effet de la transmission instantanée d'une quantité — 7 d'électricité, l'origine du fil X = 0 restant ensuite isolée.
Une émission de courant suivant la loi
i = ^ft\ donnera donc un potentiel
V = -i-4= / M--)\/-..-^^e ^^>d-..
Ainsi sont complètement résolus les cas plus importants au point
142 PROPAGATION DE l'ÉLECTHICITK
de vue pratique, ceux où l'on se donne la force électromotrice ou l'intensité du courant à l'origine.
Depuis les premiers mémoires de Lord Kelvin, l'étude des mêmes problèmes a été poursuivie par les ingénieurs des télégraphes, en tenant compte des fuites. On trouvera un résumé des résultats obtenus dans le a* volume du Traité d'électricité de M. Vaschy.
152. — Une des questions que Lord Kelvin a examinées est celle de l'influence que peuvent avoir l'un sur l'autre plusieurs fils distincts placés à l'intérieur du même câble. Si l'on veut envoyer dans une ligne plusieurs dépêches à la fois, faudra t-il prendre plusieurs câbles ou dans le même câble plusieurs fils isolés l'un de l'autre? Ce dernier cas est de beaucoup préférable au point de vue économique, mais au début Lord Kelvin ne croyait pas qu'il fut possible d'assurer suffisamment l'indépendance des fils pour éviter des perturbations ; nous nous contenterons de poser la question et d'indiquer la forme des solutions.
Supposons que nous ayons deux fils seulement, de conduclibilité /, et /^ : l'un sur une très grande étendue est au potentiel Vi, l'autre au potentiel Vj. L'excès d'électricité qui entre sur celle qui sort est :
pour le premier câble /, -— :/ pour le deuxième cAble /., — ,^
C'est cette quantité d'électricité qui sert à les charger l'un par rapport à l'autre et à l'armature ; nous admettrons que la notion de capacité subsiste encore avec la même valeur qu'en électrosta- tique. Or. on sait que l'on a
M. -^ Y,V, -h Y.,(V, - V,) M, = y,Y, 4- Y,,(V, - V,).
CHAPITRE VI. CÂBLBS. ÉTAT VARIABLB |43
Noos aurons par suite ici
I à*\\ dV, «> .. ,.
Pour intégrer ce système d'équations aux dérivées partielles, mul- tiplions les équations par des constantes a, et a^ et ajoutons : il vient
(t»«î-+- Yii«î— Y,îa,)V,].
On pourra, de deux façons différentes, déterminera, et a, de façon à avoir la même fonction dans les deux membres : il suffit de poser
3) ^^ = ^^ = ^
ce qui donnera une équation du second degré en y ; aux deux ra- cines correspondront des équations de la forme
, , d^u' _ du'
' dx- di
équations semblables à celle que nous avons déjà intégrée et où u' et u' sont des combinaisons linéaires de V, et V^ ; nous n'aurons plus qu'à combiner les intégrales générales de u' et u' pour trouver l'expression de V, et celle de V^.
153. — Supposons, pour simplifier, les deux câbles identiques et semblublement placés ; alors
/.i=/.j=7. Y. =Ys = Y-
144 PROPAGATION DE l/ÉLECTRlCITK
En ajoutant et retranchant les équations [ i nous auroni :
X ,^, (V, + V,) = V ,7 (V, + V,)
xi (V. - V,)==Yi, (V. -V,) 4- ï.,i(V.-V,).
Nous aurons des solutions de la forme
^""^ ) / y \
i ' ' \ Y -^ ïn/
154. — Supposons que le fil (2) étant toujours en communication avec le sol aux deux bouts, nous établissions le contact du fil y à l'origine avec une pile et que nous maintenions ce contact : il suffira dans les équations (5) de prendre la même fonction (19) pour îr et ^' : en effet à l'origine,
Vi 4- Vj prend la valeur 1 pour « = o et la conserve, V, — Vj prend la valeur 1 pour f = o et la conserve.
Par suite V, prend à l'origine la valeur 1 et la conserve, Y^ garde toujours la valeur o. On a donc
Pour que l'indépendance des deux fils soit suffisamment assurée il faut évidemment que y H- Yi 2 diffère peu de y; c'est-à-dire que la capacité y,j d'un fil par rapport à l'autre soit négligeable devant sa capacité y par rapport à l'armature.
On voit, pour ainsi dire intuitivement, qu'il faut pour cela que l'angle sous lequel un fil est vu du centre de l'autre soit une petite fraction de l'angle 2r sous lequel on voit de ce point l'enveloppe elle-
nilAl'ITHK VI. -" CAIII.K. AtAT VAHIABr.K \ i'\
uu^ine ; celte condition est facile à réaliser en éloignant suffisamment les fils l'un de l'autre.
155. — Dans toute cette théorie des cAbles nous avons, avec Lord Kelvin, regardé le phénomène de charge du câble comme étant le phénomène capital ; c'est ce qu'avait clairement établi Faraday (') par ses observations de i854 dans la Tamise, quelques mois avant le début des recherches de Lord Kelvin, provoquées par une lettre de Stokes du 16 Octobre i854. On pourrait se demander maintenant dans quelle mesure il est raisonnable «le supposer que l'armature se maintient au potentiel zéro, tout en se chargeant à sa surface inté- rieure autant que le fil lui-même. La légitimité de cette hypothèse provient évidemment de <'e que l'armature est en communication directe avec l'eau de mer qui l'entoure, qui par son étendue indéfinie oppose une résistance incomparablement moindre aux courants que le fil fin de cuivre. Dans un mémoire de 1877 (*), Kirchlioff a amorcé cette étude ; considérant le conducteur cylindrique, l'isolant annulaire et la mer indéfinie tout autour, Kirchhoff a formé les solutions simples de la forme
V = [AJo (imr) -+- BY o{imr)] e'»"^ + «'
qui contiennent pour lisolant annulaire les deux fonctions de Bessel Jq, et Yf, qui est nulle à l'infini, mais seulement l'une d'elles, J^ dans le cui\Te, et Y^ dans l'eau.
Les quatre coefficients A, B, et la valeur numérique de m qui correspond à une valeur donnée de 0, sont déterminées par les quatre équations de continuité aux deux surfaces de séparation :
;'; On electric Induclion — Associated cases of current and «tatic effects — Proc. R. I. 1854. Exp. Res. III. 5o6.) — On subterraneous Electro-Telegraph Wires. — (PA. M. i854) [Exp. Res. Sai). — Faraday renvoie à un article de W. Siemens. {Ann. Ch. XXIX p. 398) qui avait observé dès iSjo les m^mcs faits que Latimer Clarck et Faraday en i854.
Further observations on associated cases, in electric Induclion, of Current and stulic effecls. — (P//. M. i85.'j; {Exp. Res. III. .i;')).
(^) Zur Théorie der Bewegung der Electricitât ia unterseeischen und unterir- dischen Telegraphendrfihten. — Monatsber, Ak. Berlin et Abh. I. p. i8a.
10
146 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÈ
continuité du potentiel, continuité du courant. L'équation en m résultant de l'élimination des coefficients A, B, est naturellement intraitable dans sa généralité ; Kirchhoff se borne à montrer que si 9 est assez petit on retombe sur la solution connue. Il n'y aurait naturellement rien à tirer de la combinaison des solutions simples de Kirchhoff, dans le cas général, à moins d'un travail de discussion numérique considérable, et qui semble hors de proportion avec le résultat à obtenir.
CHAPITRE Vif CHAMP ÉLECTROSTATIQUE DES COURAiNTS
156. Courants permanents. — Les lois d'Ohm fournissent des renseignements complets sur la distribution des courants permanents à l'intérieur des conducteurs et sur la distribution des potentiels tant à l'intérieur quà la surface ; mais elles ne fournissent aucune indi- cation sur le champ électrostatique qui les environne et, en l'absence d'exemples traités d'une manière complète, on en est réduit à quel- ques vues insuffisamment justifiées. Commençons donc par poser le problème électrostatique à résoudre.
Etant donnée, par les lois d'Ohm, la distribution permanente des potentiels à la surface des conducteurs parcourus par les cou- rants, et les potentiels ou tes charges des conducteurs isolés, trou^ ver le champ électrique dans fisolatit homogène qui les entoure et, par conséquent, la distribution des densités superficielles sur tous les conducteurs.
157- — Le problème se partagera, comme en électrostatique, eu plusieurs autres :
1° Le circuit est parcouru par le courant, tous les autres conduc- teurs sont au sol.
2° Le circuit est tout entier au potentiel zéro — (fiction mathéma- tique irréalisable, à moins de séparer par des coupures infiniment minces chaque partie homogène de ses voisines et de la mettre en communication avec un conducteur isolé de même nature infiniment grand et infiniment éloigné) ; — les autres conducteurs sont aux
148 PROPAGATION DE l'kLECTRICITÉ
potentiels donnés, ou chargés de masses connues, excès des masses données sur les masses induites dans le premier problème.
Ce second problème est purement électrostatique.
Les densités superficielles tout le long du circuit s'obtiennent en ajoutant les densités réelles du premier i)roblème aux densités in- duites sur un conducteur homogène de même forme que le circuit dans le second problème. Dans l'état permanent comme dans l'état d'équilibre, la composante normale interne de la force électrique est nulle à la surface libre, de sorle que la densité superficielle est entièrement définie par la composante normale de la force dans l'isolant.
158. — Le premier |)roblènie est immédiatement résoluble par l'emploi de la fonction de Green, lorsqu'on connaît celle qui con- vient à la forme et à la position des conducteurs en présence.
Le potentiel V est donné, constant ou variable, continu ou discon- tinu, à la surface des conducteurs isolés et du circuit. Il doit être fini et continu dans tout l'isolant, nul à l'infini, si le champ est illi- mité.
Lorsque la fonction de Green est connue sous forme finie, comme pour la sphère, le potentiel V qu'elle fournit se présente sous forme d'une intégrale définie. On peut donc donner sous cette forme, pour la sphère, le champ résultant d'un nombre quelconque do points ou de lignes doubles superficiels ou de feuillets internes, faisant fonc- tion de pile à la surface ou dans la masse, — pourvu qu'on sache traiter le problème de distribution de courants correspondant.
Môme dans ce cas où la fonction de Green est des plus simples, si l'on veut étudier l'ensemble du champ, l'emploi du développement en fonctions sphériques sera préférable.
Dans le seul cas qui corresponde vraiment à un circuit, celui du tore, la fonction de Green se présente sous forme d'un développe- ment en série de fonctions spéciales à cette forme de corps, et fournit le moyen le plus rapide de former les coefficients de la série analogue pour le problème actuel.
CHAPITRE VII. — CHAMP KLECTROSTATIQUR DES COURANTS 149
Mais la discussion sans calculs luiinénciuos étendus reste généra- lement peu abonlablo et tn's iTicoinplcfc.
159. — Cont«'ntoiis-nous doiic de quelques indications.
Pour un fil cylindrique parcouru i)ar un courani permanent et éloijjné (le tout autre conducteur, rindélerminalion est complète ; on s'en rend compte facilement. Le courant et la résistance du fil par unité de longueur étant finis, le potentiel est infini positif à un bout, infini négatif à l'autre bout, et comme d'ailleurs il faut que le cou- rant se ferme, le potentiel est indéterminé à grande distance. Il est donc absolument impossible de rien dire sur la forme dos surfaces de niveau autour du fil. La supposition d'une distribution isotrope autour de l'axe, qui permet quelquefois d'achever la détermination de problèmes analogues, n'est ici d'aucun usage. A l'extérieur, les surfaces de niveau peuvent être des plans normaux à l'axe, (densité nulle) des surfaces aboutissant toutes sous le même angle (densité constante) ou sous des angles variables quelconques au conducteur, tout cela dépend de la manière dont le circuit se ferme au loin, et il est aussi raisonnable de parler de densités croissantes au rebours du potentiel que de l'inverse. On ne sort de cette indétermination que si le fil est entouré d'assez près par une enveloppe conductrice en communication avec le sol, qui lui donne une capaciU'; déterminée par unitr- de longueur, lorsqu'elle se maintient à distance constante du fil, comme nous l'avons vu à propos des câbles.
160. — De même, au voisinage immédiat d'une surface de contact de deux métaux, la loi des potentiels électrostatiques que produirait la couche double seule, est trèsdifférentede la loi de variation linéaire qui est due au passage du courant, en sorte que la production de celle-ci exige la présence de densités superficielles compensatrices le long du fil : on peut se faire une idée de leur importance de la ma- nière suivante. Le champ de la couche double AA' (fig. 21) seule est identique au champ d'un feuillet magnétique de même forme et de même puissance ; la distribution des forces est celle que les spectres magnétiques nous ont rendue si familière ; la ligne de force
150
PROPAGATION DE L ELECTRICITE
partant d'un point de la surface positive contourae le bord A de la couche double et vient aboutir au même point sur la face négative. Les surfaces de niveau, qui sont orthogonales aux lignes de force, viennent toutes se couper le long du contour AA' de la couche double, puisque les potentiels de ces surfaces sont tous compris entre les po- tentiels extrêmes de la couche double. Ainsi, près du contour de la couche double, où les surfaces de ni- veau sont infiniment voisines, la force due au champ de la couche double seule devient infinie. De quelque ma- nière fjue parto la surface du conduc- teur, elle coupe normalement les lignes de force de la couche double.
Or, dans l'état permanent, la sur- face du conducteur est, non pas nor- male, mais tangente aux lignes de force intérieures. Pour compenser ces forces dues au champ de la couche double seule, forces dont la composante normale croit indéfiniment en approchant du contour A', il est bien évident qu'il faut mettre sur la surface libre des fils une distribution de densités superficielles qui croisse elle aussi indéfiniment en approchant du contour ; cette distribution, compensatrice pour V intérieur du conducteur, est évi- demment de même signe que la part,ie de la couche à laquelle elle se rattache. Ainsi, soit dans l'état d'équilibre, soit dans l'état de courant permanent, il y a sur une zone d'ailleurs peu étendue à partir de la ligne de contact des deux métaux, une distribution de densités superficielles induites par la couche double, qui font suite aux deux nappes de celle-ci, et deviennent infinies comme elle le long de la hgne de contact.
Fig.21
CHAPITRE VIÎl
CHAMP ÉLECTROSTATIQUE PARTICULIER
161 . — Il est intéressant de traiter rigoureusement quelques pro- blèmes particuliers. Prenons d'abord pour circuit un cylindre circu- laire d'épaisseur uniforme très petite et supposons la pile E localisée le long d'une génératrice.
Soit P sa projection sur une section droite ; choisissons ce point pour origine des coordonnées.
Dans le cylindre, à l'état permanent, on a
y
V. =-
Es
2rR
s étant l'arc compté sur la section droite à partir du point P' opposé à P fig. 22 .
Soit M le point qui correspond à la valeur s de l'are et 6 l'angle
Fig. 22 du ravon vecteur PM avec l'axe des x \ la condition i devient
V.=E^
162. — Occupons nous maintenant de l'espace isolant intérieur. Le potentiel Vj doit être continu dans tout l'intérieur ; satisfaire à l'équation de Laplace,
^._^d%
= o
et prendre la valeur i , le long de la circonférence.
152 PROPAGATION DE f.'ÉLKCTRlCITÉ
La solution rendue évidente par le choix des coordonnées est
y, Vo = - = -arctg^;:^
ce
Les surfaces équipotentielles sont donc les plans qui passent par la génératrice P. Au point M la densité superficielle [x est reliée à la force électrique normalo /"par la formule connue
Calculons f : c'est la projection, sur le rayon, de la dérivée du po- tentiel suivant la normale, cette normale étant iciMP'. On a par suite
rtV ftV .^0 K / I \ E
i)'n ~ ÔÔ «vi - y PxM / ~ •r-R~cos "e
La force /est alors
on a pur suite
r-^^^-h^)-êR'^'
La Jensité est nulle au point P' où nous avons supposé le potentiel il ; elle croit jus( infiniment grande.
nul ; elle croit jusqu'au voisinage de la pile, 0 z=. -, où elle devient
163. — A l'extérieur du cylindre, le potentiel doit satisfaire à une condition de plus ; il doit être nul à l'infini. Pour avoir les sur- faces de niveau rappelons-nous la propriété suivante :
Quand on a un système de surfaces de niveau, une transformation par rayons- vecteurs réciproques par rapport à un centre quelconque donne un autre système de surfaces de niveau.
Ici. faisons la Iransfurmation dans le plan de la section ; en pre- nant pour centre le centre du cercle et pour puissance le carré du rayon : de sorte que le cercle lui-même n'est pas modifié. Les cordes
CHAPITRB VIII.
CHAUP ELCCTROSTATIQUC PARTICULIRR
153
intérieures seront transformés en la partie extérieure de leurs cercles correspondants. Les surfaces de niveau extérieures sont donc des portions do cylindres circulaires passant par P et 0 et coupant le circuit sous le même angle que les plans d« niveau intérieurs qu'ils continuent.
Remarquons que la condition énoncée au début V nul à l'infini i'sl bien satisfaite, puisque le plan de potentiel <> qui est PI» passe par le centre.
L'expression de \ , est
'^^-l'^'^Yi^
Fig. 23
La distrii)ution linéaire du potentiel le lon^ du circuit n'a pas pour conséquence une distribution linéaire des densités ; au contraire elle entraîne nécessairement l'existence de densités très grandes au voisi- nage de la pile, conformément aux indications générales du chapitre précédent. Dans ce cas très simple, malgré la symétrie parfaite d'un circuit circulaire, la capacité par unité d'arc s, n'a pas de sens dans létat permanent.
La figure 23 est très différente de celle que contiennent tous les traités à propos du théorème de Poynting.
164- — Occupons-nous maintenant de l'état variable, et formons d'abord l'équation du circuit, avec l'angle au centre a comme va- riable.
R étant le rayon moyen ; l'intensité du courant est
' "~ R àx '
Considérons le petit élément de longueur Kdx ; ce qui s'accumule
dans cette portion du cylindre est l'excès de ce qui entre, sur ce qui
sort :
ke dVi
L — lit? H .1 1 i R
154 PROPAGATION DE l'ÉLBCTBICITÉ
Cette quantité d'électricité sert à accroître la densité sur les deux faces : or sur la face intérieure la den!<ité est, en supposant l'épais- seur e négligeable
I /ôV„\ / 1 ôV
4Tr \ ftn / \4^ ?»r /r = R.
la normale n étant dirigée vers le centre. A l'extérieur
4t: \ dn / y 4^ d*" Jr — R.
Nous aurons donc
a / ^ ôVi \ __ à^ j _i_ ôVo \_ ôVg \
Rôa \ 4R ôa / df i 47t dr 4"^ âr j| ^ _ j^
en désignant par V^ et Vj les potentiels intérieur et extérieur.
165. — La condition à laquelle le potentiel du champ intérieur^ et celui du champ extérieur doivent satisfaire à la surface du circuit étant la même
Vn = V, - N-, (V = R).
V, s'obtient par inversion de V„ comme dans l'état permanent, et l'on a
Les équations sont donc finalement pour l'intérieur et à la surface >' r= H
v„ = v,
R» d«2 ~ 271 htbr
CHAPITRE VIII. — CHAMP iLBCTROSTATIQUK PARTICULIER fR5
166- — Rappelons maintenant une transformation connue ; on considère deux fonctions x et ^ de a; et y qui fournissent un système de coordonnées orthogonales et isothermes : c'est à dire telles que
l'on ait
à*x d-«
—, H î = O
— î: H -", = o
et qu'en outre » et fi soient orthogonales.
Alors si on prend a et ^ comme variables au lieu de x et y, l'équa- tion (4) devient
dT* "^ ^* = °-
Dans le cas actuel il est facile de voir que l'angle au centre a et la quantité 3 = log r forment précisément un syslôme orthogonal et. isotherme : on a donc dans tout l'isolant
6) — _j_ _ _ — == o.
da^ h* (log r)
Mettons aussi en évidence dans (5) la dérivée par rapport à log r : nous aurons
(-) ^ ^!Xi — 1 È. il ^\o \
' ' R' dx^- 2r d/ \ R dlôgr 'r = R
on peut prrifp encore cette équation
rta- i-ke àt \ft log ri Prenons pour V„ une expression de la forme ^9) V„ =./(., log >.-ir^<j.
C'est une fonction de a et de log r ; t y intervient aussi, mais il
156 PROPAGATION DE l/ ÉLECTRICITÉ
n'intervient pas dans l'équation (5) de sorte que si la fonction /"(a, log r) satisfait à 6. il en est de même de la fonction (g). Nous aurons
en posant
et ensuite
ôV _ df à log r f^^
?, = logr — 27T j^ <
dt ôlogi' "" A* d/ ~~ R à'^(^'
En portant cette valeur dans l'équation (8) on obtient l'équation (6) ; tout se réduit donc à satisfaire à cette dernière équation : il suffira de prendre une solution déjà connue et de remplacer log r par
logr--^^.
167. — Or nous connaissons la solution
\^^0 = ^arctg^^
nous avons
et par suite
ij = ef" sin a
X = e*^ cos a
,^ E ^ e? sin a
\ , = arc tg -fi
- e"^ cos a H- R
Faisons la substitution indiquée et nous avons pour le potentiel à l'intérieur dans l'état variable
E >--r ') .
1^ . 6 sm a
Vo = - arc tg
cos a -t- R
CUAPITRB VIII. — CHAMP BLSCT808TATIQL'K PARTICULIER 157
OU
( 10) V, = - arc tg '^^iïr •
• - Re ^
168. — Reste à satisfaire aux conditions initiales ; c'est ce que nous obtenons en combinant cette solution avec celle de l'état per- manent (3) :
(M) V„ = f arc tg --^^ - ^ arc tg ^4^
Re
K '
Pour / = 00 nous avons bien le régime permanent, car le second terme devient nul.
Pour / =1 oie potentiel est nul partout, sauf au point P; en ce point on a, quel que soit t, - d'un coté du point P sur le cylindre;
— - «le l'autre côté, au total E.
I^ solution (11) représente donc bien l'état variable à l'intérieur. A l'extérieur, l'inversion donne
,, E , Ry E , Rv
V, = - arc tg ô ^ arc tg 2 —
fU -\-{x^ -+■ y2)e ^
169. — Pour l'intérieur, la partie variable a même forme que celle (le létiit permanent pour un cylindre de même centre, dont le rayon
Re croîtrait depuis R à l'origine du temps, jusqu'à une valeur
infinie, suivant une loi exponentielle.
Pour l'extérieur, cette même partie variable est identique à la so- lution permanente pour un cylindre de même centre, dont le rayon
au** R décroîtrait exponentiellement de R è 0.
Dans l'un et l'autre cas, le point de discontinuité sur le cercle de
158 rBOHAQATIUN DE l'kLKCI-RICITÉ
diamètre variable, sort dès Torigine du temps, du domaine auquel se rapporte la solutiou.
Les caractères généraux de la solution se conservent dans toutes celles <iu'on en peut déduire pour des cylindres minces compris entre deux courbes isothermes voisines, a et a h- rfa (').
(') M. Brillouin. — Champ électrostatique permanent et variable d'une bobine parcourue par un courant électrique. — An7i. Ch. P/i., 1902.
LIVRE 111
INDUCTION
CHAPITRE PREMIER
EXPÉRIENCES FONDAMENTALES INDUCTION DANS LES CIRCUITS FERMÉS IMMOBILES
170. Mémoires expérimentaux- — Faraday a découvert en i83i les lois qualitatives de l'iuduction ; il a varié les circonstances de production des courants induits, mais n'a fait qu'un petit nombre de mesures d'ailleurs assez confuses ; il ne parait avoir eu qu'une connaissance grossière des lois d'Ohm, car, dans un mémoire de 1 85 1 , pour déterminer l'influence des dimensions du fil sur le cou- rant induit, il le produit dans des fils de même masse, mais de divers diamètres, et naturellement il n'aboutit à rien de net (*).
La découverte de Faraday fut suivie en i833 d'une série d'expé- riences fondamentales de Lcnz Mémoire lu à l'Académie des Scien- ces de Saint-Pétersbourg le 29 novembre : publié dans les Annales de Poggendorf en i834 • Lenz établit la loi célèbre qui porte son nom sur la relation entre le sens des courants induits et le sens des
>} Voir M. Bauxouni. Comparaison des coefficients d'indaction, I, Notes fi- nales. — An». Se. Ee. Norm. Sup. 1882.
160 PROPAGATION DE l'fXECTBICITK
actions mécaniques correspondantes. Il fit la même année sur l'in- duction électromagnétique une série d'expériences capitales publiées en i835.
171. Expériences de Lenz. — Le courant induit est produit dans une bobine enroulée sur un cylindre do fer doux et dont la résistance est celle qui donne le maximum de sensibilité au galva- nomètre employé : on approche ou on éloigne le cylindre de fer doux d'un aimant permanent ; les limites du déplacement sont, une position lointaine quelconque, et le contact, car le champ croît très vite lorsque l'armature est très près des pôles de sorte que sa posi- tion n'est bien définie qu'au contact. Lenz constata que les arra- chements successifs produisaient des effets identiques, sauf les premiers, comme on pouvait s'y attendre, car on sait qu'ils dimi- nuent la force portante. Il s'assura d'abord que les différents tours de fil jouaient le même rôle ; les impulsions données au galvano- mètre à travers le môme nombre de tours de fils sont
près du pôle nord '),i)'i
au milieu 5,60
près du pôle sud Ô,",")
Il y a donc un maximum, très peu marqué, au milieu ; c'est là que Lenz place sa bobine.
i° Influence dic no7nbre de tours du fil. — Prenant une longeur de 5o pieds d'un fil de o ,'"'»o.i4 de diamètre attaché aux deux bornes du galvanomètre, Lenz en enroula progressivement sur l'armaturo, 2, 4, ... 20 tours ; les impulsions varièrent de 5" 39' à 68'' : en tenant compte de la loi d'action sur l'aiguille du galvanomètre en fonction de l'angle, l'écart entre le calcul et l'observation n'atteignit pas en moyenne \ degré et ne dépassa pas 1" pour 20 tours. L'hypothèse faite dans le calcul est donc exacte : il y a proportionnalité entre la force électromotrice produite et le nombre de tours de fil.
2° Influence du diamètre du fil. - 4 spires de dix tours chacune, laites avec quatre fils de diamètres différents et de même longueur.
CHAHTRB I. BXPÉRIKNCK8 FONDAMENTALES 161
furent enrouh-es au milieu de l'aimant. Les rapports des forces élec- tromolrices produites dans chacune des trois premières spires à la force «'•leclroinolricf produite dans la (piatrième, furent respective- ment
i,uu3, i,oog, i,ui.
Donc à moins de ~ (limite de la précision dans ces expériences),
ia force é'.eclromotrice induite est indépendante du diamètre du fil.
3"* Influence de la nature du fil. — Les opinions à ce sujet étalent très diverses. Nobiii et Antinori, avec ties fils de cuivre, fer, anti- moine, bismuth, avaient trouvé que l'intensité du courant décrois- sait d'un fil à l'autre dans Tordre ci-dessus. Lenz remarque que cet ordre est le même que celui des conductibilités décroissantes et, par suite, que malgré ces résultats, la force électromotrice est peut-être constante. Il constitue un circuit formé par deux spires de métaux différents, enroulées sur un petit tube de carton, de façon à pouvoir les enfiler séparément sur l'armature ; la résistance du circuit était constante et on pouvait comparer l'induction dans l'un des métaux à l'induction dans l'autre métal. Il obtint pour le rapport des dévia- tions :
Du cuivre au fer i,oo33
» platine 0,99912
* laiton 0,9989
La valeur de la déviation pour le cuivre est de 1 7" environ ; elle est la même à \' près pour les autres métaux : la force électromo- trice est donc indépendaîite de la nature du métal.
En résumé, c'est à Lenz qu'on doit cette notion fondamentale :
L'lNDU(mOX PRODUIT UNE FORCE ÉLECTROMOTRICE.
172. Mémoires théoriques. — Un certain nombre de lois générales sur l'influence du nombre des spires, du sens de Fenroule- meut, etc., pouvaient être regardées comme évidentes dès le début.
11
i62 PROPAGATION DE l'kLECTBICITÉ
Mais la loi élémciiUiire de l'inductioa produite par le déplace- ment relatif des circuits et des aimants parait avoir été découverte par F. Neumann en i8i5, comme conséquence de la loi de Lenz (Mémoires présentés en i84')et 1847 ^ l'Académie des Sciences de Berlin). L'induction pur variation d'intensité, sans déplacement des circuits, n'est obtenue ({u'à l'aide d'une hypothèse auxiliaiie.
A la même époque (i846) parurent les premiers travaux théori- ques de WebcM', qui obtint à lu fois la loi de l'action d'un courant sur un courant et les lois de l'induction, en partant de cette idée préconçue que le courant est dû au transport, en sens opposé, de petites masses électriques positives et négatives, dont l'action mu- tuelle dépend du mouvement. Choisissant cette loi de façon à sa- tisfaire aux lois d'Ampère, sans expliquer d'ailleurs comment l'action électrodynamique subie par- les particules électriques se transmet à la matière du conducteur, Weber trouva aussi les lois de l'induc- tion due au mouvement des circuits ; par la nature même de son hypothèse, les lois de l'induction due au mouvement varié des masses électriques, cesl à dire aux variations des courants, s'y Irou- vôrent aussi contenues.
Le mode d'exposition le plus connu est celui d'Helmholtz (*) et de \Y. Thomson (-), qui ont déduit ces lois du [uincipe général de la conservation de l'énergie et des hypothèses suivantes : la résistanci; «l'un fil est entièrement définie par sa nature ; la quantité dt> chaleur dégagée j)ai' le courant est égale à RP, quelle que soit l'origine du courant.
173. Circuits immobiles- — No devant nous occuper dans ces leçons que des circuits immobiles, nous laisserons entièrement de côté rin(hiction par le mouvL^nent, et nous étudierons directement les lois de l'induction d'un circuit fermé sur nn autre, sans déplace ment relatif, en nous appuyant sur les expériences de Felici.
;') Ul)er die Erhallung der Kraft. — Berlin, iH^-.
(^) On llio llieory of cleclro-muguclic indiulion. — B. A. H. i.S(S. — On the mechanicul llieory of clcclrolysis. — l'/t. M. 18. u.
CHAPITRE I. — BXPKRIENCK8 FONOA\iK5(TALB9 163
Les ex|)ôri»'nws que l'on pi^ut fairo en induction sont moins con»- plèlcs que cAWs qui rtablissoul les lois d'action mécauiqu»' de deux ciri'uils piirce qu'on ne peut ims isoler l'action sur un élément de circuit, commi' Ami»ère a réussi à le faire pour la force mécanique.
Uappelons quontn' deux circuits paniUèles voisins, rétablisse- ment du courant dans l'un d'eux induit un courant de sens contraire (lan-^ l'atitriv
174. Expériences de Felici(i852, Ann. de P/iysique el Chimie,' t. XXXIV). — Felici emploi»- une l)onne méthode de zéro. Il prend un cylindre de bois de diamètre uniforme, sur lequel sont enroulés trois cireuits distincts. Dans deux de ces circuits passe le courant inducteur ; le troi- sième, i)lacé entre les deux autres à lo cen- timètres de chacun d'eux, aboutit à un gal- vanomètre d'impulsion très sensible. Lo dia- mètre du cylindre est de 26 centimètres. On t-^^ 24. ^ ivgle la distance des deux circuits 1 et 3
et le sens du courant inducteur, de façon que leurs effets sur le cir- cuit 2 se comi>ens4Mil ; on note les positions des circuits.
I, — L'expérience étant faite d'abord avec une seule spire, on forme ensuite l'un des circuits inducteurs d'un faisceau de n fils fins réunis à leurs deux extrémités, mais bien isolés sur toute leur lon- gueur et enroidés de façon à former une cordelette; l'intensité totale i dans ce circuit est la même que dans l'autre circuit qui n'a [ms change. Dans ces conditions, la compensation subsiste : donc n spires où l'intensité passe de o à - ont le même effet qu'une spire où l'in- tensité passe de 0 à t.
Felici en conclut que f effet cTutie spire est pi'oporlionnel à l'in- tensité du courant qui la traverse; cela suppose (|ue l'effet d'une sj)ire est indépendant de la présence des spires voisines.
II. — La force électromotrice induite est indépendante des tné- / ' dont sont fouines les circuits tant induit qii' inducteur : même méthode de zéro en changeant la nature du fil du circuit 1. La
164
PROPAGATION DE L'ÉLECTRICITÉ
compensation subsiste encore quand on intervertit le rôle, des cir- cuits induit et inducteur
m. — La force électrotnotrice induite est indépendante de la section du fil : la compensation subsiste, en effet, quelle que soit la grosseur du circuit 3, pourvu qu'il ail le même nombre de spires.
175. IV. — Felici prenait ensuite deux cylindres A et B portant chacun deux circuits Ai A,, B, B^. A, et B, sont associés et forment
le circuit inducteur ; A, et B^ for- ment de même le circuit induit. On règle la distance des circuits de façon que, chacun ne comportant qu'une spire, il y ait compensa- tion complète ; puis on met m spires eu A, et n en A^ ; m' en B, et ti' en B^ et on cherche quelle condition il faut n'-aiiser pour que la compensation subsiste : on trouve qu'elle est
Bi B2
7n}i
7nn
Donc toutes les spires exercent bien l'une sur Vautre le viême effet.
V. Principe des courants sinueux. — On remplace une quel- conque des spires Aj Aj par une spire sinueuse, mais gardant la môme position moyenne, l'équilibre subsiste.
VI. Loi d'action en fonction de la distance. — Supposons l'un des cylindres non plus égal à l'autre, mais k fois plus gros. Felici dispose les circuits de telle façon que les rapports des diamètres aux distances des doux spires sur chaque cylindre aient la même valeur. Les deux systèmes sont semblables et le rapport de similitude est k. Si le noml)r(' de spires est le même dans les deux cylindres, la com- pensation' n'a plus lieu ; il faut, pour l'obtenir, prendre k fois plus grand le produit mn des nombres de spires du petit cylindre
vin = lim'n' .
CHAPITRB I. — EXPÉRIBNCKS F0NDAMBNTALE8 IG)>
Ainsi te force électromotrice induite dans des systèmes sembla' blés est proportionnelle à leur dimension linéaire.
176- — F«'lici a encore fait d'autres oxpériencos pour comparer l'effet de la variation de l'intensité du courant inducteur à celui du déplacement. 11 a démontré le principe admis par Faraday que l'effet est le même quand l'intensité varie de o à i, ou quand on transporte le circuit à intensité constante i de sa position actuelle à une position dans laquelle la variation d'intensité ne produit plus d'effet. Il se .servait de trois roues de bois montées sur le môme axe et portant une rainure suivant un diamètre. Un fil est enroulé sur chaque roue comme l'indique la fifïure. Quand les rainures sont parallèles, il y a in- duction par variation d'intensité quand elles sont por- pj^ 2 q pcndiculaires, par raison de symétrie, il n'y en a pas.
Deux de ces roues fixes constituent le circuit inducteur ; la troi- sième formant le circuit induit est mobile ; formons le courant in- ducteur quand la rainure do cette rouo est perpendiculaire aux deux autres : le galvanomètre reste au repos , tournons rapidement de 90" la roue disposée de façon à supprimer elle-même le courant induc- teur à la fin de sa course : nous obtenons dans le galvanomètre la superposition de deux effets dus l'un ait mouvement relatif des circuits, l'autre à la suppression du courant ; l'effet trouvé est nulC .
C'est ce principe, admis à titre d'hypothèse, qui avait permis à Neumann de rattacher les courants induits par variation d'intensité à ceux induits par variation de la position du circuit.
177. — Il y a encore un point important à éclaircir : toutes les fois que l'on fait une expérience au galvanomètre, on constate que le cou- rant induit par fermeture du circuit est égal au courant induit par ou-
(>) Le montage de Félici était plas compliqué et moins probant.
1G6 PROPAGATION DE l'kLECTRICITÉ
vorture. Les deux forces ('lectroinotrices totales (J Edt) sont égales : cette idée a paru d'abord en contradiclion avec cette particularité qu'on obtient facilement une étincelle dans l'induit à la rupture du circuit inducteur ; tandis qu'il n'y en a pas à la fet-meture. Si l'on remarque que le rapprochement était déjà fait entre la production de l'étincelle et la force électromotrice, on comprend que l'identité (les forces électromotrices totales n'ait pas paru évidente dès le dé- but : dans l'étincelle, ce n'est pas la force électromotrice totale qui intervient, mais la force électromotrice maximum ; il suffit pour (jue ces valeurs maximum soient inégales que l'un des phénomènes soit plus rapide que l'autre : on est maître de la durée do la rupture beaucoup mieux que de celle de la fermeture.
178. — C'est surtout dans les expériences d'induction d'un circuit sur lui-même qu'il était difficile de mettre en évidence cette égalité
des forces électromotrices à la ferme- ture ou à la rupture du circuit.
Edlund (1849, Pogg. Ann. 77) a montré l'identité des quantités d'élec- tricité mises en jeu dans ces deux cas. Un des circuits d'un galvanomètre différentiel contient une résistance in- P 9 7 ductive L, l'autre une résistance non
inductive R. Les deux circuits en pa- rallèle sont reliés aux deux pôles d'une pile ; on règle la résistance R de façon que le galvanomètre soit au zéro quand le courant passe ; donc au moment de la fermeture du circuit il y aura dans le galva- nomètre, par le fait de l'cxtra-courant produit dans L, une impul- sion qui mesurera la quantité d'électricité. On aura de même, à l'ouverture du courant, une autre impulsion qui doit être égale à la première : c'est ce qu'a vérifié Edlund.
179- — Enfin il reste à signaler une série d'expériences purement qualitatives, mais fort importantes, indiquées par Matteucci au début
CHAPITRE I. EXPKRIEHCES KONDAMBHTALBS 167
«le son livre s\ir l'intluction (') : elles sont relatives à l'inflnonce des milieux intermédiaires. Quand, dans la méthode (le 7A'rt) de Félici, le système étant compensé, on introduit, entre les spirrs •;•. ot '.\. une raali«'^ri' isolante à la plaw de l'air, la componsiUion sub- siste. Si on interpose une masse métallique, elle subsiste encore.
De même, prenant deux couples de spires et pla(;ant l'un d'eux dans un champ maj^nétique très intcnso mais constant, la force électromolrice totale mise en jeu n'est pas cliangéc.
Fig 28
(') MiTTBtcci, prof, h Pise. — Cours spécial sut' l'induction, le magnétisme de rotation et le iliamagnétisme. Mallet-Bachelier, 18.54.
CHAPITRF/II
INDUCTION DANS LES CIRCUITS FERMÉS IMMOBILES THÉORIE
180. — Nous pouvons nous représontor les ])hénonièiies d'iiiduc- lion entre deux circuits immobiles comme provenant de l'aclion de chaque élément ds du premier sur chaque élément ds' du second. Soit E'dsds' la force électromotrice que produit, sur ds\ la variation d'intensité du courant do o à ^ dans ds, ces doux éléments étant considérés comme faisant partie do circuits fermés. La force élec- tromotrico totale produite dans le second circuit est
E= / / E'dsds'.
Or d'après la loi des courants sinueux nous ])Ouvons remplacer chaque élément par ses projections sur les trois axes ; la force élec- tromotrice élémentaire est de la forme
{ A( dx dx' -h Aa dx dy' -\- A3 dx dz' ( 1 ) < H- Bj o?i/ rfo?' -4- B2 c?y dy' 4- B3 dy dz'
i-^Cydz dx' -h Co dz dy' + C., dz dz'.
Prenons pour axe des x la droite (jui joint los deux éléments ; l)0ur plan des xz celui qui contient ds ; ce choix des axes fait dis- paraître tous les termes en dij.
D'autre part, il est évident que la force électromotricc induite dans
CHAPITKB II. — 1!<DUCT10X DANS LKS CIRCUITS FKRMKS IMMOBILES 169
ds' par ds, ne change pas quand la position relative des éléments ne change pas, le milieu intermédiaire étant supposé isotrope. Faisons tourner les doux éléments de 180° autour de <><•; dz, dz' et dy' ont changé de signe, et, comme la force éle<*tromolrice ne doit pjis chan- ger, les coefficients, A,, A, et Ci doivent être nuls.
Enfin le plan xz est un plan do symétrie pour les effets produits par toute variation dans ds, donc rien ne doit changer quand dy" change de signe ; donc C^ doit être nul. Il nous reste
E'dsds' = k^dxd.c + C^dzdz', qu'on peut écrire encore
E'dsds = Xd.rdx' -+- C{dxd.r' ^ dzdz).
181. — 5oit 6 l'angle de ds avec le sens positif de Ox, 6^ l'angle
corn'spondant de ds : on a
dx = ds cos 0, d.v' = ds' cos 0' ;
d'autre part, soit e Tangle des deux directions dos éléments ; on a
d.vdx' -\- dzdz'
ds ds
Par suite notre expression devient
(a) E'dsdi = [A cos 6 cos 0' -h C cos £] dsds.
Nous avons exprimé tout ce qui dépend de l'orientation des élé- ment^ ; A et G ne peuvent plus être ((ue des fonctions de la dis- tance r.
Exprimons les angles en fonction de r et tlf m- tiérivéos en s et en s' : nous avons
dr = ds' cos ft' — ds cos 6
170 PROPAGATION DE I.'kLECTHICITÉ
d'oii
COS 0 r:=: , , COS 0 "^ .
Cherchons la projection de du' sur la direction de ds ; nous pouvons projeter ds' directement, ce qui donne
ds' COS t. D'autre pari l;i projection de r est
r COS 0 r=: — r — .
ds
En passant d'une extrémité do ds' h l'autre, cette projection aug- menté de la quantité
dS \ i)S '
qui est encore la projection de'o?s' sur ds : on a donc
«■> / <)r\ ds \ DS /
182 — Considérons le produit d'une fonction Si de r par cos z ;
.^coss==_0l^,(r^')
i)S \ dS/
dS \ dS/ dS ÔS
or
r — , = î' , =■ — r — COS 0 COS o
ôs ôs àr às ôs dr
nous avons donc
(R cos E = — ^ i^r ^~) - r '^cos 0 cos 0'.
CHAPITRB II. — INDUCTION DANS LIS CIRCUITS KBRMKS UiUOBILKS 471
Intégrons par rapport à ds le long d'un arc AB du circuit induit. Nous aurons un premier toriup
ia \ dS ) I d5|^
^1»
Si nous fermons le circuit, la quantité îRr - reprend la même va- leur et par suite cette intégrale est nulle. Donc quand un des circuits est fermé, on peut remplacer
^ cos E par — r — cos 0 cos 6' sans changer l'intégrale.
183. — il en résulte que dans l'expression 3), les expériences faites avec des circuits fermés ne peuvent pas faire connaître séparé- ment les deux termes en cos 6 cos 6' et en cos s. Nous n'avons donc qu'une seule fonction de la distance à déterminer.
C'est l'expérience des deux systèmes semblables qui la déter- mine.
Nous avions dans le premier système une force électromotrice
-//'
/" r) cos t dsds, dans le deuxième, si k est le rapport de similitude, Ej = 1 I f(kr) cos t kds h'ds' \
or l'expérience a montré que l'on a (3) E, = AEi.
172 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
184. — Ce résultat a été obtenu pour une forme particulière de circuits fermés ; mais on peut varier cette forme suffisamment pour qu'on puisse admettre la généralité de la relation (3) ; il en résulte que
ou
f{kx) cos £ k- dsds' =k J 1 f{r) cos t ds ds'
kf{kr)^f{r) ou encore
krf{kr) = rf{r).
Ce produit est donc constant, et l'on a
A.-) = :
E' = - cos t. r
Mais on peut prendre aussi
E' = '^ cos 0 cos 0',
car, pour passer d'une forme à l'autre, nous devons prendre
d'où
Nous pouvons enfin associer les deux formes. Nous pourrons donc prendre indifféremment, lorsqu'un des cir- cuits est fermé, une quelconque des trois expressions.
a
- cos £
r (4) ( - cos 6 cos 6'
|
ôîR |
^. |
a |
|
or |
~r2 |
|
|
- r |
d0i ?>r |
a r |
a (\ — a) „ „, «a
^ ' nf\a ft nna H' _u — .
ei\i "■■*■ .._ cos 6' H COS 6.
r
CtiAPITRE II. — INDUCTION DANS LES CIRCUITS FIRMES IMMOBILES 173
L'expression la plus commode et que Ton prend généralement est la première, qui donne pour la force électromotricc totale dans le second circuit
/ / COS e
V J "'"
185. — L l'inploi du principe des couranLs sinueux pour former la loi élémentaii ' iiuu- a iiuturoliement conduits aune forme symé- trique en (/.< et ds . La force électromotrice induite dans un circuit fermé C . par une variation d'intensité i dans un circuit fermé G, doit donc être égale à la force éleclromotrice induite dans C par une variation d'intensité i dans G'. Getle réciprocité est entièrement con- forme à l'expérience.
Comment la constante a dépend-elle de l'intensité il L'expérience montre avec toute la précision désirable qu'elle lui est projwrlion- nelle et qu'elle est négative n° 173, 174). Dans le système électro- magnétique de mesures électriques, on i)rend le coefficient égal à — 1, quand les deux circuits sont dans le vide, pratiquement dans l'air ou dans uu milieu non magnétique ({uelconque, et l'on écrit
E = — Me = - i / / ^^^' dsds'
-JJ"^
pour la force éleclromotrice totale induite dans le sens positif du cir- cuit G' au moment de l'établissement du courant i dans le sens positif du circuit G.
186. — Cette force électromotrice totale E est bien représentée en admettant que i>endant la variation du courant, la force électromo- trice est
C'est ce que nous admettrons dans toute la suite ; mais il importe •le remarquer que les expériences de variation d'intensité soit en une
174 PROPAGATION DB l'ëLECTRICITë
f
seule fois, soit par étapes, se font en passant d'un état permanent à
un înitn>; dans chacun de ces états — ' — j , etc. sont nuls, et si
fit fit
pondant l'état variable il y avait des forces électromolrices propor- tionnelles à ces diverses dérivées, les expériences décrites jusqu'ici ne nous en avertiraient pas.
Aucune des expériences, actuellement nombreuses, depuis les premières exécutées par Helmliollz, sur le détail de l'état variable des courants induits n'a indiqué jusqu'à présent la nécessité de pareils termes.
187. — La quantité
(6) M= / / ~ dsds'
porte le nom de coefficient dHnduction mutuelle des deux circuits ; elle a les dimensions d'une longueur.
Rappelons, sans y insister, ((ue l'expérience de comparaison citée plus haut (176) entre les courants induits par déplacement et ceux induits
par variation d'intensité, conduit à prendre ; (Mt) pour force
fit
électromotrice quand les deux variations sont simultanées.
188. — Dans toute cette étude des circuits filiformes, nous avons traité l'intensité du courant comme localisée sur une ligue géomé- trique, axe du fil cylindrique réel. Ce n'est une approximation ac- ceptable que si les distances r de deux éléments quelconques sont toujours très gi'andes par rapport aux dimensions transversales des fils réels.
Lorsqu'il n'en est i)as ainsi, il faut évidemment tenir compte de ces dimensions et le problème devient singulièrement plus compli- qué. En particulier, lorsqu'il s'agit de l'induction d'un circuit sur lui-même, que l'observation montre finie, l'expression de M devient évidemment infinie, puisqu'il y a une infinité de termes qui ont r = o en dénominateur.
CHAPITRE II. — I.ND17CTI0M DANS LES CIRCUITS FERMES IMU0BILE8 175
Mais, r enlnint à la promière puissance en dénominaleur, on peut présumer qu'il siiffii*n que la section droite du coiidiicleiir soit éten- due dans un si'ul sens, et sans épaisseur, pour que l'expression liinitt! de M reste finie. C'est en effet ce qui arrive, et tout le monde connaît le calcul élémentaire de la self-induction L (ruiic b:)biiie longue. Pn'ciséinent à cause de cet exemple connu, il n'est pas inu- tile do montrer lu difficulté sur deux cas très simples de circuits fili- formes.
189. — (lousideions un circuit circulnire de layoïi a. Un a
ds' = lad^ r = -xa sin 0.
La force électromotricc induite par tout le cercle sur un <le ses éléments ds est
Fig 30
/ ros 0 cos 0' ds' / cos^ 0 ,„ i i d^ \
Au premier terme correspond
h •«:]:■
Celle quantité est infinie ; le second lerme donne une quantité finie.
190. — Examinons maintenant un élément cl un fil indéfini pa- rallèles, on a 0' =: 0 et
ds = -,',-, sm 0'
ce qui donne encore l'expression infinie
/cos^OrfO' sin 0 •
176 PROPAGATION DE l'ÉLKCTRICITK
191. Circuits étendus en volume. — Abordons l'étude des circuits fermés étendus en volume. La force électromotrice induite par une variation — ; est :
TV di I I cos £ dsds'
expression qui s'écrit en coordonnées rectangulaires, où dxdydz, dx' dy' dz' sont respectivement les projections de ds et ds'
„, (\i I I dxdiiJ -I- dijdy' -\- dzdz'
ou :
i)t I I r
<n' dx dx' I I i)i di/ dy' l l m dz dz'
àl r ! I i)t r f 1 ôt r
ou encore :
192. — On n'a pas besoin ici de n'associer que des éléments où '
fit
garde la même valeur. Si plusieurs circuits agissent sur le même élé- ment ds' on pourra associer leurs éléments dans un ordre quelcon- que, pourvu qu'ils forment des circuits fermés. Posons :
/ X .-. I . dx ,, / . dy „ l . dz
nous aurons
puisque nous ne considérons que des circuits immobiles.
CHAPITRI 11. — INDUCTION DANS LES CIRCUITS riRMKS IMM0BILK8 177
Il résulte de la forme particulière que nous avons choisie pour la force électromotrice élémentaire que la force électromotrice induite dans ds' peut être considérée comme la projection, sur la direction de l'élément ds, d'une force électromotrice ayant une direction déter- minée en chaque point de l'espace et dont les projections sur les
trois axes sont :
_dF, __rtF, _.lF3.
193. — L intenï>it<' du courant dans un élément du circuit induc- teur d'orientation quelcon(|ue étant /,
soient J,, j\, j^, les composantes de la -lf({ ( 1^ .
densité du courant dans cet élément, dont la section est t ; on a : ^^ê ^2
i dx := j' 1 T ds
et, cuiiuiiL' sds est l'élément de volume du conducteur, t dx =j\d.v dij dz .
Au lieu de faire l'intégration en suivant un filet du conducteur tout le long du circuit, nous pouvons la faire par élément de volume, ce qui donne :
/-> r» /-» ^
(^.\ I """^ f I I ; «*-^' dy dz
j'-^^j f fj/-^
l'intégrale triple devant être étendue ù tous les éléments du conduc- teur : mais, comme en dehors du conducteur nous pouvons consi- dérer les trois quantités j'iJ^Js comme nulles (du moins au point où nous sommes parvenu dans notre étude), nous pourrons dire que l'intégrale doit être étendue ù l'espace entier, conducteur ou non.
La forme même de cette intégrale nous montre que les F sont liés aux^' i)ar les équations aux dérivées partielles :
("
Les F et leurs dérivées premières sont continues dans tout Tes-
12
178 PHOPAGATIOX DE l'ÉLECTRICITÉ
pace, à moins qu il n'y ait des nappes de densité de courant super- ficielle finie, (discontinuité de la dérivée normale) ou des nappes de couclies doubles do courants de sens inverse (discontinuité de F comme on le sait par les résultats connus en électrostatique).
La grandeur dont F,, F,, F.., sont les projections porte le nom Ac potentiel vecteur.
Sous la forme (5) le caractère des courants, d'être fermés, était écrit dans la formule même. Mais avec la forme (8), (lo), qui ne met plus ce caractère on évidence, il est utile de récrire explicite- ment :
(,,) _^-.. + ■>/, + iîZa = 0, |i„?=o;
^ ' i^v i)y àz L Ja
Les formules relatives aux courants ouverts pourront être plus générales que (8) et (lo).
194. Remarque. — L'imperfection du langage ne rond pas tout à fait inutile d'insister sur les relations entre les diverses forces élec- tromotrices mises en œuvre.
La seule force éleclromotricc véritable, homogène à une force électromotrice de pile, est M - (n" i86), ou E' (n" 191-192).
La forme électromotrice totale, E (n"" 180-1 85) est le produit d'une force électromotricc par un temps.
La force électromotrice élémentaire E' (n° 180), est une force électromotrice, multipliée par un temps, et divisée par le produit de deux longueurs.
Une force électromotrice de pile est d'ailleurs le produit d'une force électrique par une longueur.
Lo poteuliel vecteur F,. F.. F,, est le produit d'une force élec- trique i)ar un temps.
CllAPITUl': 111
orELOlES APPLICATIONS
195. — Appluiuons maintenant ces équations à la recherche de la force éleclromotrice induite dans un fil de section finie. Soit un fil rcctiligne à section circulaire dont on suppose que les extrémités se rejoignent à jirando distance de la région étudiée. Prenons pour axe dos * l'axe du fil. tout est de révolution autour de cet axe. Les com- posantes^i etj", delà densité du courant sont nulles : il en résulte
F, = 0,
F, = o.
Les composanles F3 et ;\, dirigées suivant Taxe des - rcslcnl ^<•ll- les ; elles satisfont à la relation
AF == - ^T.J
en tous les ix)ints extérieurs ou in- térieurs.
En passant de l'extérieur à l'in-
i>F teneur, les fonctions F et sont
continues. Nous pouvons consi- dérer cette fonction F comme in- dépendante de z dans toute l'éten- due que nous étudions et écrire l'équation précédente
(0
1 dF r dr
— \^J.
180 PMOPAOATION DE t'ÉLBCTRlCiri
L'intensité 1 du courant est dans le fil
1 =
j.2~rdr
la densité,/ étant une fonction, supposée connue, de r seule.
Le conducteur peut être un cylindre plein ou un tube ; appelons a le rayon intérieur et b le rayon extérieur du tube conducteur.
196. — Partout on il n'y a pas de courant, on a
J = 0.
Par suite, en multipliant l'équation (i) par r
= 0,
et
(2)
F = A log r -r B.
Si A est différent de zéro, cette formule donne une valeur infinie pour r infini ; mais il ne faut pas nous arrêter à cette difficulté qui tient à ce que l'hypo- thèse qu'il n'y a pas de fil de retour est in- compatible avec celle que le courant est fermé ; nous savons à l'avance qu'à grande dislance les résultats ne seront pas appli- cables, il n'est donc pas nécessaire de faire A = o. Si le conducteur est tubulaire, la valeur infinie à distance finie,
pour r = 0, est inadmissible ; il faut faire alors A = o ; ainsi F est
constant à l'intérieur de la cavité.
197. — La distribution de J en fonction de r étant donnée, l'équa- tion (i) donne
.-> / .->F\ , .
Fig. 34-
CHAPITRE III. — QUBLQUKS APPLICATIONS 181
d'où
r'^^= X - ir. fjM,:
Api)elon8 I rinlensité totale du courant compris entre la paroi in- terne du conducteur et le cercle de rayon / .
(3) Nous pourrons écrire
r
= I J i-rdr.
r ~ = \ — 21, dr
ce qui donne dans le tube conducteur (4) F = A log r -H B
-^fl'i':
198. — Cherchons maintenant comment les constantes se ratta- chent les unes aux autres en passant d'un milieu au milieu voisin.
1° Supposons que, quand le rayon r augmente, nous passions d'un milieu isolant à un milieu conducteur pour r = a.
Dans l'isolant, nous aurons à la surface
F = Al log a ^- B,
dans le conducteur, le troisième terme étant nul, F = A, log a -^ Bj. Nous avons donc
Al log a -i- B, = Aj log a 4- B,
182 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
Ecrivons de môme que est continu : il vient
A, _ A, a a
Par suite, en passant d'un isolant intérieur à un conducteur exté- rieur, on a
A.=A,
199. — '2° Effectuons le passage inverse du conducteur à l'isolant quand le rayon croît, pour la valeur r = b. Dans le conducteur, nous avons
F = A, log b-^B,- 2C, en posant
)& C, =
"2
' a
r . dr
I ''^
Dans l'isolant
F = A3 log 6 -h B3 ; d'où
A, log è ■+ B^ — 2C2 =: A, log b + B3.
■^F La continuité de *— donne ôr
A, _ 2I _ A,
b b ~ b
I désigne ici l'intensité totale du courant dans le conducteur. Donc
^ A3 = Aj — 2I ^^^ / B, = 2I log 6 -+- B, - 2C,.
200. DAnsité die oourant uniforme. — Nous examinerons en
CHAPITRE III. — QL'ELQUBS APPLICATIONS 183
particulier le cas où la densité du courant serait uniforme ; dans ce cas, on a |Mnir la valtMir »•
'1
:) i = ) I 2T.ïdf=JT,{r* — a-)
a
imr suite
Z^-J. f [rdr-'^)
8 c=y.(!l^^-„Mogr).
Pour avoir C,, il suffit de faire >• r^ 6 : remarquons alors que r(A- — Or) rtiint la surface entière du conducteur, -j{}j- — a-) sera riutensité totale I et l'on aura
* 2 6' — a- ° a
Dans le cas d'un seul tube annulaire, on a à rintérieur
A, =0 et
On cil drduit, «l'après les relations (5) et (6), dans l'épaisseur du conducteur
F, = B, — 2C
à IVxtérieur
F, = — îl log J; -^ B, — aC,.
201. — Dans 1 «•\|)ri's>ioii de V.,^ la constante B, représente raclion des i>ârties éloignées du circuit ; la quantité C relative à la self-induction est une fonction de r ; si donc, à un instant, Tintensité est uniforme, il n'est pas i)ermis de supposer que sa variation sera uniforme dans toute la section.
184
PROPAGATION DE L ELECTRICITE
La force électro motrice varie avec r, comme C ; c'est à dire dans le cas d'une densité de courant uniforme comme la quantité trouvée
Au premier terme correspond une parabole (fig. 35). et au se- cond une courbe logarithmique, passant toutes deux par le point d'abscisse a où elles se touchent ; la force électromotrice est repré- sentée par la différence des deux ordonnées.
L'allure de la courbe qu'on obtiendrait ainsi, en prenant pour
E
abscisse les muUiples du rayon intérieur a, est donn('' par le ta- bleau suivant
a; = a C = o
4a i:i,2TMy
5a 2i,8ra2J
Cette quantité G croît donc avec une grande rapidité quand on approche du bord extérieur, où le terme parabolique devient pré- dominant.
La force élertromotrice de self-induction est donc plus grande vers la surface extérieure du tube.
GRAPITRC ni,
QUBLQUKS APPLICATIONS
185
202. Cylindres concentriques. — Prenons encore un cas simple : celui do deux cylindres concentri- ques donnant passajie au courant l'un dans un sons et l'autre en sens contraire (fig. 36) : la condition «pie le circuit soit fermé sera remplie, on admettant que les deux inten- sités totales sont égales. Nous aurons d'après les formules (5) et (6)
Fi = B,
F, = B. -2(:
(10)
F3 =. — d loj; y -i- H, - 2C. 0
F.
F. =
Fig 36
2I lo;:: / 4- B, — 2(].,
iC
2 (1' -r I; log r -+■ 2V log b' B, — aC, H- 2I log b — 2C\
C et C ; «'tant pour le tube 4 les quantités analogues à C et C, du lub<« 2. Or si le circuit est fermé, on doit avoir
I H- r = o
ce qui fait disparaître le terme en log r dans F,. En outre, il faut que la force électromotrice soit nulle dans le dernier isolant ; ce qui détermine la constante B, par l'équation
b'
B, = -i- 2I log ~ -+- 2(C, ^-C,)
d'où
("i
B, = H- 2I log f H- 2
, dr r
186 PROPAGATION DE l'kLECTRICITK
203. — Nous avons ainsi dans les conducteurs
1^2 = A'2 :_:-«'2 a ^ - i - — 2 /y Mog ^, -h
b'-'
Il y a dans ces expressions nno partie constanlo et nno partie fonction de r; si on était sur que cello-ci n'est qu'une petite fraction de la première, on pourrrait, on faisant une moyenne même un peu arbitraire, avoir un l)on résultat; mais si h est un grand multiple de a, le terme en r- prend une jurande importance, et si a est nul, son influence etst encore plus grande dans l'expression de F^.
204. — On fait en général la convention suivante : on admet qu'on peut prendre pour valeurs moyennes de F, et de F, les expressions obtenues en faisant les moyennes par rapport aux surfaces : on prendra
F, X -iT.rdr
0 F,
Remarquons que nous jtouvons décomposer le courant total en courants tous parallèles à l'axe des z; pour l'un d'eux situé à la distance r, la valeur de la force électromotrice est
La densité du courant ([u'elle produit, est
et le courant induit total dans la section droite sera
r^F
CHAPITM III. — gUKLQUKS APPLICATIUNS 187
Cela justifie l'expression que nous avons prise pour la valeur moyenne de F^ ; en effet ce qui est accessible aux exi)érience8. ce n'est pas la distribution des densitt's de courant, mais seulement lintensil»' totale : or, celle-ci est la même que «elle qui 8<Tail in- duite d'une manière uniforme par la force éleclromotrice moyenne en surface.
Toutefois, dès que l'intensilé du cuiiriiiit «esse dùliv uiiiiurme, au moins approximalivemenl ladistrii)Ulion deF cesse d'être représentée par les équations (lo). Il faut alors poser le problème autrement.
205. — La force électroiuolricc dans le cniHliufeur J est de
même
_ i>F.
iM
avec la même conveulion sur les signes ; mais si nous voulons avoir l'ensemble des forces électromotrices pour les deux conducteurs dans la même ré{;ion et par unité de baulcur, il faudra prendre dans le conducteur 2 le signe — et dans le conducteur 4, le signe ■+■ puis- que nous sommes dans le conducteur de retour ; on aura par suite en prenant les valeurs moyennes,
expression que l'on peut écrire
oi /F, —Ta
le second facteur est indépendant de 1 : c'est une caractéristique des circuits.
206. — Nous avons donc à faire les moyennes suivantes :
/H. ait r dr 6* -f- a* it 6* — a*y 2
„ / loar.9'Krdr 1 T.. , , ,, b* — a*~\
188 PROPAGATION DB LKLECTRICITK
En faisant la substitution dans (i3i on trouve
|
F-'-î |
"i è« 4- «2 1 b'* -+- a'2 2 b^ —a' ' 2 //2 — a'- 2 a* , a 1 Inrr 1 |
2//^ |
log,^, |
|
^ {b' — a^Y ^"^ /y ^ (// 1 «' - 2 log ,^ |
— a- - |
Tous les termes sont négatifs, sauf les deux premiers peu impor- tants, et la force électroniotrice est toujours négative : les termes de la 2- ligne caractérisent Tinduction entre les deux parties d'un môme fil ; celui de la troisième ligne seul provient de l'induction du fil d'aller sur le fil <lo retour; il pourra d'ailleurs être le principal.
207. — Il est rare que dans la construction des cal)les on laisse un trou central ; on peut donc faire a = o et écrire la force électro- motrice E sous la forme
(i4^
E--:![^iog^^4
Le t(>rme % ne dépend que de | •" c'est lui qui indique l'impor- tance de l'épaisseur de la couronne de retour.
Les deux tableaux suivants nous donnent la valeur des deux termes.
*'
a
|
I |
O,.')0 |
|
1,1?, |
0,6.5 |
|
i,4i |
0-77 |
|
i,:3 |
0-97 |
|
a |
i.i3 |
|
4 |
2,09 |
1,0
1 «
2l0g^
0,19
»
0.8
»
1,38
» 3,9
Si l'épaisseur de Tisolanl est 1res petite ; c'est le terme iB qui a seul de l'importance.
CIIAPITRI III. •— QUBLQL'CS APPLICATIONS 189
Si loii Ytnit donner do l'importance à l'induction mutuelle entre ios deux conducteurs, il faut que la couronne extérieure soit mince et l'isolant épais; dans le ca^ contraire, cVst la self induction de la cou- ronne de retour qui l'emporte.
La forci' clectromotrico ainsi obtenue, (»t par suite le coefficient de self-induction du cAble par unité de longueur dépend de la distribu- lion supi>osée uniforme de la densité de courant.
208 Deux fils parallèles. Approximation. — (Jccupons-nous maintenant d'un cas important par ses applications : deux fils pa- ralK'les placés très loin l'un de l'autre parcourus par des courants uniformes d'aller et de retour. Le potentiel ve<teur F résulte du courant de densité j dans le premier fil et du courant de densité j' dans le deuxième ; en ajoutant en cbaque point les deux valeurs cor- respondantes, nous supposons d'abord que la valeur de F due au premier fil est uniforme dans toute l'étenduo du second et inverse- ment. Cette ai)proximation est celle que nous avons faite en admet- tant que la distance des deux fils est un grand multiple du diamètre de cbacun d'eux.
Le potentiel vecteur qui provient du premier fil est, à l'intérieur de ce fil, i5 F = B — rj >••- — />^ .
et à l'extérieur 16 F = B— 2-&i;log J',
en tenant compte des conditions tie continuité. On a de même pour le second fil, à l'extérieur,
,; F = H'— 2-//yiog^'.
et à l'intérieur
18 F' = B — -/ J-'- — 6'0.
209. — Soit D, la distance des centres des deux fils; en traitant comme uniforme dans chaque fil le potentiel dû à l'autre, nous avons alors :
190 pnoPAOATioM DU l'électricité
liitùrieur du preinuT fil :
K + F'„ = B -\- U - 2-V'j' log y - -;>•=< - h-). liilcrieur du second fil :
F„ -f- F' = li + B' - irJj-i log ^ — ^/' v'-" - ^"}- Espace extérieur aux deux fils :
F + F' = B -f- B' — ■j.-b-j log '^ — 2 -b^i' log ^^ •
Les conditions de continuité sont satisfaites à la surface des deux fils; restent les conditions à l'infini. A très grande distance, r, et r' deviennent identiques, et pour que F -+- F' y devienne nul, il faut que l'on ait
^ B + B' + i-b^j log h -h 2 T.b"j' log b' =0 ^^^' \ ir.b^i -^ -îT^b'-'j' = 0.
La seconde de ces équations montre que les intensités totales -b-j, et tM-j dans les deux fils doivent être égales et opposées ; c'est ce que nous exprimons en disant que le second fil sort de fil de retour au courant I du premier fil, Mettant ce courant total en évidence, il vient alors
B + B' =. ~ 2l log ,,
et enfin
F4-F„==-i(;;:_i)_2iiog^
(20) \ F -h F' = — 2I log ',
F„ + F' =: -h 1 {j,^ - I^ .+- 2I log -g
à l'intérieur du 1" fil, entre les deux, et à l'intérieur du 2* fil.
Ces expressions supposent une répartition uniforme du courant dans chacun dos fils.
210. — Si on supjwse que les deux fils so réjoignent à grande dislance, on peut chercher la force électromotrice produite par unité de longueur de Tensemblo des deux fils parallèles.
CHAPITRK III. — QUBLQl'BS APPLICATIONS J91
C'est pour le premier (il l)our le second
Lu difiércncc de ces deux expressions donne la force éleclroino- trice totale, bien entendu après avoir fait la moyenne dans chaque fil comme précédemment, ce qui n'est pas absurdi* dans le cas actuel : en effet le terme r^ est compris entre o et i , tandis que Ir terme
log ^ ' très grand dès que les fils sont assez éloignés, est prépon- dérant. On trouve alors
MOV. r:. = -
* b- 1 et par suite la force électromotrice totale est
Telle est la formule classique de la force électromolrice de self in- duction piir unité de longueur dans l'ensemble de deux fils parrallèles d'aller, et de retour. Cette self induction décroit, quand la distance I> diminue: et, si la formule était encore théoriquement valable dans ce cas, on en déduirait, que, lorsque les fils égaux {h = 6' sont en contact [JS -—h -+- h' \ leur coefficient de self induction aurait i)Our valeur minimum, i h- 3 log 4 = 3,77. Mais une telle extension de la formule est tout à fait iucomimtible avec son origine approxima- tive ; la réaction d'un des fils sur l'autre n'est sensiblement uniforme dans toute la section que si les deux fils sont très éloignés l'un de l'autre.
CIIAPITHi: IV
FILS PARALLblLES
211. liC problème des fils parallèles, que nous avons traité seule- ment d'une manière approchée, en supposant très grande la distance qui les sépare, peut être traité d'une manière rigoureuse, pour toute distance, même petite, comme nous allons le voir. Seul, le cas du contact des deux lils restera encore exclu. Considérons dans le plan
un système de coordonnées orthogo- nales A et ijt, (fig. 37) et posons
(1)
. X.dX
rig.37 ■ et le long d'une ligne X = cte
|
m |
-(t = |
1 |
|
|
1 \dX J |
-(ir= |
2 |
|
|
jC long d'une ligne -jl = |
cte |
on a |
|
|
dl |
=^ hi dsn |
212. — Formons dans ce nouveau système de coordonnées l'équa- tion aux dérivées paitielles qui correspond à
— 4V-
CHAPITRB IV. — FILS rARALLiLBS 193
Partons, pour cela, de la signification physique de l'équation élec- trostatique analogue
d*V d«V ^*^^ = -4^-
« le flux de force qui sort d'un contour est égal au produit par 4" de la masse électrique intérieure au contour » et formons l'expression de ce flux de force pour un contour rectangulaire ^, À -i- rfX, (i,
fx -+■ rffl.
La force a pour composante normale à A B, et le flux de force qui entre par AB est
L'excès du flux qni sort par CD, sur celui qui entre i)ar AB, est
De même, pour les côtés AC, BD, l'excès sortant est
Quant à la masse électrique interne, elle est égale au produit de la densité e par la surface rf*^ rf*[x = , , • L'équation des flux est donc, en coordonnées orthogonales quel-
conques,
ire .h.
dX \/lj dX/ djJi \h^ dfJi/ h^h
nfin
Un a donc enfin
13
194 PROPAGATION DE L ELECTRICITK
213. — Lorsque les coordonnées orthogonales >s i^, sont iso- thermes,
AX = 0, Ah- = o,
on en déduit, en remplaçant V par >,, et par a, dans l'équation pré cédenle
Les deux quantités //,, h,, sont partout égales ; les coordonnées '/-, i-i, divisent le plan en petits carrés, inégaux d'ailleurs ; les courbes d'é- gale dimension des carrés sont les courbes h^ ^^ etc. L'équation prend alors la forme plus simple
214. Fil unique. Coordonnées polaires. — Gomme premier exemple, examinons comment, pour un seul fil cylindrique circu- laire, on peut déterminer la distribution des forces électromotriccs dnes à une variation du courant, distribué dune manière arbitraire dans la section. Prenons pour coordonnées, les coordonnées polaires
a, p = log r,
qui constituent un système de coordonnées orthogonales et iso- thermes.
L'équation
^F = - /iV devient
^ ?>p- <->a- ^
./■ est une fond ion de p et de a, que nous supposons développée en série de la forme
«) ./' -— ^ S„ sin n% 4- C, cos nxi.
S et C étant des l'onctinns <W z.
CHAPITRE IV. — ritS PARALLÈLES 195
Cherchons anc solution de la forme "• y — ^ 11« sin nx -f- (i„ cos m)
H et Ti t'iaiil ausM «los fonctions de ,; ; on a
(il) -, - ^ — ti^ Un sin m — n- (j„ cos ni)
Dérivant (lo) par rapport à a, puis substituant dans l'équation (8), et identifiant les facteui-s de sin m dans les deux membres, nous aurons pour déterminer H„
112; /' If =— 4-e'''S„.
Une équation semblable donnerait tî.
Léquation i:i sans second membre a pour intégrale
et avec le second membre
ce qui donne la solution complète du problème.
215. Coordonnées Bipolaires- — Comme second exemple, re- venons au cas de deux fils circulaires parallèles. Les cotjrdonnées orthogonales isothermes convenal)les sont alors le logarithme du
196 PROPAGATION DB l'ÉLECTRICITÉ
rapport des distances d'un point à deux points fixes, Oi Oj et l'angle sous lequel on voit la distance D de ces deux points^
(.3) 1 <" = '"'^ '■' - '"^ ''
( a== Wj — 0)^.
Les courbes a = cte sont, comme on sait, des circonférences passant par les points 0,, O.^; et les courbes p = cte, des circon- férences qui entourent ces points.
Des calculs faciles donnent, pour équations de ces deux systèmes de circonférences
/ D \2 J)2
14) 57- -f- ( V cot a ) = 7— v-s-
^ \-^ 2 / 4sm^!
et
D Cho\2 ^ D-2
(^^) r--2Shp) -^^^-4Sh^p
en désignant les sinus et cosinus hyperboliques par
(i6) Sho = i-(eP-e~ 0' Ch? = ^ («P -4- e" ?)•
216. — Une circonférence pi, celle qui limite le premier fil par exemple, a donc pour rayon
ot son centre est défini par
La distance des centres ;i^, n'est donc pas égale à D :
V 2 Shp, a Shpa/
Si par exemple la distance D est égale au double du diamètre des deux fils, supposés égaux, lu distance 'JD de leurs centres csl 1,11;) D-
aiAPITRE IV. — HLS PARALLKLBS l'J7
Si 3, et 5, sont négatifs, les deux circonférences entourent toutes deux le point 0, ; cela correspond à un fil cylindrique, entouré d'un tube conducteur excentrique. Ce n'est pas le cas dont nous nous occuperons.
Si 3, est négatif ot p, positif, la circonférence p, entoure le point 0,. la circonférence ?, entoure le point 0^, ce qui correspond bien aux fils conducteurs séparés.
217. — Les coordonnées d'un point P sont
( ^_P Shp 1 2 Cha — cos ï
(20)
/ P sin a
\ ■' a Ctip — ce
tip — cos «
Kiifin. <>n obtient facilement
/ X r, /d3 V /à? Y , (Cho — cos « *
L'équation à intégrer
AF = - \T.j
devient alors, dans le système de coordonnées bipolaires : d*F d*F D*
■") ^ ^ dx' -~ ""^ (Ch? — cos «)*
218. Isolant. — Dans tout l'isolant où le courant est nul, l'inté- grale est
F = A„ -^ Bo.0 ^ 2 ('^»e"'' + B"«~ "^) ^^^ '''■
^- Zé («»«"'' -^ *"«" "'^ s»° ^'•
Comme a devient nul à l'infini, il vient
F^ = A, -H 2 A„ H- Bn) cos «a -h 2 ^"'' "^ ^"^ ^'**
198 pkopA(;ation de l'électricité
ce qui conduirait à prendre la forme particulière, rigoureusement nulle à Tinfini.
(24* F = Bop -h 'V (A„ cos na -+- a„ sin wx) (e"'° — e~~ "^) lorsque les deux courants d'aller et de retour sont égaux.
219. Conducteurs. — Occupons-nous maintenant des conduc- teurs :
Supposons que nous ayons obtenu le dévolopi)ement du second membre sous la forme
rj Tsr :,== 7 (S„ sin n-J. H- C„ COS 72%.
"^ Gho — cosa - j^
S„ et C„ étant deux fonctions de p. L'intégrale peut èiro mise sous la forme
(26) F -— "V '•<?„ sin n% -\- Cn cos noL
avoc
i A„ e • H- B„ e
] /•? /^P
I 271 c„ = < „»'p / ^— "p /
I -\- I e ' Ci„<^p / e ' <-„«?
2W / ' 2?J
(28) S
nù Yi — nç
Ar, e ' -f- B„ e
n = *'p / — "p y
i -H — / e ■ S„rtp — — 1 e ' Sn«o.
I in f ' 2?i /
Il faudra délerniinor les constantes A„ et B„ ol les origines d'inté- gration de la façon la plus favorable pour la suite des calculs. Si J variait d'une façon lontinue dans tout l'espace, nous pourrions prendre — <» pour origine des intégrations sans introduire les termes en A„, B„ ; mais quand l'intensité du courant est concentrée dans les cercles correspondant aux valeurs p,, p^, il est plus commode
CHAPITKB IV. — 111^ l>\H\LLKLBS
IwQ
(le a»n>prvor A„ »"f B of •!'■ lU'teriiniuT irs cunstantes jxn i-'im- niiité à la sur[a«t\
Pour n = o. i-onsenons seulement Go «'t ^o î ^^ ri'lation(27;pn'iHl 1.1 formo particulière
— A T
: - / do j C,ih.
220. Courant uniforme — Ce (|ui préd'df s'iiitpliqiic à im.- .lis- tribution tie densité de courant arbitraire ; examinons le cas où elle est uniforme. S„ et C„ ont pour valeurs en général :
1 — ^,, ->SmMï«a
f Cb; — i-os ï)-
i-n= - I — jr^ --. COS n% dr.
~ 1 (Chp — COS a)*
ki ces formules se simplifient carj sort du signe /' et l'intégration devient possible ; il suffira de calculer les intégrales
/
Cbp — COS 7)-
I (Chp — COS a -
La première intégrale est nulle, parce que tous les termes entre o et -, sont exactement compensés par des termes égaux et de signe contraire entre - et 2-.
La s«'conde se calcule sans difficulté, en applif|uant par exemple les règles élémentaires, l'osons :
Cb p rz:^ ~.,^ rn^ y. — ', ^7 -
v/
n
la foniiiile de Moivre donne pour cos «a, un |wilynôm<' I' iie degré
200 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
M en î ; en tenant compte de la parité et de l'ordre des limites [d'in- tégration, on en déduit
/cos na do. /
+ I
(?„ ~ If v/r- x;^ et enfin par des transformations classiques,
/air cos na dtL (Gh p — cos (
■»2ir rW / cos na C?a ^ St- (^ + 0 /'"^ "^ — (^ — 0 P "" "^ ^
en prenant pour jo la racine inférieure à l'unité, de l'équation 79^ — ap Ch p + 1 = 0. On prendra donc, à l'intérieur du fil 1 ,
et à l'intérieur du fil (2)
-+-°=>p2>o p — e~ ^
Avec ces conventions l'expression
(3 1 ) a = - 87: i. D^ (n+i)p -^ -(n-O?) -^
(1 — p')*
est applicable aux deux fils.
221. -- Portons ces expressions de S„ et de C„ dans c„ ; nous avons à calculer les intégrales
-in J ^ (1 — p'^y p
CRAPITRK IV. — FILS PARALLKLK8 201
' ^ -1^ J P (r=:7T 7
222 Premier fil. — Occupcms-nous d'abord du fil I : l'intéi^ralion duit-èlre étendue de p = — », c'est-à-dire de p ^= o, jusqu'à la va- leur a du cercle passant par le point intérieur considéré c'est-à-dire jusqu'à p = e^
Remarquons d'ailleurs que les «leux intégrations donneront pour ces expressions des termes du même ordre en p et qu'il n'y a par suite aucune raison de négliger une intégrale devant l'autre.
L'intégration se fait sans difficultés et donne iK)ur la première ex- pression
pour la deuxième
_H 8r i D^ ? i r -, •
Toutes réductions faites, on trouve
(n -h a)p
(32) c„ = A„ e"? -h R„ 6 ~ "• — 1- J D« ® -
I — e "^
Le terme c^ a la forme particulière
ap Co = A -h Ro — 2r ; D* — ® •
1 — e^'
Portons ces valeurs dans l'exprtission (26) et accentuons tous les coefficients pour rappeler ((u'il s'agit du premier fil :
(a -i-B'.o — 2-/D*
10 e '
K_-.
/ -^ ^ ( A'" «" ' -^ B'" «~ " - ^-/I>^ -^2-p •"')^^' '» '•
1 — e^P /
202
PROPAGATION DK L ELECTRICITK
Ce fil s'étondant jusqu'à l'origine ()', pour laquelle p est — œ, B' et tous les IV „ sont nuls, pour que F' n'y dovionne pas infini, et il reste
I — •>-/ ])- --'- — - ( 1 -t- ^ e "■' cos na )• ( 1 _ e^P \ -^ '
223. Deuxième fil. — (^iiangeant p est -^ p, et /' en /', on a de rat^me pour l'intérieur du second fil
^ A" H- V ^.v'^e- CM) V"^ e-.p . V -,K \
' 1 — e '
224. Conditions de continuité. — KciiAons maintenanl les conditions de coulinuitc à la surface p =-^ p, du premier fil cl à la surface p = p^,, du secondTil, en conservant l'expression complète (24) ])our l'isolant, et les expressions (33), (34), pour les conducteurs.
Puisqu'il n'y a pas de termes en sin 7iol dans les conducteurs Un cl b„ sont nuls dans (24 • Tevmes i?idépendants de a.
? = ?,, Conlinuité de F :
ori '
e^pi
A — 2 -fi)- - :^ Au + B,.0
1 — e-*'°'
Conlinuité de -—
2 -y D-. 2 -, = Bn.
f . - e'P' )'
Remarquons maintenant que l'expression (17) du rayon U, nous donne pour la surface de section du premier fil
tD* ^. e^P'
CHAPITBR IV. KM >i '• * H ^ i ( KLKS 203
l"iiUensilé totale V dans l<- |ir«iiiiii iil < ~i
et les équations de continuité deviennent pour le premier fil
Ao-hBo?, = A' — U'd — e^t^')
L<* second fil donnera de même car on a pour lintérieur du second fil
\e'- — e ) (, 1 — e "j
ot de plus la dérival ion en ;^ change les signes dans la seconde équalion.
225. — De là on déUuit d'abord
r - 1' = o.
La forme d'intégrale fournie naturellement par les solutions sim- ples de notre système de coordonnées isothermes orthogonales exige que le courant de retour soit égal au courant d'aller. Bien entendu, ce n'est pas là une condition imposée par le choix des coordonnées, mais seulement par le choix des solutions simples, qui excluent les singularités à l'infini s = o).
Les deux premièn»s équations, qui deviennent alors,
,A — Ao= 2l'(i — 20, — e''''
A' - A„ = — -.'. r ( 1 -h 2?j — e '^■') ne déterminent que les différences A — Ag, A' — A,.
204 PROPAGATION DE l'eLBCTRICITB
S'il n'y a pas de champ d'induction autre que celui qui provient des deux fils, on doit prendre Aq nul.
226. Termes en cos nx. — Los termes en cos n% donnent de même
f38).
et en tenant compte de I' -\- 1" :=. o A"„e '^--^-iYyx—e ^-)e '- =: A„e '- 4- B„e ■-
(39) s
^ '" ' .„ — no., 1, — no.> / — 20., \ . no., t» _ — «po
— nA"„e '-—are '-(^n+2— 7îe ' -j = nA„e ' " — nB„e ' -..
d'où l'on tire facilement
l B„=2r
e ' '
n
f A„=-2r? '
i n
puis
(40 . r
/A"„ = -2l'(i-e-^P^)-?-Mi_e^"?0
Lorsque les deux fils ont même diamètre pi := — Pa, B„ et A„, A' et A"„ sont égaux et de signes contraires ; mais il n'en est plus de même si les deux fils sont inégaux.
227. — Paradoxe. En particulior B„ diffère alors de — A„, et au loin, pour p = o, on a
_^ — anp., 2npi
F^ = — 21' > ? 1::^-? cos na
au lieu de
Foo = o.
Mais il n'y a pas lieu d'y voir une difficulté. En effet, nous savons que pour un courant uniforme dans un fil cylindrique, l'expression rigoureuse de F est — al' logr, r étant compté du centre du fil. Or
CHAPITRE IV. — FILS PARALLELES 205
nos distances >•', r\ sont comptées des points 0', 0", qui ne sont pas les centres des fils, et (jui, en outre, sont inégah-menl éloignas de ses centres, si les fils ne sont i)as de même grosseur. En outre, l'action de l'an des fils sur l'autre détruit l'isotropie de distribution des valeurs de F dues à chacun des fils en particulier, vl quand les deux fils sont inégaux, il n'y a pas de plan de symétrie des F [lerpcndicu- laire au plan des fils, à petite dislance, et rien ne permet d'affirmer qu'il y en ait un au loin. Le plan de symétrie de F au loin, s'il existait, passerait au milieu de la distance des centres; il différerait donc du plan de symétrie tles coordonnées, (juand les deux fils sont inégaux. On ne saurait s'étonner de retrouver la trace de cette dis- symétrie dans les valeurs lointaines de F, si on se rappelle que. ce que nous appelons distance infinie dans les problèmes cylindriciues n'est pas une distance infinie par rapport à tout le système agissant, mais seulement une distance de même ordre que la lonfiueur de celui-ci, snppnst'-i' hv-; i/raiulo par rapport aux dimensions trans- versales.
228. Force électroznotrice moyenne. — Dans le premier fil, en un point ?, a, le potentiel F est donné par la formule (33), avec les valeurs (37), (4i), des constantes. En ce point l'élément de sur- face a pour expression
4(Chp — cosa}^
La valeur moyenne du potentiel F pour toute la surface du fil est donc
pdx
¥■ =^
— m^o 1 *-^— » «-^ o
COS a)^
i — e^ J (Ch:
COS rtïrfa
p — COS x)*
206
PROPAGATION DE L ELECTRICITE
La formule (3o) nous pcniiet d'effectuer toutes les inl(''yratious en a, et donne
r'(A'--«'~^)(r-e-.:.,'"'
'27:D^
229. — Ces quadratures s'effectuent facilement (*). Pour écrire le résultat, nous poserons
^nn
Zn»2 —
1 — a
~- H h .. -^ 2 -h log (l — ^) I
J/ 2yl2_ __3^"-' 0
^nij
2"ds^ _ _ 1 •i
l'-^)^
1.2 -+- '2.3. r, 4- .. 4-
?i — 9. n — o
-h (/i— i)(m — 2) c- -l-n(n — i)logyi — z) — n — {n — 1)
in 1
I — z (1 — ;r)*
(') En posant e^P = j on csl ramené aux quadratures du It-xle. On les effectue facilement par le? remarques suivantes :
1 dz , a — ;
I = — log - ;
_w^ ^ _ s;-
Jo » - -
(l'on l'on lire Z,;',,,; un ohlienl les suivantes en dérivant par rapport à a; on f.iil il l;i fin si'uleiueiil a i .
rHAPITRE IV. — MIS lAUALLKLM
207
f - U
! ( 1 — -)*
/< — .1 -* ,1—4 -t-(«_ i)(u_ 2)(«-:5).' -4- n (n — 1 (n — a) log ( i — j — n(n — 1 ) — (n — 2) n -f « — i ) 3n(M — i) 3n 2
230. — Dans ces cxpressious nous remplacerons désormais z par ' et nous avons enfin
-^r
'.0-
L'expression de F',„ s'obtient en remplaçant S,, 1', :,, par S^, — I', — ,;.. et les A [jar les A'.
On voit combien nous sommes loin, de l'expression du cliapitre précédent, et combien la force électroraotrice moyenne par unité de longueur-' (F',„ — F',„) dans l'ensemble des deux fils pourra être ilifférente, lorsque, les deux fils étant rapprochés, p, et a^ différeront [leu de zéro, auquel cas le - auxiliaire est voisin de i , et tous les termes restent importants.
Il faudrait dresser des tables de ces formules pour apprécier l'ordre de grandeur véritable de l'écart.
Remarquons, pour finir sur ce sujet des fils parallèles, que les coordonnées orthogonales choisies ne permettent pas de traiter le cas de deux fils circulaires en contact. Pour avoir des familles de circonférences en contact, il faudrait prendre le cas limite, où la dis- tance D est nulle, et le traiter directement.
CHAPITRE V
BOBINES CYLINDRIQUES. BOBINES SPHÉRIQUES.
231. Phénomènes d'induction entre deux bobines ou à
l'intérieur d'une bobine. — Considérons un courant circulaire et
prenons dans le plan du courant les coordonnées polaires r et a.
Soient F, et V^ les composantes du potentiel vecteur F suivant Ox
et Oy. L'une quelconque de ces composantes satisfait à l'équation
fondamentale
AF, = — 4Tr;', qui di.'viiMU ici
(1)
|
<V-F, |
1 oF, 1 d^F, d^¥, |
|
î |
+ - — ' 4- -, -—:r H i = |
|
i>»'^ |
r or r^ da- i)Z^ |
-4^y,
Pour ce courant, la force électroniotrice est perpendiculaire au rayon vecteur : on a donc
F, = — F sin a
Ji = —J sin a
et
Fig.38
F 2 = F COS a J.^ =J COS a.
Substituons dans Vaqua tion (i), il vient 1 ôF
ôr2
r àr
1 ,, o'^F , .
-2 r H 5 = — 47:;.
F peut-être une fonction de r et de ^ ; considérons pour le moment le cas où la bobine est illimitée et où z n'intervient pas ; l'équation prend la forme connue
ô»F . 1 ôF
(«)
— -, F
A)- r àr r-
â^J
CHAPiTRB V. — KOlilNBS CYLINDRIQUKS. UUBINBS 8PHKRIQUBS 209
qui a |)Our intégrale
:= ar -h - — - I 4 TTj'dr -^- ~ j â'Jr'ffr.
1 Duj/s . csy>u c inlévieur au cylindre, / o-l mil : h est nul car F reste fini ; on a donc
^\ = a.»-.
2" Dans le conducteur, il faut prendre l'expression 3) complète. 3 ' ^1 l'extérieur, j est nul ; a est nul, car F est nul à T infini ; d'où
F, = '. .
r
232. - Nous supposerons, comme au «hapitro précédent, que j osl iiulépendant de )• dans l'épaisseur du conducteur ; alors l'expres- sion 3) devient, en intéj;rant depuis r^, rayon interne du conduc- teur,
F = ar -1- - — 2 -jr (r — r,^ + -f- ^— i- .
Les conditions de continuité s'écrivent sans difficulté : Sur la surface intérieure
|
F== |
■■ «0^*1 |
= |
ar, |
H- |
b |
|
ôF |
= a. |
= |
■■ a |
— |
h r,- |
ilOll
\a = a^ I b = o.
On trouve de même |k)ur la deuxième surface )•,
Îa^i-j (r^ — r,; h., = 1T.) -» ^
Dans l'intérieur de la section la force électromotricc varie avec r
14
210 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
et il faudra choisir une moyenne. Mais, pour tenir compte de la résistance, on sera amené à prendre la moyenne par unité d'angle au lieu de la prendre par unité de surface.
233. Self induction d'une bobine. — Il est intéressant d'exa- miner le cas d'une bobine, c'est-à-dire de supposer le conducteur formé de couches conductrices séparées par des cloisons parallèles à la section droite, et des cloisons cylindriques, infiniment minces et très rapprochées. 11 faut alors déterminer pour la tranche com- prise entre r et r -h dr, qui contient un ensemble de ces spires, la force électromotrice totale dans cet ensemble de spires prises bout à bout.
Remarquons que dans ce cas nous nous rapprochons beaucoup de l'uniformité dej, si l'épaisseur des spires est la même; car, comme elles sont parcourues par le même courant, i ne peut varier que dans la petite épaisseur de chacune.
Supposons qu'il y ait n spires par unité de hauteur de la bobine et par unité de longueur suivant le rayon ; dans l'épaisseur dr il y a ndr spires par unité de hauteur; la longueur totale de ces spires est
-iT^vndr.
La force électromotrice totale pour cette tranche est
— iT^rridr — > dt
ce qui donne pour la force électromotrice par unité de hauteur de la bobine
t/r.
— - aiw / Yrdr.
<■) ^ 3
= — 27:n
Ht
I
CHAPITRE V. — nOBIMBS CYLIMDRIQUK3. BOBIMRS SPiléRIQUKS 211
avec
D'autre part, ?' étant rintensité du courant dans une spire, on a
; = ni, il vient finalement, pour la force électromotrice elle-même
•" '' = - M '^'^'*^* [f ~ 3 '•*^' + tj = - ^^' .1-
— L, ^ est la force électromotrice induite par toute la bobine indéfinie, sur les spires rompiises dans une hauteur 1 comptée sur l'axe.
Si, sans être inHuie, la bobine a une très grande longueur h, cette expression reste très approchée. La force électromotrice induite dans toutes les spires est alors sensiblement — hL. *-■ . /*L, est le
dt
coefficient de self-induction approché L de la bobine entière, obtenu directement. Il coïncitle avec relui que l'on trouve par la considé- ration (hi flux de force quand ou calcule exactement ce dernier.
Mettons en évidence l'épaisseur [r.^ — )•, et le nombre total de tours par unité de hauteur de la bobine :
L, = ) 2rn 'v, - ;v ; [-^4- -^ H- -*-J.
Si l'on passe au cas où l'épaisseur est trcs petite, mais où l'on garde le même nombre de spires par unités de hauteur, on a en faisant r, = v, dans la deuxième parenthèse
L, =} arnir, — r,) jS-,^
ou, N désignant le nombre total de tours par unité de hauteur,
L, = (ai:N^* r^K
212
<r
PHOPAGATION DK L ELECTBICITE
Si la bobine est très longue on a une valeur approchée du coeffi- cient de self-induction en multipliant cette expression par la lon- gueur de la bobine.
234. Bobines concentriques. — Examinons maintenant le cas où l'on il plusieuis bobines, placées concentri- quemcnt ; il est inutile de faire de nouveaux ^// calculs : il suffit de superposer en chaque point ^ les effets dus aux diverses bobines : prenons ^ deux bobines de rayons r, et r^, Ri et R^, ^ de densités de courant J et J, et dont le nombre ^ de spires par unité de longueur est n et N.
Ri
1
Fig.39
Dans l'espace intérieur à la première bobine
Fq r= iT.j (/% — ri) r -+- 2t:J R, — Ri) r. Dans la première bobine
Fj = 2Tr/ y rr., — ;.- r^
3r/
-H '^.tJ ill, — R, r
Dans l'espace compris entre les deux bobines
K = 21T;- '-^^^—^ + 2 7rJ (R, - R,) r. Dans la deuxième bobine
. ,. 3 _.,.^ / 2 , R,'
Enfin à l'extérieur des deux bobines
. r./ - r,' _^ , ly - R."
235. — Si nous voulons avoir la force électromolricc induite par
CHAPITRE y. — B0BINR8 CYMNORIQUBS. BOBINKS SPHCRIQ0B8 213
nn«> varialinn de/ ho de la densité du courant delà bobine intérienrc dans l'unité de liauleur de la bobine extérieure, il faut prendre la somme
I ....,,», ^ ..,, —3^ •^R.
qui donne, avec^ = ni,
2-N X 2^n ''*' ~ ^''' fR, — R,^. t = M.i.
Remarquons que les dimensions des deux bobines n'entrent pas d'une manière symétrique dans ce coefficient d'induction mutuelle M,, on a cependant la même force électromotrice induite quand on a la même variation d'intensité dans n'importe laquelle des bobine* : car pour la bobine intérieure il faut former
f
i-tirdi\ 2-Xl II, — U| r
d'où l'on lire
1-n. 2rN ^'' 3 ^' ;R, — R, . I = M,I.
Le coefficient M, de I est le même que celui de i dans la formule précédente.
Le résultat est évidemment applicable approximativement à deux bobines de même longueur axiale H, très grande, et donne alors
M = 2-Nll. 2-/1 'Jî-=l-i-' II, — R, .
La nature iXi'^i raisonnements ne permet évidemment pas de sup- poser les Ijobines d'inégale longueur.
236. Remarque. — La méthode employée a donné les coeffi- cients d'induction propre L et d'induction mutuelle M sans ambi- guïté. Pour trouver L, on emploie souvent sans précaution suffi- sante la remarque suivante :
214
PROPAGATION DK L KUECTRICITE
Le coefficient d'induction propre peut être considéré comme la limite vers laquelle tend le coefficient d'induction mutuelle de deux bobines quand elles se rapprocbent indéfiniment, ce qui est exact ; et on passe à la limite sur la formule de M, or M est toujours calculé en supposant que les bobines sont extérieures l'une à l'autre ; et ne permet pas de supposer qu'elles se pénètrent ; de sorte qu'en faisant R = r dans M, le coefficient d'induction propre qu'on en déduit est faux.
237. Bobines minces. — Revenons à ces coefficients et prenons le cas où l'épaisseur est petite ; dans ce cas on peut parler sans am- biguïté d'un rayon moyen r,,,- Pour une bobine de longueur h le coefficient d'induction propre est sensiblement
h = \2Tzn r,„ {i\ — ri) J^ h.
Or la quantité entre parenthèses représente la longueur du fil em- bobiné par unité de hauteur : si X est la longueur totale du fil sur la hauteur h, ce coefficient pourra s'écrire
h Ce résultat est d'autant plus précis que le rapport — est plus grand.
De même, on obtient pour le coefficient d'induction mutuelle de deux bobines de môme longueur axiale très grande H, dont la bobine extérieure a pour rayon moyen R,„, pour longueur de fil A, et la bobine intérieure a pour rayon moyen r„,, et pour longueur de fil À,
,- A X r,„
238. Bobines sphériques. — En coordonnées sphériques r, 6> o, l'équation de chacune des trois composantes Fj, F^, Fj suivant Ox, Oy, Oz, devient
ô^ 2 ôF i__ ^ , _L i^ cosO ôF ^ _ /^ •
d>'« ~^ rdr '^ r^ sin^ 0 ^c» "^ r- .^6- "^" ;•« sin 6 ^e
CHAPITRE V. — BOniNKS CYLI!«DRIQ0B8. BOBINES 8PRBRIQUB8 215
Supposons que le courant soit circulaire autour de l'axe ix)laire, et ({ue sa densité soit proporliounelle à sin 0 et fonction quelconque de r, mais non de ^.
/ J, = g sin 0. cos o,
I J^ = — g sin 6. sin ?,
f J, = o.
l.es trois équations en F peuvent alors être réduites à une seule, en adoptant la même répartition
F| = (i sin 6 cos r, F, = — G sin 0 sin «?,
qui donne un potentiel G sin 0 au point r, 6, s.
G ne dépendant plus que de r est déterminé par l'équation
d*G 2 dG 2 ,, ,
— 5 H i G = — ir. g.
Dans l'espace isolant intérieur à une sphère de rayon ri, l'inté- grale est
Go = a r.
Dans l'intervalle conducteur entre deux sphères de rayons r, et r,, où le courant </, est connu, l'intégrale continue avec la précédente est
^1/
Gi = ar-\- {"£2 / g r» dr — ^'' / g dr
et si g est constante, comme nous le supposerons dans la suite,
Enfin dans l'espace isolant extérieur
G, = 3-
216 PROPAGATION lE l'ÉI.ECTBICITÉ
Les conditions de continuité de G et de ' 'à travers les sphères r,
|
et 7*2 donnent |
4''^ f \ |
|
6 = ^(r/--r/)y. |
|
|
D'où finalement |
|
|
Go= -f ('•.. — ''i)'-^ |
K = - 3 (-(;.-^r'-''^^>
239. — Cette distribution de densités de courant est réalisable en embobinant entre les deux sphères un fil (de grosseur variable avec G, s'il doit remplir exactement tout l'intervalle) parcouru par un courant uniforme, dont le nombre de tours n à travers un centimètre carré de section méridienne est proportionnel à sin 0 :
n = N sin 0, D'où
jii z= Si sin 0
g —'Si.
Cet enroulement met un nombre de tours constant dans chaque tranche d'épaisseur 1 comptée suivant l'nxe polaire ; c'est l'enroule- ment connu de la bobine sphérique à champ magnétique intérieur constant; mais dans ce cas il ne remplit pas tout l'espace compris entre les deux sphères.
Comme l'enroulement se fait nécessairement avec un fil de dia- mètre constant, nous supposons pour la suite ((uo le lit laisse des interstices de plus en plus grands en approcliani dos pôles; il est évident (juc les conclusions ne seront compatijjles qu'avec de petites épaisseurs r., — r,.
CHAPITRE V. — UOBINBS CYLINDRIQUKS. BOBINES SPHtRIQUBS 217
On obtiendra la force éleclromotrico totale par l'intôfiralc E =-• — n / I (i sin ». •'. -r sin 0. .N'sinO. rdrilfi
dont IV'lément est le pioiiiiil de trois facteurs : le potentiel par unité de longueur du fil, G sin 0 ; la longueur d'un tour de fil 2 7rr sin 0, et le nombre de tours de fil de l'élément de surface correspondant, N sin e rdrdù. Effectuons les (juadratures. il vient
<>/ > 3 I 10 r>. 3 J Ot
eu posant
Le nombre total N de tours de fil est N (r^' — Vi-). La longueur totale du fil est
On a donc
i6^ _. r* •+- arfV^^ ■+- 3r,V^ -t- à^t^
ce qui, dans le cas d'une épaisseur très i»etite, se réduit à
L = = - rJ^h^
en désignant par r,„ et î„,, deux rayons moyens, dont l'expression analytique est un peu différente.
240. Deux bobines sphériques concentriques. — Notant l»ar un accent la quantité // qui définit la densité de courant dans la
218 PROPAGATION DE L ELECTRICITE
sphère extérieure, de rayons r/, r,', on a, dans les cinq domaines o, 2, 4 isolants, i, 3, conducteurs, par simple addition des termes qui proviennent des deux sphères :
«' = - T (4P -^ 4 ' - "n " "^
% "■-; - '■> ) g',
Posant
nous obtenons facilement le coefficient d'induction mutuelle des deux bobines,
M = / / ^~ (r/ — r/j N' sin 0. arr sin 0. N sin 6. rdrdQ
ou
M = ip (r,' - r/) N'. ^ '^--^' N
ou en appelant N' le noml)ro total de tours de la bobine extérieure, et X la longueur de fil enroulé sur la bobine intérieure
M =
9 n' -+- î'-i'
formule exacte, quelles que soient les épaisseurs des deux sphères, pourvu que l'enroulement soit conforme à la théorie [n = N sin 6]. La simplicité de ces formules exactes pour L et M montre qu'il y aurait avantage à construire les étalons sous cette forme sphérique ; l'enroulement théorique est facile à réaUser sous faible épaisseur.
CIlAlMTUi: Vi DISTRIBUTION SPONTANÉE DU GOURANT
241. Au lieu de nous donner la distribution de J daus l'espace donnons nous la loi de F dans le temps :
Soit un conducteur plan parcouru par uu courant dans le sens
peri>endiculaire au plan de la fijoire, et compris entre deux isolante.
On a toujours
AF = — 4n; .
La force électromotrice résultant de l'induction
est
.^F
nous supiMJserons qu'il n'y a pas d'autre force élec-
tromotricc.
Alors
ôF
J^-k
i\t
el pur suite
0
AF = 4-/.-
ôF
dt '
Fig 40
Remarquons que nous n'avons pas ici à nous préoccuper de l'iso- lant, car la force électromotricc étant parallèle à la surface de sépa- ration, il n'y a pas de charges superficielles.
F ne dépend que de a?, de sorte que l'équation [12) se réduit à
(^)
d*F , , dF —, = 4^A- —
aa:'
bt
220 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITB
242. ~ Supposons d'abord que la décroissance se fait sans oscil- lations. F est donné par une exponentielle décroissante de la forme
on devra avoir
F = Ye-'^'
~ = - 4rA-0Y.
La solution est de la forme
F = (a sin X V/4-/0 + B cos x \/7i^) e~^^-
Il n'y a pas de facteur exponentiel en .v; il n'y a par conséquent pas de localisation superficielle du courant dans le conducteur ; la fojce électrique est parallèle à la surface du conducteur, quelle que soit la rapidité de la variation dans le temps.
A l'extérieur, — (dans la théorie, que nous développons actuelle- ment, et pratiquement lorsque la variation n'est pas trop rapide) l'équation est
AF = o
dans l'isolant, ce qui donne comme solution, à cause de la continuité de F et de sa dérivée normale, à la surface de séparation 57 = 0,
— et
e
F = [b H- /47rA0 Ax\
puisque F ne peut dépendre que de x et de /.
ôF On éviterait l'accroissement indéfini de F et de -r avec la dis-
dt
tance x au plan limite, en supposant A nul, ce qui mettrait le maximum de la force électromotrice et du courant dans le plan x = o et dans les plans .r = — ir, — 2-, — Zr., etc. Mais ce serait une so- lution illusoire de la difficulté, car elle reparaîtrait pour la seconde face d'une lame conductrice dont l'épaisseur ne soit pas un multiple
Les données du problème, avec l'extension indéfinie de la lame
CHAPITRK Vt. — DISTRIBUTION SPOTrA<«KK DU COURAMT 221
dans les deux sens, laissant le courant ouvert, ne nons permettent pas d'achever la détermination ; ce (jui se {msse à Tinfini reste encore susceptible de conventions indéiiendantes.
243. — Counidrrons luaintemint le cas où F est périodique, et
I>rt'iu>ns
l'équalion devient dont l'intégrale
.art
F = Xe' '
à*X 8r-A- ^. dx* T
X = (A 4- BO e^ ""^ V t
= -\
donne en prenant les termes réels
a*
L'impossibilité d'un courant indéfiniment croissant avec la dis- tance, nous oblige à ne prendre que les termes de la seconde ligne si le conducteur s'étend indéfiniment du côté des ./; positifs. Cela, indépen- damment de toute considération du champ e.xtérieur qui conduirait aux mêmes difficultés lointaines dans l'espace, que le cas précédent. Le courant péri«xlique se localise donc au voisinage de la surface du conducteur: mais la force électrique est encore parallèle à la sur- face du conducteur, quelque courte que soit la période T.
244. — La conclusion apparaîtra avec plus de force encore si nous considérons une plaque d'épaisseur limitée 2//, de part et d'autre du
222 PROPAGATION DK L ÉLECTRICITÉ
plan X = o. Dans ce cas, si le champ lointain et inconnu ne s'y oppose pas, la distribution doit rtre symétrique par rapport au plan médian, ce qui donne
„ air/
F = cos -fp- X , .-
A(e+^VT^e-^^v¥)eos..v/Y IM > ^ •— e * ^ y sm TTj; y Tjr
et dès que la période T est un peu courte eu égard à l'épaisseur, l'ex- posant à la surface
rend les parenlhoscs énormes par rapport à leur valeur au milieu.
Ex. : Cuivre /• = -^ (C G- S.) T ; = -L-- 7i _= i«™ ; 1 600 ^ ' 800 '
les parenthèses valent ± 28 environ, à la surface : au milieu, leurs valeurs sont 1 et 0.
245. — Le cylindre indéfini conduit à des conclusions analogues. Dans le cylindre conducteur, l'équation est
et (toujours dans l'état actuel de notre théorie) elle se réduit à
ô2F l^X _ ?>r- r dr
dans l'isolant.
1° Le courant décroît exponentiellement.
F = Re-^
d'où
î) R 1 ôR , » A Tk
—2 H- - — H- 4^/<*0 R = O.
CHAPITRE VI. — DISTRIBUTION SPONTANÉE DU COURANT 223
dont l'intégrale finie a l'origine est (L. II. Cli. V)
L'allure générale tie la fonction de Bessel Jj, est alternante, maxi- nuiin pour r == o, «u centre du fil; en prenant cette valeur centrale pour unité, les autres maximum de [)lus on plus rapprochés de la surface sont de plus en plus petits ; mais leur décroissance se ralentit de plus en plus à mesure qu'on s'éloigne de l'axe (fig. 12. p. 96). Le 4' maximum est o,aa ; le i6' 0,11 ; le 5o* o,o63.
Le premier changement de signe se produit pour la valeur 2,/|o; le second pour 5,52, le 3' pour 8,65,1e 4' pour n.79, etc. Suivant la rapidité de chute de la force électromotrice, et le diamètre du fil, celui H'i peut donc être parcouru à ses différentes profondeurs par des courants alternativement de sens contraire ; le courant superficiel peut d'ailleurs être de même sens que le courant total, ou de sens opposé.
Ex. : Cuivre h — '- • Soit 9 = ^? :
I 000 -K
R "^ iF^/^o Un seul sens de courant. R -< 5,52 Zone extérieure inverse de la zone centrale.
R ■< 8,6.5 Zone extérieure de même sens que la zone centrale, avec une
zone intermédiaire opposée.
246. — L'intérieur du conducteur étant tout entier à distance finie, la répartition du courant y est déterminée indépendamment du champ extérieur. Celui-ci, dans les conditions de notre théorie) est donné par
F=(ciog(^)4-D)e-^* avec
D = Jo (r i^^) et
<^ =>*(.-. M.
Môme difficulté à l'infini que pour la lame plane.
224
PROPAGATION DK L KLECTRICITE
247- — Le cas où la force électromotrice est périodique a fait l'objet d'études numériques approfondies à cause de son importance industrielle, et il est bien connu. Remplaçant
— 6 par
nous obtenons pour la solution
2t: . T '
R = .,,(.^/=-^)^XH-iy
Les deux fonctions X , Y de la variable
v'ï
ont été étudiées et calculées numériquement par les soins de
Fis,- 4- 1
l'Association Britannique. Toutes deux croissent extrêmement vite en valeur absolue avec oc, après avoir changé de signe une seule fois. La figure 4» indique leur allure.
CHAPITKE VI. — DISTRIUUTION SPONTANKK DU COURANT 225
( )ii u alors pour partie rcelle
F = \ cos -j, \ sm -Tp
et l'accroissement extrêmement rapide de X et V en approchant de la surface, dès que la variable airr w 7p dépasse 4, montre que la ré- imrlition du courant est alors exclusivement superficielle.
248. — Ces exemples suffisent à prouver combien est erroné le calcul des coefficients d'induction dans le cas des courants à varia- tions très rapides, si on suppose le courant inducteur uniformément réparti dans la section du fil. L'erreur déjà grande pour un courant périodique dans le temps, qui se localise à la surface du conducteur, est bien évidemment plus grande encore pour un courant à décrois- sance exponentielle, qui se stratifié en zones opposées dans la pro- fondeur du fil. Il est, dans ce cas, impossible de parler d'un coeffi- cient de self induction déterminé, ou même d'un coefficient limité, pour une décroissance exponentielle rapide du courant dans un fil un peu gros.
Ce sujet mérite une étude approfondie, que nous aborderons lorsque nous serons en possession des équations correctes (Maxwell- Hertz) du champ extérieur.
15
CHAPITRE VII
PROPAGATION AVEC CAPACITÉ ET INDUCTION MÉMOIRE DE KIRCHIIOFF
249. — Les caractères de la propagation de l'électricité dans un fil doué de capacité, mais sans induction, sont connus dans leurs traits généraux par l'étude ap[)rofondie des câbles, ot par l'analogie avec la chaleur : toute variation se fait sentir instantanément à toute dis- tance, mais infiniment peu à distance infinie ; il n'y a pas de vitesse de propagation indépendante de la loi de variation du potentiel ; mais à chaque variation périodique correspond une vitesse de pro- pagation particulière des nœuds et des ventres ; une vitesse du train d'ondes, et un amortissement ou une absorption déterminées. Le conducteur doué de capacité se comporte comme doué de disper- sion et de pouvoir absorbant, variables avec sa forme.
Les caractères des variations d'intensité dans le temps, par induc- tion sans capacité, sont également bien connus, depuis Faraday, Lenz, Neumann, Thomson, Helmholz.
Mais les caractères de la propagation dans les fils doués de capacité et d'induction, ont été méconnus, ou pour mieux dire inconnus, des physiciens, à peu près jusqu'aux découvertes retentissantes de Hertz, bien qu'ils eussent été établis par Kirchhoff dans un remarquable mémoire de 1867 ('). Dans ce mémoire, Kirchlioff montre que toute l)erturbation se propage le long du fil avec une vitesse finie, quoique très grande, égale à la vitesse « rapport dos unités électrostatique et
{*) Uber die Bevvcaung dor Electricitat ia Urjibten. — P. A., l. 100. — Abh.- p. i3i.
à
CHAPITRE VU. — PROPAOATIO!» AVEC CAPAClTifc BT INDUCTION 227
électromagnétique », c'est-à-dire à la vitesse de la lumière. Comment un résultat si important, conséquence de lois bien établies, a-t-il pu rester pratiquement ignoré des physiciens, ne leur suggérant aucune expéricnco. pendant plus de trente ans 1 C'est que Kirchhoff a mal- heureusement étudié les fils et non pas les câbles ; ni la notion de capacité par unité de longueur, ni la notion de coefficient d'induc- tion propre par unité de longueur, indispensables à son raisonne- ment ultérieur, n'ont paru être établies, ou seulement rendues vrai- semblables par les considérations du début.
250. — Kirchhoff suppose le fil fin, très long, très peu courbé, de manière qu'on puisse le décomiMJser en éléments de longueur sensi- blement rectilignes, quoique très longs par rapport au diamètre. C'est le mode de décomposition usuel quand on s'occupe des proprié- tés des fils, dont c'est, pour ainsi dire, la définition. Dans un tel élément, on suppose que le potentiel varie linéairement, que la den- sité superficielle est uniforme, que la force électromotrice induite est uniforme ; on suppose aussi dès le début que les densités internes jouent un rôle néglijieable par rapport aux densités superficielles.
Soit donc un élément du fil de longueur 2)., de diamètre 2a le long duquel la densité électrique par unité de longueur de l'élément est e ; au centre de la section droite médiane de cet élément le potentiel dû à la densité superficielle uniforme e : ir.r, que donne une quadrature facile, est exactement
s
et approximativement, puisque X est supposé très grand par rapport
;i a,
I 2X le log — •
Au delà de la distance ) , la charge e'ds' que porte l'élément ds du fil conducteur peut être regardée comme placée sur l'axe géométrique
228 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
du fil ; appelant r la distance de l'élément ds' au milieu de l'élément 2À, le potentiel total en ce point est
,, , 2X / e'ds'
V = 2e log — -+■ I — - >
-en excluant do l'intégration l'élément 2X.
251 . — Pour la force électromotricé induite, Kirchhoff adopte la forme élémentaire de Weber
2 . ., ds' m' — r, cos 6 cos 6'.
H est la vitesse de la lumière (*).
La force électromotrice le long d'un filet infiniment étroit pris dans la section droite de l'élément 2X se présente sous forme d'une intégrale quadruple, étendue, 1° à toute la longueur 2X, 2° à tous les éléments de volume d'une section éloignée ; Kirchhoff montre que, à cause de l'éloignement des autres parties du fil, la partie de la force électromotrice qui dépend de la position du filet dans la section droite est négligeable. C'est ce qui résulte des exemples traités aux Chapitres précédents par une toute autre méthode. Admettant alors que le courant reste uniformément distribué dans chaque section droite pendant tout l'état variable, on obtient pour la force électro- motrice au centre de la section médiane de l'élément 2X, due à cet élément,
i(ip
"\3
1 t)i 1 / / 00^ dx. 2Tzpdp
car on a ici
cos 0 = cos 6' = - r
(') J'ai appelé û, conformément aux notations de tout l'ouvrage, ce que Weber et Kirchhoff appelaient c : v'â. De même, j'ai continué à appeler t le courant total ; tandis que Weber et Kirchhoff appellent a< ce courant total, composé par moitié du courant de fluide positif dans un sens, et négatif dan^ l'autre.
CHAt'ITRE VII. — PKOPAGATION AVEC r^lM-nf ET IXDLCTIOX 229
et
Lo résultat de la quadratare est rigourousement
il <(' ri'dnit à
2 dt , a).
a aX
en néglificant - devani runité, et en outre, ruuité devant log —
On obtient alors pour la force électromotrico au centre de l'élément aX, due à tout le circuit immobile
i dir 1 ft I . , aX / i'ds' ces 8 ces S' 1
en excluant do l'intégrale comme précédemment le même élément aX.
252. — La loi d'Olun nous donne alors en appelant k la conduc- tibilité sp<''cififiuo du fil :
L ds ii- dt J et la conservation de l'électricité donne
,. di de
Jusqu'ici les approximations ne soulèvent aucune objection ; il faut seulement les compléter par une remarque au sujet de l'équa- tion 2 . Si au lieu d'adopter la loi élémentaife d'induction de Wel)er, en C08 6 cos 0', on avait adopté la loi en cos t de Neumann, équiva-
230 PPOPAOATION OE l/ÉLECTftlClTÉ
lente pour un circuit fermé, mais non pour le cas actuel de courant variable, on aurait eu pour l'élément aX
û^ ùt ' L 0^
et approximativement, dans les mêmes conditions que plus haut
1 m , X
Il suffira donc, pour passer d'une loi élémentaire à l'autre, de rem- placer cos 6 cos 0' par cos e, dans l'intégrale extérieure à l'élé- ment 2X.
Remarquons enfin que déjà riiypothèse de l'isolropio des charges superficielles et de l'uniformité dé distribution du courant dans la section exige que toutes les parties du circuit soient à grande dis- tance l'une de l'autre, et exclut de la théorie actuelle tout circuit enroulé en spires serrées. Excluons donc les spires, de telle sorte qu'aucun couple de deux points séparés par un arc fini ne se trouve à petite distance, cela va permettre une nouvelle simplification des équations 1.2.
253. — Nous voici arrivés au point déUcat ; traduisons donc (*) : « Soit A la position de l'élément ds (2I) ; soient B, C, deux points pris sur le fil à distance finie de part et d'autre de A ; l'intégrale
/e'ds' r
étendue à tout le fil, à l'exception de BAC, est une grandeur
(») Ahh. - p. i4o-i4i.
CHAPITRB VU. — PROPAOATIOW AV«C CAPACITE ET INDUCTION 23i
finie, par conséquent infiniment petite par rapport à ne log — ^; on
a doit donc, dans l'équation ii .étendre cette intégrale au segment
BAC seulement, en excluant l'élément aX. »
Comme, dans ce segment, e tend vers e, Tintégrale a pour x'aleur
, AB . I AC
e log -Y -f- c log y-
en négligeant seulement des quantités finies, provenant de la petite différence e' — e, ot de la courbure du segment.
« Le choix des longueurs AB, AG est arbitraire ; il faut seulement qu'elles soient finies par rapport à la longueur totale du fil : on les prendra toutes deux égales à la moitié de la longueur totale l du fil ; l'équation (i) deviendra
V = 2e log h ae log ^
ou
l
V = ae log
a
< Des considérations du même genre donnent ù l'équation (a) une forme semblable
w = i log - . » (*)
254. — On comprend que ces quelques mots aient soulevé des objections. Au fond, le segment AC doit être rectiligne comme l'élé- ment 2À ; la charge et le courant i doivent y être uniformes sensi- blement comme dans l'élément 2). ; absolument rien ne permet de lui donner une longueur finie, comparable à la longueur totale du fil, si la charge et le courant y éprouvent d'un bout à l'autre des va- riations relatives finies. Quajid. donc, on voit étudier, quelques pages plus loin, la firopaL'nfion des discontinuités, sur une équation ainsi
(I) Les notations ne sont pas identiques à celles de Kirchhotf. Voir ci- dessQ«.
232 PROPAGATION DE l'kLKCTBICITK
formée, il est impossible d'admettre que les résultats énoncés soient une conséquence, môme grossièrement approchée, des principes adoptés au début du mémoire.
255- — Passons outre, pour ne pas interrompre l'analyse du Mé- moire de Kirchhoff, en nous réservant de revenir sur cette discus- sion.
Les quatre équations sont ainsi réduites à la forme simple
V = aey
l fiiW 1 bio\ r \ôs îp àt 1
en posant
, l l
Y = log - r= j^ — 5
L'élimination de trois des quantités, e, i, w, par exemple, se fait sans difficulté et donne pour V l'équation aux dérivées partielles
ou
avec
2^1
|
1 9 |
-+■ |
r 2^1 |
dt ~ |
b'Y |
|
|
d'Y |
-+■ |
2h |
bY |
= Q' |
d'Y |
|
•ih |
m^ |
256- — Kirchhoff commence par remarquer que pour les fils mé- talliques des longueurs usuelles dans les laboratoires, le second
terme est négligeable. Prenant pour exemple l'étalon de résistance
2h étudié par Jacobi et par Weber, il trouve pour le coefficient -^ un
nombre de l'ordre de lo— ' : Ql quand on mesure le temps en se- condes.
Si donc ou néglige tout à fait ce terme, le potentiel V se propage sensiblement avec la vitesse de la lumière le 12 long du fil, sans
CIIAilTRB Vil. — rROPAOATiO.M AVEC CAI'ACITK ÏT IXDICTIOM 233
amortissement. En particulier, une discontinuité, comme celle qu'on produit en introduisant ou supprimant brusquement une pile, cir- cule indéfiniment le long du fil avec la vitesse û (en admettant (|u'il y ait un moyen de rendre insensible la durée d'introduction ou de suppression de la pilo, par comparaison avec la durée de parcours total du circuit avec la vitesse de la lumière).
257. — Cette première approximation, qui nous montre qu'un cinuit de quelques kilomètres peut être parcouru un grand nombre de fois par l'onde électrique sans affaiblissement sensible, ne suffit pas ; car plusieurs milliers de tours ne font encore que quelques centièmes de seconde. L'amortissement le plus minimci qui ne réagit pas sur la vitesse do propagation, suffit à tout éteindre en un temps à peine appréciabl»'. Poussons don<' l'approximation plus loin.
Une solution simple est
avec D'où
et approximativement
y — h± inO.
en négligeant ^^— , • La solution simple, mise sous forme réelle, est alors
V = Ae-**cosn(s±ÛO. dont l'amortissement est indépendant de ]a pulsation n C^.
258. — On peut donc ajouter des états pério<liques d'amplitude et
>^ rôle industriel de pins en plus important des courants alternatifs a couiiuil à des dénomination:» conventionnelles acceptées des électriciens. La période étant T, la fréquence est j, et la pulsation est J,*«
234 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
(le période quelconque, et prendre comme solution générale approxi- mative
V = e-^* [/; {s — Qt) -\- r, (s -h 12/ ]
f^ et /^ étant deux fonctions arbitraires.
Les deux ondes se propagent en sens inverse, avec la môme vitesse li, en conservant leur forme, mais avec un amortissement commun à toule Tonde.
Des équations i, a, 3, 4 simplifiées on tire facilement pour i l'expression
( "e-''*!/(.-QO-/;(s -hQO]
I + ^U-''' / [/■, (s - Qt) + /•, (^ + flO] ds
dont la seconde ligne est négligeable à cause du facteur /i.
259. Réflexion aux bouts du fil. — Dans un circuit non fermé, si l'extrémité du fil s = o est isolée, l'intensité y est nulle : on a donc
A (- Qt) = /; (+ 120
l'intensité s'y réfléchit en changeant de signe, et le potentiel sans changer de signe.
Si rextrémité est en communication avec le sol, ou pratiquement avec une capacité telle que ses variations de potentiel soient négli- geables, on a au contraire
/\{— nt) -+-/',{+ Qt) = o,
c'est le potentiel qui change de signe en se réfléchissant et l'intensité qui n'en change pas.
260. Examinons, à titre d'illustration, la propagation des discon- tiiuités.
CHAPITRE VII. — PROPAGATION AVEC CAPACITÉ «T INDUCTION 235
!• Circuit fermé, de longueur /. Etat initial, courant permanent :
V = — Es o < s < /
E
Un stiiiiuiiiiL- insUinlanéinent la pile. Discutant dircct»'ment, sans passer^conirne Kirclihoff, par l'intermédiaire de la série de Fourierde période / ; iiuiis avons d'api-ès l'état initial
o<s<l
d'où
et par conséquent
A ,s-Ql) = ^l-s + Qt-i-~^^ o<s-Çït<l A (< -^ ÛO = ^ (- s - Ht - ^^) o<s-^ilt<L
Aussitôt que la pile est supprimée, le potentiel et l'intensité devien- nent les mêmes aux deux bouts g, l du circuit, et Ion a, quelque soit t,
/•, (~ Û/) -I- /•, (+ Qt = /; (/ — Ùt) -\- fAl-^ Qi)
/, -Qi — r, (-+- Qf = A (' - ûO - A (^ -H Qt)
/", et /"j ont donc séparément la période /, et sont complètement dé- terminés, puisqu'ils le sont déjà dans une période.
261. — Dans l'état initial, chacune de ces fonctions a une discon-
E . E
tinuité - à l'origine. Cette discontinuité - se propage symétrique-
23G PaOl'AGATION DK l'élkctricité
ment à droite et à gauche de l'origine, en s'atténuant dans le rap- port e~''^ Au demi-parcours, à l'époque -^, les deux discontinuités
se rencontrent et s'ajoutent un instant ; la discontinuité totale est à
_hl . ce moment Ee ^ii
Après un tour entier, elles se rencontrent de nouveau à l'origine,
mais leur somme a encore diminué, elle n'est plus queEe " ; etc.
A un moment quelconque les discontinuités séparent le circuit en deux parties dans chacune desquelles le courant est constant, et le potentiel est linéaire en s ; mais l'une des parties est en avance d'une demie période sur l'autre.
Pondant la première période, par exemple, dans tout l'espace s, non atteint par la discontinuité,
Qt<s<:l — Qt,
F
l'inlensité est encore i^ , et le potentiel — Es. Dans l'espace symé- trique
o < s < li< ;
qui n'a encore été atteint que par une des ondes, on a
^ = '[(-'-R-à)-(-'-"'-R^)-'"]
262- — Sans entrer dans plus de détails à ce sujet, on suit bien la marche du phénomène en se représentant la progression inverse et l'af- faissement simultanédes deuxdroites horizontales, avec le sautbrusque en marche d'escalier, pour le potentiel, et la progression dos droites de môme pente avec le ressaut en talus de lempart pour l'intensité.
Il n'est pas plus difficile de suivre les modifications progressives le long d'un fil télégraphique aux extrémités duquel se produisent des réflexions d'intensité sans cliangoment de signe.
Sans insister davantage, on voit, dans les cas où nous pourrons justifier les simplifications aventureuses de Kirchhoff, comment
CHAriTRB Vil. — PROPAUATIOX AVEC CAPACITÉ BT INDOCTIOX 237
rinllueiue d'une faible capacité du fil modifie le phénonièue de l'in- duction, qui cosse d'être rigoureusement simultané sur toute la lon- gueur du fil, mais dont les discontinuités courent avec la 'vi- tesse de la lumièi-e sur toute sa lonj^ueur, et s'entrecroisent s'il est fermé, en s'atténuant à chaque tour ilans une i)n>i)or(ion cxlrème- ment petite.
Tel est le contenu, librement analysé, de ce mémoire, digne à coup sûr ti'autant d'admiration ({ue de critiques.
CIÏAPITKE VllI
PROPAGATION AVEC INDUCTION ET CAPACITÉ DISCUSSION
263. — Certaines parties du mémoire de Kirclihol'f étant sujettes à caution, attachons-nous y spécialement.
Pour arriver à la forme simple d'équation aux dérivées partielles, (I), (n" 255) il faut que l'action tant inductive qu'électrostatique des parties lointaines d'un circuit sur chaque segment de quelque étendue soit négligeahle. C'est ce qui arrive dans un cas déjà très étendu, celui d'un long circuit dont le fil d'aller et le fil de retour marchent parallèlement ; cas très important pour la pratique, car il correspond aux conditions d'établissement des lignes télégraphiques.
L'àme et l'armature dans un câble, le fil et le sol, ou mieux le fil et son symétrique par rapport au sol, dans une hgne télégraphique ordinaire, constituent ainsi un fil d'aller et un fil de retour parallèles, dont l'écart d est petit, et dont les segments en regard sont par- courus par des courants égaux et contraires, et ont des charges élec- triques égales et contraires.
264. — Alors, quel que soit l'état variable des deux fils, la force électrostatique en un point, due à un segment des deux fils, varie, à grande distance r, comme d : r^, et la force électrique induite comme d : r^ \ sur rcnsemble des deux éléments de fil parallèles, ces forces d'origine lointaine agissent dans le même sens absolu, et par conséquent en sens opposé par rapport aux courants d'aller et de retour; leur action est donc de l'ordre de d^ : r' et de d- : r-.
CHAPITRE Vi.l. — PROPAGATION AVEC INOUCTION !CT CAPACITÉ 239
Par conséquent, en excluant les boucles, et les enrouleiiientii, même assez l:\ches, de manière que la longueur d'un arc quelconque soit de mùme ordre que la distance r de ses extrémités, l'intégration étendue à tout le circuit sauf un tronçon 2A donnera des résultats I)ctits de l'ordre de d- : À* et de (P : X au milieu de ce tronçon.
265. — On |)eut donc se borner à considérer les réactions mu- tuelles de ce tronçon, long par rapport à la dislance d des fils d'aller et de retour, et sensiblement rcctiligiic.
Si la densité et l'intensité varient beaucoup d'un bout à l'autre du tronçon, le problème relatif à ces fils parallèles reste encore difficile. Mais ajoutons la condition que la densité et l'intcnsilé sont sensible- ment des fonctions linéaires de l'arc sur toute la longueur 2/. d'un tronçon quckompie, beaucoup plus grande que la distance d : le problème devient très simple.
En effet, si la répartition est uuiforme, il y a une capacité par unité de longueur C, et un coefficient de self-induction L par unité de longueur ; il en est de même si la variation est linéaire, parce que, les cléments symétriques jouant le même rôle dans les inté- grales, leur somme est la même que pour la distribution uniforme égale à celle du point central.
266- — Cela étant, le courant est i dans le fil d'aller, et — i dans le fil de retour, en face. L'électrostatique donne
di^_ C dV ds Q' dt
C étant la capacité géométrique ; et l'induction donne
= Ri -h L -
d'où
d»y _ CR dV CL o»y
ds- ~ Q* dt "^ Q- dt* * Cette fois l'étiuation 11, de même forme générale que celle de
240 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
Kirclihoff , a des coefficients dont la signification et la grandeur n'ont rien d'indéterminé.
C'est sous cette forme, mais sans s'être embarrassé un instant d'établir l'existence de la capacité et de la self-induction par unité de longueur, que M. lleaviside a écrit à nouveau cette équation de pro- pagation en 1876 (';, et a refait une discussion analogue à celle de Kirchhoff, qu'il cite d'ailleurs. Il s'en est occupé de nouveau, dans un long et important mémoire, paru en 1881 dans le journal (anglais) de la Société des Ingénieurs télégraphistes (-) : et a développé les formules d'intégration par la série de Fourrier, comme pour le câble sans-induction_, non seulement pour le fil indéfini, mais pour le fil limité, suit isolé, soit relié au sol, directement ou par l'intermédiaire d'appareils présentant eux-mêmes de la résistance, de la capacité, de l'induction ; ce ({ui dans chaque cas modifie la loi des coefficients de la série ('*).
267. — Cette équation a été étudiée au même point de vue parles ingénieurs télégraphistes français (*).
Au point de vue théorique, et sans hypotlièse restrictive, au sujet de l'ordre de grandeur des coefficients, l'équation mise sous la forme
en posant
— ? -h 2 7 = O
by^ by bx^
K
H /C 2iî Y L'
a été intégrée au moyen des fonctions de Bessel par M. H. Poin-
■^i> *' = r.ï\/T-«
(•) On tlie Extrat-current. — Ph. Mag. i87() et Elcctr. Papers. (Macmillan) I. p. 53, à'parth-, du § 14.
{-) Eleclr. Papers. t. I. p. iiG. On induction between parallel Avires; à partir du n» i3 p. 129.
(3) M. IIe.vviside a traité la plupart des questions de principe, et à peu près toutes les applications possibles au moyen des séries de Fourier, des fonction, sphériques et des fondions de Bessel. dans une prodigieuse série de mémoires à la fois condensés el touffus, qui ont heureusement été réunis en volumes sous le litre « Electrical Papers «(Macmillan) 1893.
(♦) Annales de télégraphie Barbarat, i888, — et pour l'ensembl» des travaux* Vaschy, Traité d'clccirioitè et de inagnctisme en deux volume?.
CHAPITRB VIII. — PROPAGATION AVK INDUCTION BT CAPACITK 241
caré (•), résultat que M. E. Picard a obtenu ensuite d'une ma- nière très directe.
Cette forme ixnluite. est souvent désignée sous le non d' « é^iuation des télégraphistes. »
268. — Contentons nous de réviser la discussion de Kiichhoff, en évaluant d'abord correctement l'ordre de grandeur des termes : dans la solution simple
V = A e"'^ + »>w avec
ou
2L — y w
X = ^±./4K-^';
Dans cette équation, la capacité par unité de longueur C, et la self- induction par unité de longueur L, sont des grandeurs géométriques, sans dimensions, dont le produit diffère peu de Tunité ; n est l'in- verse d'une longueur comparable à la longueur totale du câble, ou à une de ses parties aliquotes. -?^- est donc l'inverse du carré d'un temps comparable au temps de parcours du câble par la lumière ; c'est 36, 1 o' pour une longueur d'onde de i oo kilomètres, 36, i o" pour une longueur d'onde d'un kilomètre.
269- — Pour deux fils parallèles, L est supérieur à 4, mais n'atteint pas lo, ce qui supposerait la distance égale à lo* fois le dia- mètre des fils. R est pour deux fils de cuivre de rayon a, 2 — 5- en GGS, soit 10" pour des fds de o'='',2 de diamètre, 10' pour une transmission de puissance de 2 centimètres de diamètre.
TTi est donc de l'ordre de 10* à 10'.
C) Les oseUlationt électrique*. — Leçons rédigées par M. Maorain, Carré et Naud, i894«
16
PROPAGATION DIS L'ÉLECTRICITÉ
Donc, pour des longueurs d'onde inférieures à quelques kilomè- tres, r approximation de Kirchhoff est permise; fonde qui en ré-
{ -40
suite s amortit tout entière au marne taux \e '^^ / , en conservant sa forme; ce résultai est d'autant plus exact que l'onde est plus courte ; il s'applique rigoureuseyyient aux discontinuités compa- tibles avec les hijpolhèses initiales sur lesquelles l'équation est fondée, c'est-à-dire aux discontinuités des dérivées secondes el au- delà, du potentiel V.
La vitesse de propagation commune à toutes ces ondes et aux disco7ititiuités est ii : y CL.
270. — L'approximation est d'autant moins bonne ([ue les ondes sont plus longues et les fils plus fins ; pour une onde de loo kilo- mètres par exemple, et des fils de deux millliinètres de diamètre, peu éloignés, les deux termes sous le radical lo" — 36, lo^ sont tout à fait de même ordre.
A mesure que la longtieur d'onde augmente, et se rapproche de 100 à 1 000 kilomètres, surtout avec des fils résistants peu écartés^ la vitesse de propagation diminue de plus en plus, finit par s'an- 7iuler el Vèlat électrique cesse de se propager pour s' amortir sur place.
Pour une longueur d'onde infinie, on retrouve l'amortissement, sans aucune propagation, de la théorie de l'induction sans capacité.
Sans entreprendre une étude plus approfondie de l'équation des
télégraphistes, nous voyons clairement que, dans un très long fil,
toute perturbation peut être décomposée en trois parties :
La valeur moyenne, s'amortit sur place, satis se propager, au
_ lit
taux des courants sans capacité, e ^' ; les courtes irrégularités (moins d'un kilomètre) se propagent sans défonnation, avec la vitesse ii:v CL en s"" amortissant deux fois moins vite', les irrégula- rités intermédiaires s'amortissent de menu, mais se propageant moins vite, s'étalent en trainées de plus en plus longues qui finissent par ne plus se propager du tout et se confondre avez la valeur moyenne.
CHAPITRB VIII. — PROPAGATION AVBC INDUCTION KT CAPACITÉ 243
271. — • On peut facileinont montrer, avec llugouiot, que la dis- cuotinuitc des dérivées secondes, le front de l'onde, comme on l'appelle.
se pro|>age rigoureusement avec la vitesse "T= •
Comme - et *-, sont continus au front de l'onde on a encore en ce
I>oint
dV .>V
— = o -- = o.
àS àt
Prenons la dérivée par rapport à t en remaniiiant qu'au front de l'onde s est fonction de /. Ou aura
|
dSàt |
-h |
«M»" |
ds dt |
= |
0 |
|
-f- |
0 |
d'où en éliminant '^- —
dSdt
dl^ àS'^ \dt)'
Mais d'autre part puisque — est nul au front de l'onde, l'équation
dl générale se réduit en ce point à
CL '^ = IJ' iîX
dl- 03=*
Ces deux dernières équations nous donnent
/bsV __ il^
\dt) .~cl'
La propagation du front de l'onde se fait donc avec la vitesse —r- .
V^CL
Examinons maintenant dans quelle mesure la vitesse de propaga- tion û : vCL diffère de la vitesse de la lumière.
Les valeurs géométriques de C et de L ont un produit peu différent de l'unité.
244 PROPAGATION DE l'ÉLKCTHICITÉ
Pour deux fils parallèles de rayons Ui a.^h distance d, on sait que l'on a
2 log
et nous avons trouvé en supposant la densité de courant uniforme
d'
|
où |
u - |
CL = 1 + C. |
|
|
Pour |
une |
distance modérée des deux fils |
|
|
d |
= loa, = loa^, |
||
|
C |
1 9,2 |
||
|
1 V'GL |
= 0,95 environ. |
Dans la théorie actuelle la vitesse de propagation est inférieure
d'environ — à la vitesse de la lumière ; la différence serait moindre 20 '
pour (les fils plus écartés.
272. — Dans un câble, h fil creux, de rayon intérieur a et exté- rieur 0 dont l'armature a pour rayons interne a' et externe 6' : on a
C = T— n '
2l0g(|)
et nous avons trouvé
Le produit CL peut-être très différent de l'unité. Prenons par
exemple
a = 0 6 = 0,1
a' = 0,5 y = y
3,22 L = + 3,22 — 0,5 — 0,8 4- 2,46 = 4,38
CHAPITRK VIII. — PROPAGATION AVBC INDUCTION BT CAPACITÉ 245
(l OÙ
~_ = 0,86 V^CL
l'écart est de l-
Dans le cas limite où It^s doux conducteurs seraient des tubes infiniment minces,
- , a' i 1 . a' i
L = aIog-^+^-h^ = .log-j--+-^,
comme on le voit en développant les logarithmes.
MAine formule évidemment, si pour une raison quelconc[ue les courants se localisaient d'eux-mdmes sur les surfaces des conducteurs en regard.
Conservons les mêmes valfurs de h cl a' :
L = ;i,?.a -i- 0,5 = 3,75 -—-. = 0,93
'écart est ré<luit à -, ; mais il n'est pas annulé comme on le dit quelquefois.
273. — Pour que la vitesse de propagation dans les fils métalli- ques contigus et dans les câbles atteigne la vitesse de la lumière, il ne suffit donc pas que les courants se localisent exactf.ment à la sur- face des conducteurs.
C'est une question sur laquelle il faudra revenir plus tard.
Notons seulement que si le milieu isolant est autre que le vide, il faut multiplier la capacité par le pouvoir inducteur spécifique K ; la vitesse de propagation est alors multipliée par v^K. L'amortissement reste le même ; pour le cbanger, il faudniit que le milieu soit magné- tique, ce qui multiplierait L par la perméabilité magnétique ii.
274. — Revenons maintenant au fil simple de Kirchlioff. et voyons sll n'est pas possible d'obtenir quelque conclusion exacte.
246
PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
Les 4 équations sont, en supposant l'élément sensiblement recti- ligne 2X très long par rapport à son rayon a :
.,< - X (1) V=2e
(2) 10 =21 lOg
(3) i = kr.oi'' (■
log -^ j
e'ds' >
r
l — \
i'ds' (-r) cos 0 cos 0' -+- ( 1 — Tj) cos e)
Us ~ ÎP ôTJ'
dans (2) on a remplacé cos 6 cos 0' par t; cos 0 cos 0' + (1 — r,) cos z, en appelant n un nombre quelconque, sans contrevenir en rien aux principes fournis par les courants fermés.
Entre ces 4 équations, on peut facilement éliminer e, V, u-, et l'on obtient
== /tTra2
O't 1 ô^tX , 2A
ÔZ ô / 1
e)s <>s \r
c^s'
1 i A^z' (y) cos 0 cos 0' -t- (1 — r,) cos E , ,
La seule différentialion délicate est la suivante
J-)v
,; — ■).
i)S
e'ds' U--K—H
a'
D'après les conventions d'ordre do grandeur, on a
(t.) *■
2 — 5
et ce terme est négligeable par rapport à a log
2X i>2^j-
CaAPITRK VUI. — PHOPAOATIOS AVBC IXDUCTION rr CAPAaTK 247
275. — Nous pouvons écrire celle équation sous la forme
/ /dW 1 d-l'\ 7) C08 0 C08 0' -4- ( I — T)) ces e . ,
t
/fdt' COS 0 ft*!* Tl C08 ô COS 6' 4- ( 1 — T,^ COS El , , L^-H--^* r J^'
= 0
1 i>t
Nous rappelant les relations établies au Chapitre X p. 129).
COS 0 = — - , COS 0 =rr ; COS î = 7 1 *' — h
fir' ds às \ às I
nous pouvons transformer l'intégrale de la troisième ligne, au moyen d'intégrations par parties, et lui donner la forme
[-C-[''(r.^?-f)];
a—\
|
%J |
/ A |
•■'i-'l |
1 |
oS V |
rf»' |
|||
|
S' |
= |
1 r |
05 |
S7' + |
I |
__ |
r. d / |
M/ |
|
1" |
(6)
on posant
et rappelant par les limites > , / — À, que l'intégration s'étend à toute la ijartie du circuit extérieure à l'élément %k.
L'hypothèse déjà faite antérieurement iK)ur l'établissement même des équations (i),... (4), que le rayon de courbure du fil est partout
tn's grand par rapport à 2A, rend les termes do la première et île
i\ la seconde lignes n). néditroal»!»'* par rai)port au terme en log — de
l'équation.
248 PROPAGATION DK l'ÉLECTRICITÉ
Dans rintcgralc qui reslo, la parenthèse peut ôtre mise sous la forme.
ds \î7 '' ds ds^ ds' r ()S \ ai?/ *
276. — Cela posé, il est évident que l'intégrale sera négligeable pour des formes de circuit variées. Elle serait rigoureusement nulle, quelle que soit la distribution de Tintcnsité, pour tout circuit tel que la distance r de deux quelconques de ses points satisfasse à l'équation
, . ô2 /i flV \ ô2 /i f, / dr\\
(7) ^'Ts [r -^ "^ Sï^') - SZ^ [r ^s V' gJ jj = ^-
Sans chercher à intégrer cette équation, contentons-nous de l'examen d'un cas particulier.
I. — Si le fil est rigoureusement rectiligne on a
Val. absolue (s' — s) = r Du côté où s' est plus grand que s, on a donc
dr ôr dh-
(-)? ' dS ' dSds' '
et l'équation de condition (7) est satisfaite.
Donc, rigoureusement pour un fil rectiligne, et approximativement pour un fil sinueux, s'écartant peu, et par lentes ondulations, de la forme rectiligne, la troisième ligne de l'équation (5) peut-être effacée.
II. — • Si le fil forme un circuit circulaire de très grand rayon
on a
s' — s =■ 2RO, r = 2R sin 0,
et le premier membre de l'équation (7) devient
, , sin 6
(2 H- ri; -gj^.
Pour un circuit circulniro.la troisième ligne de l'équation (51 ne peut pas être effacée en général, c'est-à-dire, quelle que soit la loi
CnAPITRB Vni. PROPAGATION AVEC INDUCTIOM ET CAPACITE 24fl
do rintensité i', soit avec la loi élémentaire de Weber (tj = i) soit avec celle de Xeumann (^i = o) ; il faudrait que r, s^oit égal h — a, pour que cette disparition de l'intégrale soit possible.
Au point où nous en sommes parvenus de cette étude, nous ne savons rien encore de la valeur de cette constante ; nous verrons un peu plus loin, que la stabilité de l'équilibre électrostatique exige que Tj soit plus i>ctit que ' , ce qui n'est pas incompatible avec la valeur — a.
Quoiqu'il en soit, l'intégrale qui reste est alors
l — X
{ sin 0 rfO.
Il est im{)ortant d'examiner si dans l'ensemble de la circonférence une compensation serait possible :
Supposons l'intensité i' développée en série de Fourier, par rapport à l'angle au centre, 2O,
i,' = I, + V (a^ cos 2n^ ■+- 6„ sin 2716).
On reconnaît facilement que tous les termes subsistent ; en parti- culier le premier terme donne
4R*
^.2t
'cos(-^)
n n'y a donc aucune compensation, malgré la simplicité de forme de la circonférence, en dehors de celle que donnerait r^ = — 2.
Il n'est donc pas probable qu'il existe des circuits fermés imrmi les intégrales de lequation 7, sauf pour des valeurs numériques particulières de la constante des circuits ouverts T^.
277. Vitesse de propagation dans les fils rectilignes. — Revenons maintenant à réquation (5).
Si le fil est peu ondulé de part et d'autre d'une droite, la 3" ligne est négligeable.
250 PROPAGATION DE l'kLECTRICITÉ
Si la variation d'intensité dans le temps est très rapide, — ^ ^st très
grand par rapport h ~ ; par conséquent, si le fil est en môme temps très conducteur, la dernière ligne devient négligeable.
Dans ces conditions, l'équation (5) est elle-même satisfaite, quelle que soit la détermination particulière de X lorsqu'on a
ô^ _ j_ ô^i
Do7ic, en résumé, dans un fil sensiblement rectiligne [sans fil de retour contigu) les variations d'intensité très rapides dans le temps se propagent sensiblement avec la vitesse il de la lumière.
278. — Cela résulte des lois de l'induction et des forces électro- statiques, considérées comme s'exerçant instantanément à toute distance.
Dans un fil circulaire d'après ces mêmes lois les variations rapides d'intensité ne se propageraient avec la vitesse de la lumière
que si la constante ■/) des circuits ouverts, d'Uelmholtz
avait la valeur — 2 que rien ne rend actuellement probable.
(La valeur qui correspond à la formule d'Ampère est + 3.
L'étude expérimentale de la propagation des variations d'intensité très rapides en circuit fermé permettrait de fixer la valeur de celte constante.
Mais c'est un sujet sur lequel il est inutile de pouss.or i)lus loin la recherche du seul point de vue des actions inslai\tanéos à dis- tance. Les vues géniales de Maxwell, confirmées et dégagées de leur gangue par les mémorables expériences de lïertz, nous ont appris que ce n'est pas seulement le long des fils conducteurs que la propagation se fait avec la vitesse de la lumière, mais aussi dans l'espace qui les sépare. Avant de reprendre cette discussion, il faut apprendre comment cette propagation clans le vide modifie toutes nos équations.
LIVRE IV
CHAPITRE PREMIER LE CHAMP D'IXDUCTIOX AVANT MAX^^^!:LL
279. L'extension aux circuits ouverts des lois de l'induction en circuits fermés exige que nous établissions un lien entre les forces électriques dues aux charges électriques, et les forces électriques dues aux variations des courants.
Ces relations ne peuvent pas être tirées rigoureusement des seules lois expérimentales déjà étudiées ; mais l'indétermination est minime quand lo pouvoir diélectrique K de tout l'espace est le même, quelles que soient d'ailleurs les variations de la conductilité /< . C'est à ce cas que nous nous limiterons dans ce livre IV.
280. — Nous nous placerons d'abord au point de vue le moins hypothétique dans nos généralisations; nous examinerons si les con- séquences en sont conformes aux expériences nouvelles qui peuvent les contrôler ; et nous modifierons notre mode de généralisation d'après la nature des désaccords. Un tel examen détaillé a acquis depuis
252 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
quelques années une importance imprévue ; certaines généralisations conformes au sentiment universel des physiciens, et qui paraissaient avoir reçu la sanction de l'expérience semblent au moins douteuses h la suite des expériences variées de M. Crémieu. Il importe donc do savoir si réellement 'ces très difficiles expériences sont en contra- diction avec les phénomènes certains de propagation, comme la forme actuelle de la théorie l'indique, et si par conséquent elles ont été faussées par quelque cause d'erreur capable de dissimuler l'effet réel ; ou si elles ne sont en opposition qu'avec quelque hypotlièse non essentielle de la théorie, introduite comme évidente, mais réfor- mable. C'est à ce point de vue, mais pour une discussion ultérieure et non immédiate, qne nous allons procéder ici par prudentes étapes.
281. — L'étude des courants nous a révélé que la force électrique définie à partir du courant, par la loi d'Ohm, est, dans les conduc- teurs, la somme de trois termes : une force électrique d'hétéro- généité E tenant à la nature matérielle du corps, une force provenant des charges électriques, et obéissant aux lois de Goulomb-Gavendish, — '— > — *— > — ' , et une force provenant des variations d'inten-
dX htj i)Z ' ^
site des courants, et composée du terme de Neumam — - -*-» -^»
fi? ?, et peut-être d'un terme complémentaire sans influence en
circuit fermé.
La force Coulomb-Cavendish est définie, en milieu diélectriquement homogène, par l'équation de Poisson
(i) KAV = — 4^ÛV
et celle de Coulomb
La relation entre la charge et les densités de courant est définie par les équations (2) Div.^, =--^,
f \i V ■ 1" ^^»
CHAPITRB I. — LE CHAMP d'iNDUCTIO!* AVANT MAXWBLL 233
el la loi d'Uhm définit la force électrique totale Ë par les équations
(3) >, =A(E. -E,).
Enfin la force électrique de Neumann est définie au moyen des équations
(4) AF. ---4^y..
282. — La force complémentaire doit donner un lolai nul le long d'un circuit fermé quelconque, lorsque tous les courants actifs sont fermés.
Supposons, ce qui semble indiqué par la nature du phénomène sans être nécessaire, que cette forec complémentaire soit une fonction linéaire des intensités, des charges, ou de leure dérivées par rapi)ort à l'espace et au temps ; elle se composera donc de deux termes : le premier, dont l'intégrale pour un circuit fermé est nulle, quelle que soit la distribution des intensités ; le second dont la valeur est nulle en tout point quand tous les circuits actifs sont fermés.
283. — La première de ces deux forces complémentaires dérive nt'cessai rement d'une fonction de force finie et continne ainsi que ses dérivées premières par rapport aux coordonnées. La continuité des dérivées est nécessaire, parce que les circuits fermés expérimen- talement peuvent présenter des points anguleux quelconques sans que la force de Xeumam cesse d'être suffisante.
Soit
une fonction linéaire des densités de courant au point x'y'z'y et Tj, trois fonctions des coordonnées cc/t/z' et de celles xyx du i)oint où l'on observe la force électrique induite : celle-ci a pour composantes les intégrales, étendues à l'espace entier, des expres- sions élémentaires :
It [,è- '-''•'*■'' ■+- ''^"""^ + Am] dx'dy'dz' suivant Ox et les analogues suivant Oj/, Oz.
254 PROPAGATION DE l'kLECTRICITÉ
284. — L'élément de courant (j\d.x' d!/)dz' produit donc sur un élément de circuit dx une force électrique induite
^4 • dx' du'] . dz' ^
Si l'on admet qu'il y ait réciprocité instantanée pour cette force complémentaire comme on l'a admis, d'après les expériences du milieu du xix° siècle, pour la force de Neumann, la force induite
dans l'élément dz' par la variation ( '_ -.- dy dz \ dx dans l'élément
dx est aussi
( — i dri dz \ . dx -
dX
Or, d'après la forme générale, le coefficient n'est pas — -, mais
ds'
Il faut donc que ce coefficient soit de la forme — — -, ; la fonction ç ne dépendant plus de l'orientation des deux éléments, mais seu- lement de leur position.
Le second terme complémentaire signalé au n° 281 est alors com- pris dans le premier comme nous le verrons n° 286.
285. — Considérée comme définissant une action directe à distance, cette fonction cp ne ])eut donc plus dépendre que de la distance r des- deux points. Si on la considérait comme transmise, même instanta- nément à travers un milieu, la conclusion qu'elle ne dépend que de la distance ne s'imposerait ])as, lorsque le milieu est hétérogène : pour préciser la pensée par un exemple, le potentiel électrostatique en un point, dû à une charge déterminée en un autre point, dépend uni- quement de la position des deux points, lorsque le milieu est donné, mais il dépend de ce milieu, et change quand on interpose un con- ducteur ou un diélectrique non charges. Pour la^ forces induites peu rapides, on sait que c'est l'hétérogénéité magnétique qui influe. Nous ne nous en occupons pas dans ce livre IV.
CHAPITRE I. — LE CHAMP d'iNOUCTION AVANT UAXWKLL 255
286. — Nous admettrons, dans ce Chapitre, que, dans un milieu (liolectriquement homogène, la fonction <p ne dépend plus que de r. Posons donc
les composantes de la force induite en x, y, z sont
dx dt dy dt <>- i)t '
Celle force doit être homogène avec la force électrique de Neumann :
il faut donc que les dérivées secondes — -^ soient homogènes à ^ <>x dy °
l'inverse d'une longueur et par conséquent que o soit homogène à une longueur. Si conformément aux vues qui nous ont guidé jusqu'à présent, nous admettons qu'il s'agit d'une forme universelle, indé- pendante de toute propriété particulière d'une substance quelconque, autre que l'élher du vide, nous sommes conduits à la regarder comme fonction de purs nombres, de la vitesse de la lumière ('), et (le la distance r ; mais comme elle ne dépend pas de l'unité de temps, la vitesse de la lumière n'y peut pas figurer. Nous aboutissons ainsi sans ambiguïté à la forme proposée par llelmliolta
<p = Br
B étant un nombre pur, que l'observation des circuits ouverts doit permettre de déterminer.
F =
Cela nous ramène à la troisième forme (5) n° 1 86 de la loi de la
f}) Du i)oint de vue élastique, l'élher est entièrement caractérisé par sa densité (dimensions ML-') et ses vitesses de propagation (dimensions L-T--) dont aucune combinaison n'est indépendante à lu fois de l'unité de masse et de l'unité de temps.
256 PHOPAGATION DE l'kLECTRICITB
force électrique totale — '-^ j * ces e h ces 6 cos 0' ds ils'
en posant B = a — i ; car on a, d'après les équations du n" 183
ô-r cos 6 cos 6' — cos £
usas
Ce terme complémentaire F pris sous cette forme ne contient ([u'une intégrale de volume, sans intégrale de surface, car d'après la loi d'Ohm, les densités de courant, proportionnelles à là conductibilité k qui est finie, ne peuvent devenir infinies dans une surface.
287. — En intégrant par parties, nous pouvons avec Helmholtz mettre en évidence les variations de charge au lieu des densités de courant :
F = -B / r .Div./.c^x' — B / r [/„]" rfS' ou, d'après les équations (2) et (2/,
F = B / r -^ c/t' -+- B / r -^ d^'. dt f àt
La fonction F est donc la dévivée par rapport au temps du second potentiel des charges électriques ; elle satisfait à l'équation
(5) AAF=::— 2B. 4«-|.
dt
Sous cette forme, on voit que la fonction F elle-même est nulle quand les courants sont fermés partout, les charges étant alors constantes.
288. — Introduisons maintenant le potentiel V sous la forme par- ticulière de ce Chapitre n° 280 ; il vient
CHAPITRB I. — LB CHAUP o'iXODCTIOIf AVANT MAXWBLL 257
et, par application du tliéorème de Green,
en remarquant que
r TtHiualiou aux dérivées partielles est alors :
et
La force électrique complète est
^ ' *■ dx dl dx dt
289. — Récapitulons les équations du champ
|
(»; |
KAV = — 4-Û-e |
|
(^ |
|
|
(3 |
y. = A- (E, - ,) |
|
'4^ |
AF. = - 4V. |
|
(5) |
A- = -L^"^^ |
|
(«;> |
il dP dX dl
17
2r»8 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
et aux surfaces de discontinuité :
(3y [v]; = u
(4)'
(5)„
[a--
Si les deux milieux en contact sont homogènes, les E sont nulles, et U est une constante caractéristique de ces deux milieux.
290. — Propagation des potentiels V, Fj, F^, Fg, dans un milieu homogène. — L'élimination de e et dej entre les équations 1, 2, 3, donne
K ^, AV = -+- ^T^Q'^k Div. E. et au moyen de l'équation G
K I, AV = - i..a'U ( AV - ,i^ AF ^ }^ Div. F) .
D'autre part (i), (a) et (4) donnent
A Div. Fi == — ^\ -^ AV
CHAPITilB I. — LB CHAMP O INDUCTION AVANT MAXWBLL 259
un
(7) Div.P,=-^/^.
(luiâquc l'équation est valable dans tout l'espace sans discontinuité. Au moyen de celte équation et de Téquation (5 „. éliminant F, et F. on obtient Téquation de propagation du potentiel électrostatique
(I) k;;^av ..i--/.^AAV ,-,.B + .)^,|;iv)
({ui convient aussi à la fonction F.
Los équations (3), (4) et (6) donnent en formant la>o/a/Jo;jdesF,
II, A (*- •^•] = + 41=* ',("-?-■ -^'V
\dij às J ^ àt \dy dz j
291- — Le potentiel vecteur F,, F^, F, peut donc être divisé en deux parties; l'une F', F ^ F'.,, dont la divergence est nulle, n'inter- vient pas dans l'équation (- ni par conséquent dans l'équation (I), et se propage d'une manière indépendante du potentiel électrosta- tique : sa loi de propagation est alors donnée par les équations II, qui se ramènent à
( Div. F' = o
La seconde partie F',, F'^, F'^, pour permettre de passer de la forme II à II', doit dériver d'une fonction *
p» _ ^ K' — ^— F' — '^* '^ ' ~ d /; ' * "" dy ' ^~ as
et cette fonction d'après l'équation (7) satisfait à
A A* — — Ji - AV
ce qw l'adjoint à la fonction F, comme le montre d'ailleurs la forme de l'équation I.
260 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
Ainsi lu propagation sépare le potentiel induit en deux parties dont une accompagne le potentiel électrostatique.
292. Isolant indéfini, h = o. — Les équations se réduisent à
~ AAV -= 0
^F, = o
m l'un ni l'autre des deux potentiels ne se propage ; l'un et l'autre se modifient simultanément dans toute l'étendue de l'isolant.
293. Conducteur parfait, indéfini, k = <x> . — Les équations se réduisent à
- AAV -h (2B +1) ^ ^, AV = 0.
ôF', ôF'a <>F'3
i)t ' M dt
Le potentiel induit est invariable.
Le potentiel électrostatique se propage avec la vitesse constante
v/K(i -h2B)"
Comme on sait que l'équilibre atteint par les conducteurs est stable, il faut que cette vitesse de propagation soit réelle ; la cons- tante H ne peut donc pas être inférieure à — ; elle peut être nulle, comme dans la forme de F. Neumann.
Le cas limite B = offre un intérêt particulier ; dans le con- ducteur parfait le potentiel électrostatique se propage alors instan- tmémcut — comme la pression dans un liquide — et aucune i^artie du potentiel induit ne l'accompagne ; celui-ci, au contraire, reste entièrement iuAariable.
294. Conducteur quelconque indéfini. — Lorsque /.- n'est ni nul ni infini, la partie rotative du potentiel induit se diffuse comme la chaleur.
CHAPITRE I. — LB CHAMP d'iNDUCTION ATANT MAXWELL 261
Le {K)teDtiel électroistatique et lo reste dn potentiel induit se propagent avec dispersion et absorption simultanées ; chaque onde i)ério(Hque a son amortissement, et sa vitesse de propaga- tion toujours inférieure à ~;-= — 7.—r- . La stabilité, môme iwur
v/(aB H- 1) K des perturbations de p<>riode infiniment longue, exige encore que B
soit sui)érieur à — . Postint en effet et substituant dans I, il vient équation qui donne
cï(8rZQ)* —
0 =
H-/:(aB -i- i)
Pour un trouble périodique dans l'espace, qui ne devient infini ni
du côté des .v positifs, ni du côté dos x négatifs, c'est-à-dire pour
a»
lequel % est réel, la somme des racines 7-, . „ r , est négative, et
^ 4"A" (2B H- 1) °
leur produit ^-t-b \ est positif, en même temps que aB ■+- 1 est
positif.
Si donc les deux racines sont réelles, il faut, pour que le mou- vement ne croisse pas indéfiniment dans le temps, c'est-à-dire, pour que l'état soit stable, que 2B -h 1 soit positif. Si la valeur de a* est telle que 9 soit complexe, la même condition est encore né- cessaire et suffisante pour la stabilité.
Pour 0 imaginaire très petit, c'est-à-dire pour les très longues périodes -g , l'équation se réduit à
o=i+(2B+n|(i)'
û et donne la même vitesse de propagation 7 •=- que si le mi-
VK (aB ■+■ i)
lieu était conducteur parfait.
262 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
Dans le cas limite B = — - le polentiol induit est complètement séparé du potentiel électrostatique et se propage indépendamment. Le potentiel électrostatique se diffuse suivant une loi très simple, qu'on obtient en remontant aux équations primitives : les charges éleclriqucs s'évanouissent sur place suivant la loi
e,. e
comme en l'absence de tout phénomène d'induction.
295. Milieux limités. Surfaces. — Aux surfaces de séparation, les conditions de continuité pour le potentiel électrostatique sont distinctes de celles du potentiel induit. L'association intérieure d'une partie du potentiel induit avec le potentiel électrostatique se rompt donc aux surfaces limites des conducteurs et des isolants, et comme conséquence les phénomènes de propagation avec une vitesse finie quoique très grande, sont transmis à tout le potentiel induit par les
conditions à la surface, sauf dans le cas particulier B = qui rend
l'indépendance complète.
Cette vitesse de propagation, conséquence des conditions à la surface, dépend nécessairement de la valeur de B, et soit dans le pi'oblème des câbles, soit dans celui des fils en large boucle de Kirchhoff, il faut tenir compte de cette force électrique complémen- taire d'IIelmholtz.
CHAPITRE II
LE CHAMP DE FORCE ÉLECTRIQUE M.VXVVELL. — HERTZ
296- — Les potentiels ne sont qu'un intermédiaire ponr la déter- mination de la force électrique et il y a intérêt à écrire les équations sous une forme qui en soit indépendante. Les équations (4), (5)a, (6) permettent d'éliminer F,, F,, F3 et F ; on a alors
(,) KAV=-4-û-e
(3) Div., = -^-^
(3) j, = k (El - E.)
avec les équations superficielles
(3/ [v];=u
La comparaison des équations {7)' avec Féquation (1)' et avec
— 1=0.
264 PROPAGATION DB l'ÉLECTBICITÉ
réquation (3)', montre qu'on peut écrire, dans le cas spécial auquel nous nous sommes limités — K uniforme — ,
(l/fc K [En]"
4rii-e,
en désignant par a un arc tangent à la surface de contact.
297. — Les équations superficielles électrostatiques conviennent donc aussi bien (K uniforme) à la force électrique totale qu'à la force électrostatique seule. Mais il n'en est pas de même en général pour l'équation interne; les équations (i), (5)^, (6) et (7) donnent
(1) KBiv.E = -i-4^œe-h~(i -^iB)~'
La relation entre le flux de force électrique totale et la densité de l'électricité est moins simple que pour le flux électroslatique seul. Pour éliminer complètement V, il faut prendre le A de l'équation précédente, et écrire
(1), KA. Div. È = 4- h-le _ K 'i 4- 2B) ^^\
ou sous forme intégrale
K Div. E .= 47^Q'« 4- K (1 + 2B) '"^^ ' ^^"
298- — Do la forme compliquée de cette équation ne résulte au- cune absurdité, ni aucune contradiction logique. Mais le goût de la simplicité qui a souvent guidé utilement dans les cas oii l'expé- rience manquait encore, serait plus satisfait, si, à l'état variable, on n'était pas conduit à distinguer dans les diélectriques la force élec- trostatique de la force électrique totale, puisque dans les conduc- teurs cette distinction est inutile. C'est ce qui arrive dans le cas
CHAPITRE II. — LE CUAUP DB FORCB ÉLECTRIQUB 265
limito où B est égal à — -, et ce qui donne une importance par- ticulière à ce cas. On peut supposer que dans ce cas, la force pon- déromotrice sur un corps chargé d'électricité sera encore égale au produit de la char«e par la force électrique totale E, et non pas par
dV
lu forc« électrostatique seule , la((uelle peut avoir une tout
autre direction. C'est ce que presque tous les physiciens adinet- ktientsans hésitation jusqu'aux récentes expériences de M. Cremicu, qui a vainement tenté de mettre en évidence la [lartie induite de celte force pondéromotrice.
Sans entreprendre ici la discussion théorique de ces importantes expériences, concluons on seulement qu'il n'est plus permis d'invoquer comme une sorte de principe intuitif cette « unité de la force élec- trique ».
299. — L'équation (i)<; donne la divergence de la force électrique en fonction des densités de charge. Des équations (4)6 on tire faci- lement la rotation de la force électrique
(4.1
On peut donc éliminer le potentiel électrostatique, et les densités de courant en adoptant le groupe d'équations
(i), KA Div. E = 4- (ii-Ae - K (i + 2B) ~~\
(.) Div.A(E.-B,) = -^
avec
(1)'- K [E,]; = 4,u>e,
(.)'. [k (E. - E.)]: = - ^•
266 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
300. — Par la manière dont elles ont été obtenues, ces équa- tions sont certainement conformes à la réalité, lorsque les variations ne sont pas très rapides, et les systèmes réagissants pa§ très étendus dans l'espace. C'est en effet dans ces conditions qu'ont été exécutées les expériences fondamentales que nous avons invoquées, et de très nombreuses expériences de contrôle. Mais le résultat théorique ob- tenu pour les câbles, et sous certaines réserves pour les fils nus, ainsi que dans les conducteurs étendus, montre qu'une vitesse de propagation de l'ordre de la vitesse de la lumière joue certainement un rôle important dans les actions électriques. Des expériences nou- velles sont donc nécessaires pour décider si l'hypothèse mathéma- tique, do l'action instantanée à toute distance, employée dans l'interprétation des expériences tant d'induction que d'influence élec- trostatique, est rigoureuse ou seulement approchée.
Ces expériences ont été exécutées par Hertz en 1888, et elles ont fourni le résultat escompté par Maxwell vingt trois ans auparavant, avec une géniale audace. Ayant exclu systématiquement de ce livre toute conception sur la constitution des diélectriques, nous ne pou- vons rappeler l'origine des vues, d'ailleurs très connues, de Maxwell ; mais nous pouvons indiquer comment la doctrine de l'unité de la force électrique conduit à altérer les équations dans un sens qui change complètement les conséquences relatives aux phé- nomènes très rapides, sans changer sensiblement les phénomènes lents.
Si on prend B ^ , on a
AV = — Div. E. Dans l'équation (4)6, cela donne rigoureusement :
(4). AE, = - Div. E, - ^ ^ ~ -^ 4- ^.
301. Unité de la force électrique. Modification de l'équa- tion (4). — Du point de vue de l'unité de la force électrique, envi- sagé algébriquement, il y a lieu de s'étonner qu'il reste dans cette
CHAPITRE II. — LB CHAMP DK PORCK éLBCTRIQDK 267
équation un ternie dépendant de la force électrostatique seule, an lieu de dépendre de la force électrique totale ; l'équation véritable ne serait-elle pas
Nous oblt'iKni- .\\\\s\. lo uoiivcaii sysli-tiie analytiquom(Mit cohércMil ( 1 ) K Div. E = ^T,iï*e
i)e Div. k (E. _ Et) = - g
(4) AE. = ^ (Div. E) 4- % '^^ 4- 4- l^ k (E. - E.)
avec les équations superficielles i)', {i)'t (3)'e.
Ces équations, relatives uniquement aux milieux diélectriquement et magnétiquement homogènes sont équivalences à celles par lesquelles Ilorf/ a traduit dans ce cas la doctrine de Maxwell. Le point de vue qui nous y a conduits ne serait applicable à des diélectriques variés que moyennant commentaire.
302. — Si dans la force éloclrique E, nous voulons toujours dis- tiuguer une partie électrostatique et une partie induite, nous pouvons écrire l'équation (4)e sou s la forme
La force induite, dans cette théorie, peut être assimilée à une
K dE force induite de Xeumann, due à une densité de courantj'", 4- -, --•;
/i est le courant de conduction, obéissant à la loi d'Ohm ; Maxwell a donné au second terme le nom, généralement adopté depuis, de courant de déplacement, qui rappelle peut J^tre trop l'hypothèse de Mossotti sur la constitution des diélectriques; nous l'appellerons plutôt courant diélectrique. Donnant alors à l'ensemble le nom de courant total, nous pouvons
268 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
déduire des équations (i) (2) que ce courant total est toujours fermé : car elles donnent
Div.;. -4-^,Div.~i^o.
Au point de vue des forces induites, la forme (4)e de l'équation qui les régit, équivaut donc à l'iiypothèsc suivante : le courant dié- lectrique -r--2 '— -' , produit les mômes actions inductrices (et pondé- romotrices) qu'un courant de conduction ;, de même valeur électros- tatique.
Le courant diélectrique subsiste seul dans les isolants ; dans les conducteurs, il s'ajoute au courant de conduction pendant l'état variable mais il est généralement négligeable à moins que les varia- tions dans le temps ne soient extrêmement rapides.
Remarquons encore qu'on peut regarder ce courant, dans les conducteurs, comme correspondant au premier terme en — > ^» •••>
Ht dt
dont nous avons indiqué précédemment l'existence comme possible (n" 186), mais non révélée par les expériences entre deux états per- manents.
303. — Des équations ainsi modifiées, Maxwell avait tiré toute la théorie électromagnétique de la lumière, qui exerça sur l'esprit des physiciens une sorte de séduction mystérieuse, sans réussir à forcer l'adhésion, jusqu'au jour où Hertz réussit à montrer que les consé- quences de l'équation (4)e, contraires à l'équation (4);,, sontconformes à l'expérience.
C'est le mémoire de décembre 1888 (^), qui, à ce point de vue, est décisif. Un excitateur électrique ém,el des forces transverses qui se propagent dans le vide avec une vitesse finie comparable {et même égale) à celle de la lumière i>. —
Tel est le résultat très net de ce mémoire célèbre et universellement connu.
(i) SiU. Berl-Ak-Wiss. 1888 — et Wied. Ann. XXXVI, p. 769.
CHAPtTRB II. — LB CHAMP DB PORCB ELKCTRIQUB 269
En conséquence, l'équation des forces électriques transverses doit être dans le vide
\ dy dS ) i2* ùt* \ di/ àZ )
et non pas
Sans entrer plus avant dans la discussion de ces équations, et sans examiner, pour cette fois, si ce sont les seules qui coordonnent tous les faits certains, nous les adopterons désormais et nous en examinerons quelques conséquences particulières.
304. — Pour la commodité du langage, nous introduisons main- tenant la notion de force magnétique bien que dans tout l'exposé qui précède elle n'ait joué aucun rôle. Nous appellerons force magné- tique une quantité dont la dérivée par rapport au temps est égale à la rotation de la force électrique : c'est-à-dire à la force électrique par unité de surface dans un petit circuit perpendiculaire à cette va- riation de la force magnétique. Cette définition donne l'équation type
aM, ôE 3 ôEj
(ju'on obtient facilement par un petit circuit dy dz. Nous appelerons souvent ce groupe d'équations, équations de Faraday, parce qu'elles définissent la force éleclromotrice induite par la variation du flux de force magnétique conformément aux vues de Faraday, élucidées par Maxwell.
Avec cette définition, l'équation (4)* intégrée par rapport au temps devient
C'est l'équation qui correspond à la définition de la force magné- tique comme force iiondéromotrice ; pour les courants constants, le premier terme disparait, et l'équation simplifiée par cette circons-
270 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
tance est alors exactement ïéqualion d'Ampère. Nous continue- rons à donner le nom d'Ampère ù la forme modifiée par Hertz confor- mément aux vues de Maxwell.
La forme d'équation (4)(„ antérieure à M axwell ne permettait pas l'intégration par rapport au temps, et laiss ait subsister la forme bien plus complexe
également réductible à la pure forme d'Ampère pour les courants constants, et tirée plus directement que celle de Hertz-Maxwell des simples faits d'induction lente.
305. — Les énoncés généraux dont les équations précédentes sont la traduction pour des circuits particuliers fournissent de la ma- nière la plus simple les équations du champ électromagnétique dans un système quelconque de coordonnées.
Équations de Faraday. (Milieu non magnétique). — La dérivée du flux de force magnétique par rapport au temps à travers un élé- ment de surface est égale au travail de la force électrique, sur l'unité de charge, le long du contour parcouru dans le sens des aiguilles d'une montre.
Équations d'Ampère — Le flux de courant do conduction et de courant diélectrique, multiplié par ^tz, ^Tik (E — E) -h -— , - à tra- vers un élément de surface est égal au travail de la force magné- tique, sur l'unité de masse magnétique, le long du contour par- couru en sens inverse des aiguilles d'une montre.
La continuité des dérivées de la force électrique a pour consé- (luence la continuité complète de la force magnétique.
306. Propagation. — Les équations de Maxwell-Hertz pour un milieu homogène (n" 301)
AT^Q^k Div. El = - K ^, Div. Ei
'^^> = i2-^ ay-^4rA-^ + -(Div.E0
CHAriTRC II. — LB CHAMP DE rORCB KLBCTRIQUK 27 1
(if
donnent pour des variations proportionnelles à e , [4itQ»A' -4- Ke] Div. E, = o AE. = [^, 0-' -i- 4t:/.-o] E. -h !.. (Div. E.). Deux cas peuvent se présenter :
!K6 + 4irû»A' = o AE, = £^ (Div. E,).
La distribution des chairs internes et superficielles du conduc- teur disparait sur place suivant la loi exponentielle propre au con- ducteur (n^ 68) d'où l'on tire
pui.s
bt et
e = i e . es = t, e ,
• dX àX
ce qui donne la distribution des densités de courant intérieures, lors- qu'on y joint la condition
Div. j\ = — 8e e^*
et la distribution des densités de courant superficielles
Jn = Oe, e .
bans l'espace isolant qui entoure le conducteur, les forces élec- triques qui résultent de la charge variable du conducteur, satisfont aux équations
Div. E, = o
AE. =3 ^, 9^E.
^0 4itÛ*
/e 4rû*\
et, puisque 0 est déterminé, ces forces sont des intégrales de celles que donnent tous les éléments de courants complets, à loi de varia-
272 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
tien comme en i, dont nous avons donnô lu loi élémentaire ; la force électrique est tangente à la surface du conducteur.
307. — ■>-" Si 0 a une valeur différente de celle qui caractérise le conducteur, les équations donnent
Div. El = 0
AEi = [^, e^ -^ 4^A-9]Ei
dans le conducteur ; dans l'isolant, les mêmes équations oii Ton a fait k nul ; à la surface de séparation, les composantes tangenlielles de E continues, et pour les composantes normales
(E„) isolant == f 1 H ^ë~") (En)
condiicteiii'
Ces trois équations de continuité à travers la surface font de l'ensemble du conducteur et de l'isolant un système complexe, et ne peuvent être satisfaites à la fois en l'absence de sources extérieures que par un choix convenable de la valeur de 0 ; le système a des périodes de vibration déterminées, et distinctes.
vr
308. — Dans les conducteurs métalliques, le temps y — ^. est prodigieusement petit, de l'ordre de io~*' à io~i^ secondes (n°6S) ; pendant ce temps la lumière parcourt 3,io -'' à 3,io~'-' centimètres (3fJi[Ji à o,o3,u[Jt). Or, les longueurs d'onde des vibrations les plus lentes sont de l'ordre des dimensions du corps vibrant ; les temps caractéristiques, ^ , correspondent donc pour des corps de dimensions tangibles à des longueurs de quelques dixièmes de millimètres au moins. En un mot, le facteur — J-k- est au moins égal à lo*, pour les plus petits conducteurs et beaucoup plus grand encore pour les conducteurs ordinaires de nos laboratoires. Donc E„ dans l'isolant est incomparablement plus grand que dans le conducteur.
Cela posé, si, dans le conducteur, les trois composantes de la force électrique sont de môme ordre au voisinage de la surface, la compo-
eHAPITRC II. — LB CHAMP DB rORCB ÉLF.CTRIQCB 273
sanlc normale dans l'isolant est liicomparableinent plus grande que les composantes tangcntielles, et l'on peut dire qu«î dans l'isolniit la force éloctriciue est alors normale ù la surface. C'est ropi>osé du cas précéilenl.
309. Force électrique à ta surface. — Lorsqu'un conducteur t'st en équilibre rleclrostatiquc, les forces électriques <lans Tisolant aboutissent normalement ù la surface du conducteur; dans le con- ducteur la force électri([ue est partout nulle. A la surface, les compo- santes tangcnliclles sont donc nulles tant dans l'isolant que dans le conducteur. En partant d'un tel état d'équilibre initial, on peut admettre que les composantes tangentielles resteront nulles pen- dant tout Cétat variable provoqué par la rupture d'équilibre, sauf peut-<^tre en dos points particuliers. Laissant provisoirement de c<3té cette réserve, quitte à la discuter plus tard, nous ad- mettrons cette condition dans les Chapitres suivants, conformément aux indications de Maxwell, généralement acceptées.
310- — Lorsqu'un conducteur est parcouru par un courant constant, la force électrique dans le conducteur est tangente à la surface ; dans l'isolant la composante tangente est la même que dans le conducteur ; la composante normale dépend de la charge super- ficielle. On a donc dans l'isolant
e;- k j-j-.
le long d'un câble télégraphique par exemple, la densité superficielle
e, est incomijarabloment plus grande que celle qui est transportée par
]^ la densité de courant ; pendant le temps si court -: == y—,-j^, ; et il en
est encore de même à la surface dun fil. Lors donc que Vétat initial est un état de courant permanent, il arrive encwe généralement que, dans Fisolant, la force électrique normale est considéi-able par rapport à la force électrique tangente.
18
CHAPITRE III
CHAMP D'UN ÉLÉMENT DE COURANT
311. — Nous nous occuperons dans ce Chapitre <lu champ de force électrique produit par un élément de courant, d'après la théorie de Maxwcll-llertz, et nous le comparerons à celui que donnent les théories anciennes.
Supposons l'élément de courant, dirigé suivant l'axe des ^, placé à l'origine des coordonnées, dans un milieu isolant indélini de pou- voir diélectrique K. Les équations (n" 300)
(i)e li])iv.E = AT.œe
(2). Div./,-(E, -E,) = -
(4). Aiî,=4mv.E,+|,i^.^ + 4.i'^/,(E,-E;
donnent alors
et, par conséquent, pour le champ dû à l'élément de courant seul, superposé au champ électrostatique ordinaire des charges invariables distribuées dans l'isolant, (i) Div. E = o.
/ .,, K d-E,
AE = ^ 'V^E, sauf à l'origine des coordonnées, oii existe un élément de courant
CnAPITRB m. — CHAMP D UN KLEMBNT DR COURANT 2/.»
d'intensité I et de longueur -il suivant l'axe des s. A cet élément de courant, isolé dans res|)ace, est associé un doublot électrique de moment variable i>, résultant du transport d'électricité par le courant
(5) g = an.
312. — La force électrique due à un tel élément est, par raison de symétrie, dans un plan méridien, et indé[)endante de Tazimuth. Prenons pour variables indépendantes : et la distance à l'origine r ; soit l' la composante équatoriale de la force électriijue, on a
d'où Ton tire
i>E, xy d^ E i>Ej .
^.y ~ T dr ^^i__^i ~~ iiâ; '
On peut donc écrire, eu x, y, z,
' àxdz * àydz
en représentant par —7 une fonction convenable de r et de -.
Les expressions de E,, Ej, portées dans ré(|uation (1) donnent alors
_ô /d^ d^\ âEg _
bz \dx^ "^ dyy '*' dz ~" et permettent de poser
sans ajouter de fonction arbitraire de a;, y, / indépendante de -, parce que le champ dû à l'élément de courant central, ne comporto évi- demment pas de force axiale indéi)endante de 2. En appelant U la fonction de r et de j qui satisfait à l'équation
(9) ^—è'-S-^'
276 PROPAGATION DE l'ÉLBCTRICITÉ
les équations (4) donnent alors
, , ô^u ô^U ô^u ô2u
10) = 0 =0 --9 -I 1=0.
313. — La fonction U, que ces trois équations déterminent, est
(il) V=r{z, 0 4- ? {t) log {X^- -hl/) 4- <]^ (0,
lorqu'on tient compte de la symétrie. /,<?,<{' désignent des fonctions arbitraires, dont on ne change pas le caractère en les écrivant sous la forme
? = - ^ .? ?' (0
ce qui donne à U la forme
U = (^ - S &) (^' (^"' ^) + ?' (') l^S (^' + 2/^) + '^' (0) et conduit à poser
avec
An
(I) An -• — = o
Or, quand nous remonterons de * à Ej, E,, E3, qui seules nous intéressent, par les formules (7) et (8), tous ces termes complémen- taires disparaîtront et il restera seulement
^ ^ dxdz' ^ àl/ dZ ' 3 dx- dij-
Gonsidérant n comme fonction de ^ et de p = y^^^ yî.onpeut écrire ces dernières formules sous la forme
CHAPITBB m. — CHAMP d'uN KLÉMIKT DB COURANT 277
OU encore
''"~ pp'dsydp'' -""■ p'pdzYdpJ' '~pd?Vdp/*
Sous cetlc forme, ou voil i^w la force électrique est laiiijeiitc, dans le plan méridien, à la courljc dont l'équation est
(III) P â~ ^^ constante.
Posons avec Hertz
dtt
ij = 0 — .
^ ' dp
Les méridiennes Q = etc., sont des lignes de force, et le flux de force électrique à travers un parallèle de rayon o
/
27:3 E., d?
est d'après la valeur de E3 égal à 2-(Q — Q^i en appelant Q^ la valeur de Q sur l'axe, au niveau du parallèle étudié.
314. — Il suffit donc de considérer l'équation (Ij, bien connue en acoustique.
Une intégrale, fonction de r et de t seulement, finie dans tout l'espace, sauf à l'origine, est
en posant
(i3; ii, = '-±^^^ — 1^ +
On obtient évidemment les intégrales fonction de r et de r, ainsi que de t, en dérivant un nombre quelconque de fois par rapport à z
278 PROPAGATION DE l'ÉLKCTRICITK
et à t une fonction formée comme 11^, avec d'autres fonctions arbi- traires 9^, ^, des mômes variables.
M) "«.;' - ôlT^ L r ^ ^^ J
L'addition d'un nombre quelconque de termes de ce genre permet évidemment de représenter une source de révolution, placée à l'ori- gine, d'un degré de complexité quelconque.
315. — Toutes les fonctions (f corresiiondent à une propagation de la source vers l'espace infini, à une émission par conséquent; les fonctions ij, au contraire correspondent à une propagation vers la source, avec absorption à roriginc des coordonnées, et émission, datant d'ailleurs d'une époque infiniment reculée, par une surface sphérique source, de rayon infiniment grand.
Séparant les deux problèmes de l'émission et de l'absorption, nous ne nous occuperons que de l'émission à l'origine, et nous ne conser- verons que les fonctions O'.
316. — Tenant compte dans les équations II de l'équation 1, on peut les écrire
La force induite se compose donc d'une force électrique axiale,
parallèle à l'élément de courant source, égale à-^^^^--, et d'une
1 i)-n
Ml
force dérivée de la fonction de force —
dz
Si l'on prend pour il, la fonction (i3) émissive, on a, en indiquant par un accent la dérivée de ;7 par rapport à toute la variable a't — r,
(IV) '- -IQ =
1 <)rllQ ïf"iQ't — r)
avec
<->lI xr i'ff . iT'^
ITRB lit. — CHAMP d'uM BLKMKNT DB COURANT 279
d*n X Z
\ àJCàZ
^ \ àydz r r \ r' r* r /
^ = -4- f 3 . -{-3-5-1 )-+-ri-+--i-
317. — Or, à distance suffisamment petite de l'origine, les termes en -^ deviennent prédominants, et les trois composantes de la force se réduisent sensiblement à
.rz .^ , ,^ yz îf
, - * .r „ t/z if . /t ^' \^^
3-.-:. -t-3i^_, _H^3p— ij^.
da7dJ \r/ dydz \r/ àz* \r/
Dailleurs à distance suffisamment petite de ï? [il't — ;i ne différera \ms d'une manière appréciable de J (û'/).
Ces expressions de la force électrique près de l'origine sont donc les mêmes que celles de la force électrostatique due à un doublet de moment -h Jr (ii'f) = li'- 8 (i>'/) dirigé suivant l'axe des - du côté positif.
Les expressions complètes IV. V. sont donc bien celles qui cor- resi)ondent à un doublet de moment variable
suivant 0^, à l'origine, et à l'élément de courant
an = H- ^4 = "' S' ^"'0
dt '
entre les deux pôles du doublet.
Nous pouvons considérer le terme IV), comme la force induite de Neumann, se propageant avec la vitesse u', au lieu d'agir instanta- nément à toute distance ; et les termes (^V) comme la force électros- tatique également douée de propagation avec la même vitesse, au lieu d'être instantanée.
280 PROPAGATION DE l'ÉLECTBICITÉ
318. — La force totale peut être décomposée en deux, de diverses manières. Considérons-la comme formée d'une force radiale et d'une force parallèle au doublet. Dans ce cas la force radiale est
l^'^^r et la force parallèle au doublet est
4^,-- E- = -3 4- -^ H
Fig.4.2
La force parallèle au doublet est la même
sur toute l'étendue de la sphère r, car elle ne dépend que de r et
de /. La force radiale, proportionnelle à -, est nulle à l'équateur,
maximum aux pôles, et varie dans l'intervalle comme le sinus de
la latitude X. Aux deux pôles la force totale est la même
319. — On peut aussi faire la décomposition en une force longi- tudinale, et une force transversale c'est-à-dire une force suivant le rayon et l'autre normale au rayon ; ces forces sont
,. 3- /g? t?^
^^ = s/r-^(^^^:.-^^]; oi
*^
Fi;
celle-ci comptée positivement dans le sens des latitudes positives X. Sous cette forme, on voit que, à grande distance, il ne reste que la force transverse
V r^ ' r
nulle aux pôles, maximum h l'équateur, et dans l'intervalle, propor- tionnelle au cosinus de la latitude.
CHAPITRE III. — CHAMP D*UN éLBIlBNT OB COURANT 281
A petite distance, au contraire, cette partie de la force transverse devient négligeable, et il ne reste qu'une force oblique
(;^-?.)v/
1 -1-3^
faisant avec le rayon, vers les latitudes décroissantes, un angle w donné par
tgw
= -îv/^-» = ->tgx.
A distance quelconque, le flux de force électrique n (u' 313 est
d î? [ii^t — r) _ r» — 5* à if(ii7 — r, ^ ^ dp r r dr r
320. Elément de courant ancien — Comparons maintenant ces distributions à celles que donneraient les tliéories antérieures à Maxwell.
L'élément de courant complet est toujours le doublet variable. Le champ qu'il produit résulte de la force électrostatique instantanée
àXàz \rj' '^!/à2 \r'' d2* \)'/
et de la force induite instantanée
d'après les expressions (6), et (5) avec
La première, et la principale différence avec le champ de Maxwell, c'est que îr, ou îr [n'i) désigne maintenant la valeur actuelle du moment du doublet ; tandis (jue if {a't — ?•) désignait tout à l'heure
la valeur antérieure, datant de léi^que / — -. Cette absence de
282
PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
propagation dans les diélectriques est le caractère principal des anciennes théories. Développons ces expressions, elles donnent
^.-?(^:'-B.)
E3 = ^ 3^
;7"
a"
^_B- — -■
La composante radiale et la composante axiale sont
La première proportionnelle au sinus de la latitude, la seconde constante sur une sphère de rayon r. La composante longitudinale et la composante transverse, sont
•r \ r^ r]
1 +B
, j7"
321.
O
Un second caractère différencie donc les anciennes théories de celle de Maxwell ; dans ces anciennes théo- ries, quel que soit B, la force électrique ne de- vient pas transversale à grande distance ; elle fait avec le rayon, du côté des latitudes X dé- croissantes, un angle n donné par
Fig.44-
tg« = (i +B)y/'^'_ 1 =-(i-+-B)cotgX.
Cet angle a décroit de - à o, en allant del'équa- tcur vers le pôle ; il est de signe contraire à - — > ,
puisque i 4- B est toujours positif pour la stabilité. Lorsipie B est positif, cette force dirigée du côté des latitudes décroissantes, pour
CHAPITRE III. — CHAMP D*UN éLBME>(T DE COURANT 283
~r' ":.-■ <>. est CD même temps divergente de l'axe dans riiémisphère positif, et convergente dans l'Iiémisplière négatif.
C'est le contraire pour B négatif.
Pour B — o, il ne reste au loin (|ue la force de Neutnann, partout parallèle à 1 élément et indépendante de la latitude.
Indépendamment de rinflucnco du temps, le champ de force élec. trique d'un élément de courant est donc très différent dans les théories anciennes, de Xeumann et de Ilelmholtz, de celui auquel conduit la théorie de Maxwell-Hertz.
322. — L expérience a décidé d'une manière incontestable : La force électriiiue se proi)age dans l'air avec la vitesse de la lumière ; c'est ce que montrèrent pour la première fois d'une manière certaine hs expériences de Hertz sur la réflexion, par une paroi métallique, des ondes électromagnétiques propagées dans Tair, et sur les inter- férences qui en résultent ('). Quant au caractère purement trans- versal <le la force électrique lointaine, les premières recherches de Hertz ne lui étaient pas favorables; avant toute théorie (1888) il avait trouvé la force [parallèle au doublet à grande distance. Dans son mémoire théorique (1889), il discute le résultat exi)érimental, su[)posc (jue le parallélisme de l'excitateur et des parois a pu inter- venir. « J'ai donc répété les expériences en changeant de différentes « manières la position de l'oscillateur, dit-il, et j'ai trouvé danscer- « taines positions les résultats d'accord avec la théorie. Néanmoins, »< les résultats n'étaient pas sans ambiguïté, car à grande distance et « là où la force est faible, les perturbations dues à tout ce qui en- «« tourait l'espace disponible étaient si grandes que je n'ai pu arriver a à une détermination digne de foi ».
L'emploi des miroirs paraboliques dans les expériences ultérieures de radiation ne permettait plus de faire l'expérience.
Quoi qu'il en suit, la force électrique dans le voisinage du plan équatorial est, dans ces anciennes théories
. ... :...u., X.WIV. !.. ■..,,, .,v,o. cl Af/i.. VIII.
284 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
elle contient un terme en raison inverse de la distance, qui no diflère de celui de la théorie de Hertz que par le coefficient inconnu B et par l'absence de retard, la propagation étant instantanée.
323. Télégraphie Hertzienne. — Ces différences n'ont au- cune importance dans l'application de ces phénomènes à la télé- graphie sans fils, dite Hertzienne. La production des vibrations dans l'excitateur relève des anciennes théories, qui en ont donné l'explication depuis près d'un demi-siècle; la symétrie indiquait suffisamment la nécessité de mettre le demi-excitateur, ou antenne d'émission, vertical; et dans le voisinage de la terre, c'est-à-dire du plan équatorial de l'excitateur, toutes les théories indiquent que la force électrique d'induction est verticale, et en raison in- verse de la distance. Ainsi, pour aucun de ces éléments essen- tiels, la télégraphie sans fils n'est sous la dépendance directe de la théorie de Maxwell-Hertz. Il n'en est pas moins juste, histori- quement, de rattacher cette application aux travaux de Hertz, car avant l'ensemble de ses travaux, et malgré le beau mémoire de von Bezold, les physiciens ne savaient pas manier le choc en retour, n'en soupçonnaient pas la prodigieuse soudaineté, et ne songeaient pas à s'en servir pour provoquer des oscillations énergiciues.
324. Réalisation des doublets. — Nous pouvons maintenant nous demander au moyen de quels conducteurs de dimensions finies ces doublets seraient réalisables ; et si un doublet quelconque est réalisable au moyen d'un conducteur parfait. Pour cela il faut examiner dans quelles régions la force a une direction indépendante du temps, et trouver lorsque cela est possible la surface normale à la surface ; ce sera la surface du conducteur cherché.
Or les composantes longitudinale et transverse de la force élec- trique sont (n° 319)
t9
r \r
3 "^ A.2
CHAPITnR III. — CHAMP l>'UN éLBUBIfr DK COURANT 285
En un point *, r, pour que la direction de la force soit fixe, il faut que Ton ait. quel que soit n't — r,
- _i — . -t-
Cette équation est satisfaite d'abord d'une manière évidente lorsque ^ est une exponentielle réelle
et on a alors
puis
1 _ Xr -h XV2
(r) =
1 — Xr
l, \/*-^\_
_ E/ ^ V rf 1 — Xr -h X'r»
K/ * 1 — Xr '
Nous y reviendrons bientôt.
325. — Si îf n'est pas une exponentielle réelle, et par conséquent ne s'élimine pas d'>elle-même, l'équation de condition détermine la fonction (f [n't — r). Dans cette équation,
r.^ + Lj=L^(r) ^' 4- ' - ? ('') ^ = o
r r-
Ics coefficients doivent donc ne dépendre que de {Q't — r), et être indé{)endants de r : Posons donc
1 — o {r\ 1 1 — tp (r) 1
r a ' r* b
nous en tirons
b , , b r := - 9 (r) = 1 i-
Ainsi, il y a une seule surface le long de laquelle la force électrique a une direction fixe, et cette surface est celle d'une sphère, de
286 PROPAGATION i)K l'Électricité
rayon ^ ; mais si la force doit-être normale à cette splière, o doit- être nul, donc b = a\ elr = a. L'équation en 5^ devient
g;" ^_ -i gî' _i_ -L, gf = o a a-
^ est la partie réelle de l'exponentielle e ~ ' , avec
À 1 a a-
d'où
et
if = Ae '-*" cos (^ {iï't — r) + oj.
Ainsi, le seul conducteur parlait qui équivaille à un doublet oscillant est la sphère, et dans ce doublet le rapport du décrément
logarithmique à la pulsation \r^) est fixe et égal à -.-^ ou 0,578.
Si donc on réussit à produire un phénomène périodique d'amortisse- ment différent, on aura dans le voisinage immédiat de Toscilla- teur un champ beaucoup plus compliqué que celui d'un doublet simple.
326- — Revenons à l'exponentielle. Les composantes parallèle et normale à l'axe du doublet sont, d'après les formules relatives aux composantes longitudinale et transversale,
Ep
_ _ >^ /l ^ _4_ ^_'\ « - k{Q.'t - r).
Cette forme montre que la force est normale à une famille de surfaces
z f{r) = Y
aUPITRR m. — CHAMP d'un itélISNT DK COURANT
car on a alors
287
Valeurs de R =
AX2
rr{r)
pourvu que la fonction f soit déterminée par réquation àr r
3 3X X2 r^ r^ r
qui donne
|
Kf |
R |
I iî |
|
o |
0 0,33 0,55 0,400 o,3o8 o,a64 0,242 0.238 0,2 iti 0,208 o,2o3 0,2U0 o.i«54 |
X 3 1,82 3,.So 3,2". 3.80 4.12 4.39 4.62 4,80 4.93 5,00 6,10 |
|
0,5 |
||
|
3 |
||
|
\ |
||
|
(i. |
||
|
,s |
||
|
zc. . . . , |
r
2Xr — I
/ 1 X >»\ -Tr arc tg r:r-
Pour dessiner les surfaces de niveau, V = cte, calculons R = —.jpr
en fonction de h\ puis les valeurs de - correspondantes par l'équa- tion
V ^ V
en posant
288
PROPAGATION PB l/ÉLF.CTRlCITé
Près de l'orijzine (fig 4») pour 'l' > 6,1 les surfaces sont à pou près identiques à deux sphères au contact.
Pour 6,1 > -^ > 0,1 64 on a deux nappes : une nappe ovoïde près du centre et une deuxième ayant un cône asymptote dont
Fig.45 Surfaces de niveau 4^ d'un doublet amorti sans oscillations
0,1 64
l'angle est d'autant plus petit que 4^ est plus grand. Pour <{> les deux nappes se rejoignent et l'on a un point conique.
Enfin pour 4^ << 0,1 64 on n'a plus qu'une nappe.
Tous les points où la tangente passe par l'origine sont sur une même sphère de centre 0 passant par le point conique.
A grande distance la force électrique est perpendiculaire au rayon vecteur, ce qui n'a pas lieu au voisinage de l'origine.
327. — Nous avons vu que dans le voisinage de l'origine, les sur- faces ont sensiblement la forme de deux sphères au contact ; puisque chacune de ces surfaces peut être considérée comme celle d'un con- ducteur où l'on peut faire naître des oscillations ayant l'amortisse- ment correspondant à la valeur de À choisie, on aura ainsi des exci- tateurs ressemblant beaucoup à celui de Righi : il est donc probable que ce dernier peut fournir un mouvement amorti apériodique.
CHAPITRE III. — CHAMP D*UN itéMENT DK COURANT 289
Quand on changora la valeur de X, cela reviendra à changer l'uniU; de longueur: or, près de rorigiue, on aura encore deux surfaces contact qui conserveront sensiblement la niômo forme voisine de la forme si)héri<|ue ; de sorte qu'on pourra réaliser deux surfaces diffé- rant très |)eu l'une de l'autre comme dimensions et donnant des amortissements très différents, puisqu'elles peuvent correspondre à des valeurs très différentes de X. En un mol l'amortissement dépend uniquement de l'écart entre la forme des deux boules et la forme sphéiique.
Ce qui précède permet de penser que ce n'est pas la région équa- toriale mais les parties éloignées qu'il importe de développer pour avoir une bonne communication avec l'éllier extérieur et un amor- tissement rapide.
Toutefois les résultats obtenus au Chapitre VI du Livre II, sur l'absence de localisation superficielle des courants amortis sans oscillations dans une lame plane (n" 242) ou dans un cylindre (n" 245), rendent douteux que la surface du conducteur soit encore dans ce cas nécessairement perpendiculaire aux lignes de force dès que l'amortissement est rapide. Nos surfaces perpendiculaires aux lignes de force ne sont donc peut-être pas les surfaces des conduc- teurs métalliques capables de fournir le champ variable correspon- dant, (^esl une question qu'il faudra examiner de plus près.
19
CHAPITRE IV .
LE CHAMP DE L'EXCITATEUR DE HERTZ. HERTZ. — K. PEARSON ET A. LEE
328. Doublet périodique de Hertz. — Etudions mainte- nant le champ produit par un doublet périodique, d'abord sans amortisscmeni, d'après llerlz, ensuite avec un amortissement assez considérable, d'après- K. Pearson et A. Lee.
Dans les équations du chapitre précédent, posons
^' {Q't — r) = — 8 sin ^^ [a't — r) ;
en appelant L la longueur d'onde. Le flux de force électrique Q est alors
Q
pL ..,, , sin^CV-.)"]
Le doublet aponr moment — Cv [ii'l) a chaque instant.
Il a donc le moment -+- 8 aux époques ( , -H nj-^,,ouyr-+- nT
(3 \ L 3T
^ H- w j — ou y- -H nT.
Les caractères généraux de la distri])nlion de la force électrique, décrits au chapitre précédent, peuvent être complétés par le tracé des lignes de force au voisinage immédiat du doublet, là où elles s'écartent notablement de circonféreucos centrées sur le doublet.
A une épo(]ue donnée t pour trouver les coordonnées polaires v, et X de divers points de la courbe Q = C, Hertz partage arbitrairement
CHAPITRIi IV. — LK CHAMP DE l.'BXCITATEirR DE HERTZ 291
C en deux facteurs, l'un plus petit (pie i, l'autn» plus grand que C;
regardant le premier comme égal à -j — oucos'X, on en déduit ). ;
regardant le second comme égal an facteur en r, de Q. on en déduit facilement la valeur de r, au moyen d'une courbe auxiliaire qui donne la valeur de la parenthèse en fonction de r. Hertz a effectué ainsi le tracé des coarl)CS relatives aux époques o, -, -, -~. Le
o 8 8
doublet étant périodique pur, ces courbes so reproduisent toutes les demies pério<les.
329. — A l'époque zéro, le courant est maximum ; les charges sont nulles ; aucune ligne de force ne vient passer par l'oscillateur.
Au voisinage immé<iiat de l'oscillateur, la force est op[)Osée au
3L
c«»uraut; à une distance voisine de -7- dans le plan équatorial elle
8
devient de même sens que le courant central, puis se renverse de nouveau, à une distance on peu supérieure à '-7-, et ainsi de suite
par zones de - a peu pres.
Le courant chaîne rapidement les extrémités de l'élément, et le doublet acquiert un moment positif. La ligne méridienne circulaire de flux zéro se sépare de l'origine, grandit et se gonfle, pendant qu'à son intérieur grandissent des lignes de force de plus en plus nombreuses et étendues, tangentes au doublet à l'origine. Les autres lignes de force déjà émises s'éloignent.
330. — C'est ce qu'on voit sur les figures suivantes. A l'époque
' . = -, le doublet est en pleine croissance, le courant diminue.
8 i> 8 ^
T
A l'époque , , le doublet est maximum, le courant est nul.
Le courant se renverse ensuite ; le doublet décroît, les lignes de
force qui se sont peu avancées rétrogradent vers le doublet ; celles
qui ont été le plus loin s'étranglent et se divisent en deux parties,
l'une (jui revient vers le doublet, l'autre définitivement émise qui
3 s'en éloigne, comme le montre la ligure pour l'époque ^ T. Enfin
après une demie période on revient à la première figure, dans laquelle
292
PROPAGATION DE l'kLECTBICITÉ
Époques 0 et
Lpoque r
Dans ces figures, reproduction de celles de Hertz, X désigne la demie longueur d'onde, - L,
CHAPITRE IV. LB CHAMP DE l'bXCITATBUR DE HERTZ 0293
Éi)oqae
aT
Epoque T
3T
Dans ces figares, reproduction de celles de Hertz, X désigne la demie longueur d'onde, - L.
2134
PHOPAGATION DE L ELECTRICITE
il faut seulement renverser le sens des flèches de courant et de force électrique.
331. Sectionnement des lignes de force. — Tels sont les ré- sultais généraux de la discussion de Hertz ; il est intéressant d'entrer un peu plus dans le détail.
Posons, pour siuiidifier l'écriture
2TC
(0
I
r,
~ {iït - /•
l^ Q
li- t> cos'-À L'équation d'une ligne de flux est
(2)
cos 10 H — sin 10 = C. oc
Pour une niénic ligne do flux, G croît de 7^- Q à l'équaleur, jusqu'à l'infini pour les pôles.
CHAPITRB IV. — LE CHAMP DK l'bXCITATBUR OE IIEBTZ 295
L'équation (a) donne
sin uj
(^ ' ■^' — G — cosw ■
l>;ms lu figure 46, on a pris x \)0UT abcisse et w pour ordonnée vers lo bas. et on a trace les courÎMîs G — cte.
Ges courbes font connaître le dé[»lai'euicnt radial de la ligue de flux G, en fonction de w, qoi représente l'excès du temps réellement écoulé sur celui qu'aurait exigé une propagation uniforme à la vitesse U'. Sur ce graplii(iue les lignes isochrones sont les lignes, à 4^°» to -i- .r t-= cte.
Toute la partie utile du graphi(|ue est comprise dans l'angle de i35" du côté X > o, ti) 4- .V >► o.
332. — Sur réquation (i) on remarque que pour toute valeur finie de G, à a; = o correspond sin ta = o, et par conséquent to -H J7 = o) = «- : L'émission des lignes de flux par le doublet se fait, pour toutes, simultanément, aux époques o, T, aT
I/absorption des lignes de flux positif et l'émission des lignes de flux
T 3T négatif, se fait à la fois aux époques , — »
Pour G = 0, on a
0? =: — tg a;
X devient infini pour w = — -" ; à grande distance, la ligne de flux a une avance d'un quart de longueur d'onde sur la propagation uni- forme.
Pour G < 1 , les lignes de flux vont encore à distance infinie ; et
L T T
ir avance — ave cas G, est comprise entre 7 et - • 2- * 4 2
Mais pour G > 1, le parcours est limité, puisque le dénominateur ste fin Or on a
L T T
leur avance — ave cas G, est comprise entre -,- et - 2- * 4 2
b reste fini ; la distance maximum est atteinte lorsque * devient nul.
àx " \dr}
L.' maximum a donc lieu lorsque ' - est infini.
ax
296 PROPAGATION DK l'ÉLECTRICITK
Foi'inoiis " - , et cliiniiions x, il vient
dX
<>(i} (G — CCS w)-
dx C ces to 1
La distance maximum est atteinte pour
ces W„ r= ^
et sa valeur est
Ainsi toutes les lignes dont le flux est supérieur à p, ou -v— cos^ X n'ont qu'un parcours limité. Près de Taxe polaire, presqu'aucunc ligne de flux ne va jusqu'à l'infini. A l'équatcur, les lignes de flux supé- rieur à -^ vont seules à l'infini.
lu
333. — La ligne G = 1, qui sépare les deux groupes de lignes de flux, émises ou retenues, a pour équation
sin o) , /(
cotg I ;
1 — COS 0) "^ \ 2
Au départ, pour oj = o, 2-, 4", •• avec x = o, on a
d'où le tableau suivant
(^) =G
G= 0 1 1,1 56 2 1 0 o,i56 1
0
Les courbes qui vont à l'infini partent de l'origine dans l'angle compris entre la ligne oblique t = o, et m = o; celles qui restent à distance finie partent de l'origine dans l'angle droit des axes.
Au retour, pour w = ir, 3z, 0-,... on a
ai). =-('■■-■)
G = o 1 1,1 56 2 00
(j^\
, = — 1 — a — 2,i56 — 3 — ao
,àX/T.
CHAPITRB IV. — LB CHAUP DC t BXCITATBUR DB HEBTZ
297
Mo
334- — La relation générale cnti*e 'et cos w, est une relation hyperbolique, qui iMîut présenior flt^nx formes f^uivanl qn»' C est plus i)elit ou plus grand que i .
Dans le premier cas, C <C •, <,fig. 4") quand cos w croit de — i à 4- r, — croit de — (i -+- G , à zéro pour cos w = C, c*est-à- dire, d'après rétiualion (i) ii 331, pour l'asymptote de chaque
C = - a
Asymptote cos w^ = a. Direction Ig = ^
Centre cos w =2
w' ^ 2,3 = <»
... . 3
Minimum cos w = -
a
w' = 4,3 =: la
courlte C fii:. i».). Au delà '• ilevieiil néi.'alif, el la conrl'f ••<! iuutil< .
Pour C compris entre 1 et 2, ' croit, passe par un maximum,
298 PHOPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
décroît indéfiniment, puis redevient infini positif et continue à dé- croître :
2 „ I
cos (0 = — 1 .^ — C 0 1
Cl y '
Au maximum correspond un point d'inflexion.
Pour C = 2 la tangente au point d'inflexion, cos to rr^ — i , est
Yx^ maximum est 0,587... avec cos w^, = , m^ = Go".
Pour G supérieur à 2, il n'y a pas de maximum ; la décroissance est continue; la courbe est entièrement concave vers le bas.
335. — Pour suivre la propagation, il faut tracer les droites isochrones, et voir comment elles coupent les lignes C, (fig. 46), et en particulier si elles les touchent, ce qui arrive lorsque - est égal à — 1. Les points de contact sont alors déterminés pour chaque valeur de C par l'équation
(C — cos tri)^
G cos w — 1 ou
G , ./ 3;,..
cos w = - ± V / 1 — -, L-. 2 » 4
Pour toute valeur de G comprise entre oet 1, le signe ■+ donne une valeur de cos to supérieure à 1, inadmissible ; il n'y a qu'un seul point de contact, qui pari de w := z (a; = o) pour G = o et recule vers 10:=]", (^ =; 1 ) pour G = 1 .
Pour G>> 1, ce point de conlact continue à reculer; un second
point de contact apparaît à l'infini, avance à la rencontre du pre-
2 mier en partant de w = 0 (x = » ) : enfin pour G = ^-, les deux
points se confondent, avec cos w = y: , ou w = 0,966 environ 54° 4V,
CHAPITRE IV. — LB CHAMP DB l'BXCITATBUR DE HERTZ 299
^ i). Tout point de conUict disparait pour les valeurs de C su- p<''iieiires à t.: == i,>56' IjC lieu de ces points de contact est la courbe à un|)oint d'inflexion
^_*-«t^_-_^y/^:2pÎH_»
tracée en pointillr (fig. .46). Le liou des sommets
•„ — cotg w^
(•?( t-yul«-iiient Ua» »■ en pointillé (fig. 4^)).
336. — Il suffit maintenant de se reporter aux lignes isochronos d»' la figure 46 pour suivre la marche des lignes de flux. Au temps o, tout<'s les lignes do flux sont émises à la fois, et (juittcnl la source, d'autant moins vite que G est plus grand. Elles se propagent les unes derrière les autres, en se séparant de plus en plus.
Les lignes de grand flux, C >- -^, après avoir avancé plus ou
inuins loin (j',, <^ y ^» '" "^ ~ v^3 ) reviennent lenleineut vers la
source.
2 Sur réquateur, les lignes de flux moyen, 1 <C C <C—-, avancent
à partir de la source, puis à un certain moment apparaissent à un point intermédiaire ( ", = — i ) , où elles se dédoublent ; une des deux revient vers la source, l'autre avance comme la première. La première continue son mouvement en avant, atteint une distance maximum (fig. 48) puis recule, et disparait au moment où elle re- joint celle qui la suivait/- * = — il.
('es mouvements dans le plan de l'équateur paraîtront plus clairs après que nous aurons décrit les formes successives des méridiennes de ces lignes de flux.
Enfin les lignes de flux faible C < 1, font comme les précédentes, leur apparition en un point moyen (—. = — 1), d'où elles four-
300 PROPAGATION DE L'éLECTRIClTK
nissent deux branches, l'une émise, l'autre régressive ; mais la branche émise continue jusqu'à l'infini.
337. — Pour déduire du graphique précodent (fig. 46) la forme des lignes de flux à une époque donnée, il suffit de se rappeler (jue le flux est égal à C cos^ X. Donc en suivant les valeurs de G sur une isoclironc, depuis x = o, on en déduit les latitudes pour une môme ligne de force. Quand les valeurs de G croissent, la latitude diminue; elle augmente au contraire si les valeurs de G décroissent ; un chan- gement de sens de variation de G indique que la ligne de flux est
tangente au rayon. Gela permet de figurer quelques lignes de flux,
3T à des époques intéressantes, voisines de — . [Planche 1).
A une môme époque tous les points de contact des diverses lignes de force avec des rayons sont à la même distance de la source.
338. —■ G'est à une même distance de la source ( i ,4i4 -z) > et à
/ T T \
une même époque ((0,956 -f i,4i4) - = 2,37 - ) qu'apparaît, sur
\ 2~ 27:/
27rg
toutes les lignes de flux inférieur à 1,1 56 -y-, un point d'inflexion,
ayant une tangente radiale, premier signe de la séparation d'un anneau indépendant. Toutes les lignes de flux inférieur à 1,1 56 -^ se coupent donc à
Auant la Jtitimcc maximum
Après la JtstaAcû maxjmuin E vanouissement J une li^ne aefJux
Fig. 48 une distance inférieure à i,4i4 -, et émettent un anneau qui se
27k ^
propage d'autant plus loin que le flux est plus faible, mais qui finit
par s'évanouir à grande distance, si le flux est supérieur à -î-^-, tan-
JLi
dis qu'il se propage indéfiniment si le flux est inférieur à -^^.
1j
CHAPITRE IV. — LE CHAUP DB i/kXCITATCUR DB HERTZ 301
I^ mode d'évanouissement d'un anneau de flux est représenté dans la figure 48, par les positions successives, I, II.., VI, de ses lignes méridiennes, qui se contmclent, atteignent une distance maxi- mum sur ItMjualeur, puis se resst^rranl de plus en plus, finissent par se nnluire à une ligne équatoriale circulaire (un point sur la figure) en arrière de la distance maxima.
339. Propagation d'une phase quelconque. — Aux petites distances, on peut avoir à considérer séparément la proi^igation d'une quantité ({uelconque. Au lieu de chercher les conditions de propagation des ligm^s de force Q == de, nous pouvons chercher t elles de la propagation d'une phase déterminée de Q : nous pouvons mettre pour cela Q sous la forme
Q = ,K.si„|,.(^_[)H-,|
y
:i[ étant une fonction do r, et * étant défini par tgo= 2- . . La loi de propagation d'une phase déterminée est
t r o , ,
T, — |- H- - = constante.
Pour avoir la vitesse de propagation, dérivons cette équation par
rapport ht,
1 i dr i d<f dr
t L^t ~^ 2^. dr di ~~^'
En résolvant
|
L |
dt |
27: |
dr |
àt |
|
|
dr |
=z |
I t |
1 |
||
|
dt |
1 t" |
1 2T |
dcp dr |
Ce résultat est indépendant de t : sur une même sphère, à toute époque, les phases qui passent se propagent avec la même vitesse.
Remarquons d'ailleurs que ce résultat ne dé[)end pas de la forme imrliculière de la fonction i? ; si on prend, par exemple
-^(t-l) • /' ''\ a- = e ^ ^ ^ / sm 2r ( .j, — £ )
302 PROPAGATION DK l'kLECTRICITÉ
^ et (f sont changés, mais o est une fonction do r soûl et l'on con- serve ce caractère que -jr ne dépend que de r.
Ce caractère se conserve encore pour les phases des ferres éloo- liiques et magnétiques.
340. Doublet amorti de Pearson et Lee. — Los n'siillats précédonls cliangcnt nota])lement si, au lieu d'une foiiclion pério- dique simple on prend une fonction amortie : ce cas a été étudié par K. Pearson et A. Lee {Philosophical Transactions, 1901, vol. \\)S)\ qui ont pris
xf = i,e \ ' ^V sin 27: ( „, — ^1,
de sorte ([uo dans le voisinage immédiat de l'oscillateur la fonction se réduit à
;)' = ge >■ sm 2- q-, •
Par conséquent le moment électrique initial de Foscillatcur est nul; mais la vitesse de variation est différente de 0 ; c'est-à-dire que l'oscillateur qui est d'abord à un potentiel uniforme reçoit à l'origine du temps une iuipulsion brusque.
Les résultats du calcul sont les suivants :
La forme des lignes de force est donnée par
Q:=_gcosne"'^(ï~w)(^-^)sin2T:(A_!:j+^^cos.T:(^~Q|
Les lignes de force Q = o sont alors données par la condition
t r\ _r L V.- L
cotg -i'i,^ ^
341. — La forme de ces suilacivs est gros-^iriciiient indiipii'e par les coHi'bes suivantes (fig. 4«.)) q»' donnent la méridienne des sur-
CHAPITRK IV. — LE CHAMP DB L BXCITATBUR DB HKRTZ
303
faces iK)ur des valeurs île Q correspondant à des intcnsiU's relatives (lu champ égales respecliveracnt h
5o 3(> n> i o.
T :iT
Ces courbes sont représentées aux époques et -r- •
4 4
Les eourbos qui se trouvaient dans la preinitTc ligure entre l'os- cillateur «'t la premirro sphère Q ^^ o. se sont propagées ol se trou- vent (laii-j II <oconile figure entre deux sphères pour l«'S(piollos (} — " :
elles ont été remplacées entre la sphère intérieure et l'oscillateur par (les courbes correspondant aux valeurs négatives de l'intensité, qui ne sont pas tout-à-fait identiques à celles de la première figure à cause de l'amortissement.
La forme des surfaces Q = constante est très différente de celles de Hertz et par suite leur vitcv^e de propagation est profond('mcnt modifiée.
Los planches II, III, IV, à la fin du volume, sont l'exacte repro- duction de quelques unes des planches de Pearson et Lee. Elles montrent les variations pendant la première période (pi. II), pen- dant la Iroisième période (pi. III) cf pendant la cinquième pé- riod;' (pi. IV).
341 Avance à l'émission. — A une époque déterminée, pour r
304 PROPAGATION DE l'ÉLECTBICITÉ
très petit, on a à peu près le incmc phénomène que dans le cas où s'était placé Hertz, c'est-à-dire, la distribution électrostatique des lignes de force.
Pour r très grand, la cotangente qui définit la ligne Q = o, prend la Videur finie
cotga. (^_£) = 1;
q;iaiid raniorllsscment est nul, on a
cotg = 0 -1- { — \ = n-K -\- - et les distances des diverses surfaces Q = o, sont données par
( T
r = i1[t — n ~
I)^
Quand l'amortissement est infini on a simplement
Enfin quand l'amortissement est fini on trouve
/ T T\
e étant plus petir que i .
T
Ainsi l'avance ->- qui se produisait pour une source périodique sans
amortissement, diminue quand il y a un amortissement et tend vers 0 quand cet amortissement devient infini (choc brusque instan- tané).
343. Propagation des forces électrique et magnétique. — La force électrique peut être considérée comme résultant.
1" d'une composante E„ parallôlle à l'oscillateur.
2" d'une composante E, perpendiculaire au rayon vecteur et située dans le plan méridien.
Enfin nous aurons à considérer la force magnétique M qui est per- pendiculaire ridien.
CHAPITRE IV. — LB CHAMP DB l'bXCITATEUR DB HRRTZ 305
En posaut
ces forces ont pour expression
E,= AcosX |^(p_j--,+ _j^,-_jsina> + (j^-,- j^.jcosa,J
w *co8)T/ e e^ — 4:t^\ . /2it 4ire\ "1
^ =-AïPfL(- ^ "^ '~LT~ j ^^"^^ -^ (.T - LT ) ^'^''^J- Ces expressions contiennent, même lorsque 0 est nul, des termes en
1 1 I
r" P" r' Aux grandes distances les seuls termes importants sont ceux qui ont en dénominateur la plus petite puissance r ; tandis qu'à petite dis- tance, où les différents termes sont du même ordre, la complication reste considérable. Quand r est grand, E, et M se réduisent à
„ . cosX Te» — 4ti» . 4it0 1
E( = A — — I — jY^ — sm w — ~- cos w I
„ . cos Xre2 — 47:2 ^_o -1
^ =~^ 12V L"Lr~ sm 0) - ^^ cos u^J.
Ces deux forces ont donc exactement la même phase ; elles va- rient en raison inverse de r.
Quant à Ea, elle varie en raison inverse de r* et devient rapide- ment négligeable par rapport à E,, sauf au voisinage immédiat de l'axe polaire.
344. Front de l'onde. — Au front de l'onde les trois forces con- sidérées n'ont pas une valeur nulle : supposons qu'à l'instant initial tout soit en équilibre et que l'oscillateur ne possède aucune charge, mais qu'il reçoive une impulsion brusque. Alors à l'instant t, pour r > Ht le champ reste nul, mais pour r = ùt on a.
sin 0) = o cos bi = i,
20
306 PPOPAOATION de l.'Ér.ECTRIClTÉ
Les trois composantes qui étaient nulles prennent brusquement une valeur finie qui se propage avec la vitesse ù : ces trois compo- santes débutent avec une phase variable suivant la distance, puisque les coefficients de sin w et de cos w dépendent eux-mêmes de la dis- tance.
A grande distance, les valeurs initiales de E, et M, qui seules sub-
... , „ cos À Aizd . 8 cos X ^"^9
sistent, sont — g • -t»- , et h — -^c- — Vf *
' r L^ iir L^
345. Propagation d'une phase déterminée, — La vitesse
de propagation d'une phase déterminée subit des variations singu-
dcc lières. Quelle que soit la distance, cette vitesse -rj est la même pour
la composante électrique E^ et pour la force magnétique M : sa va- leur est
/dr\ ^ / U
La vitesse de la force électrique transverse Ej a une expression encore plus compliquée
(^I\ == (2 /iH- ^^' (r - r,y -+- r^ \
en posant
Lorsque 6 est infini, ces formules nous donnent une vitesse égale à celle de la lumière, quelle que soit la phase; c'est le cas d'un choc.
Lorsque 6 est nul, c'est-à-dire pour le doublet de Hertz, ces for- mules deviennent
L=
^"l^-^4^)'
/dr\ _ / ^L^ qL* \
ces vitesses de propagation, inégales, décroissent de TinfiniàQ, à mesure que la distance augmente, sans jamais cesser d'être positives.
346. — Lorsque l'amortissement est fini, l'étude de ces formules
CHAPITRE IV
LE CHAMP DE L KXCITATKL'R DE HERTZ
307
conduit à des résultats tiès différents de ceux que nous a donnés le doublet périodique de Hertz.
A) Force magnétique M, el électrique axiale Ea. — La vitesse est indépendante de la phase, elle ne dépend que de la distance.
Dans la figure 5o, on a porté en abcisses les distiinces à une échelle énorme, en ordonnées les vitesses de propagation / - ) à une échelle prodigieusement petite, puisque la vitesse de la lumière 12 est représentée par un peu plus d'un millimètre ; et néanmoins la dis- tance bc, figurée, est encore beaucoup trop petite.
Cette vitesse, infinie négative pour r = o, reste négative énorme à toute époque jus(iu'à r :i= oa. Alors elle passe brusquement de — ao à -I- » , décroit régulièrement, et tend asymptotiqucment vers il en lui res- tant supérieure.
Si l'on pose
on a
ob = ba = - sin^ / ~~
n
»c = - ^ù.
n
Fig. 50
Pearson a adopté pour 0 la valeur o,4 ce qui donne sensiblement.
J^=:3°38' bC = — 225 ù
Ce qui est inattendu c'est de trouver près de l'origine des vitesses négatives.
B) Force électrique transverse E/. — On trouve un résultat encore plus compUqué. La courbe a le même caractère général, mais les diverses quantités oa, ob, bc ont des valeurs différentes ; en posant
q^ =
on a
Oa Ob
48in^X L
— i
= sin 2/(1 4- — ) —
/o,63 . /. ' , , c i.\ 1» = sm 2/ ( -V" ~^ 0,62a -H o,oi5 9*j —
308
PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
en prenant les premiers termes du développement en série
(l — 1,59
sm 7
çMQ.
Remarquons que, toujours pour 6 = 0,4, Oa est beaucoup plus grand que pour la force magnétique, et atteint le dixième de L ; bc est notablement plus petit ; de plus Ob n'est plus la moitié de Oa.
Dans le prolongement de l'axe, l'onde transverse devient négli- geable et la force électrique axiale se propage seule dans ce sens.
347. Force électrique totale. — Dans le plan équatorial au contraire l'onde axiale subsiste et accompagne l'onde trans verse qui
|
n |
\J |
v^ |
|
|
0 |
f^ |
r Fig. 51 |
est maximum. Il en résulte pour la force électrique totale un double
|
yf |
,y// |
|
|
Jy ..!^ |
Y// |
|
|
.«X/ .'^/ |
// |
|
|
1 |
||
|
"ô |
-xv^^/" |
-\r |
|
-/>/ |
Fig. 52 |
changement do signe ainsi que le montre la courbe des vitesses en fonction des distances (fig. 5i).
CHAFITRF IV. — LE CHAMP DE |/kXC1TATE0R DE HEHTZ 309
On peut encore indiquer la distriliulion des phases à un instant donné en portant en abscisses les quantités -p et en ordonnées les variations de phase, ce qui donne les courbes de la figure 5a,
Ainsi quand lainortissoment est considérable il y a dans le voisi- nage de l'oscillateur de grandes variations de vitesse. M. Pearson rappelle que Hertz a rencontré en se servant de son grand oscillateur des singularités qui l'avaient conduit à penser que la vitesse de pro- pagation peut ctre différente de la vitesse de la lumière; Hertz avait fait ses mesures à une disUmce d'environ une longueur d'onde de l'itscillateur, et c'est peut-être ce qui expliquerait aussi d'autres sin- gularités qu'il a rencontrées dans ses expériences.
348. Choix de ramortissement. — L'amortissement o,4 que Pearson a adopté, pour tracer les figures et faire la discussion numé- rique, est celui qu'a trouvé Bjerkness en opérant avec les instru- ments môme de Hertz, mais dans des conditions différentes du rayonnement libre.
L'oscillateur de Hertz était fonné de deux plaques, avec des tiges terminées par deux petites boules en regard. Bjerkness a étudié la propagation dans des fils qui partaient de deux grandes plaques placées en face des premières ; entre ces fils qui se terminaient librement il intercalait un élec- tromètre idiostatique. La dévia- tion permanente obtenue résulte de rim[)ulsion directe de l'onde incidente et de celle de l'onde
K
r
Fig. 53
réfléchie. De l'examen de cette déviation pour différentes distances de l'électromètre aux extrémités, on peut déduire l'amortissement de l'onde qui parcourt les fils. Mais les plaques Pi et P,' ne doivent pas être trop éloignées de P et P' pour que l'on ait de la sensibilité ; si leur distance est 4 ou 5 centimètres, l'amortissement est de l'ordre indiqué o, {.
Mais si cette distance est de plusieurs décimètres l'amortissement est beaucoup plus petit. L'amortissement est du en effet au rayonne-
310 PHOPAGATION DE l'ÉLECTRICITK
ment, c'est-à dire aux commimicalions avec l'extérieur. Comme l'ex- citateur est court par rapport à sa longueur d'onde (^ environ j le rayonnement i)roprement dit dans l'espace est faible (il ne serait intense que si la longueur de l'excitateur était voisine de la demie longueur d'onde). Ce sont les plaques Pj et P/ qui donnent par les fils une grande surface de rayonnement : l'amortissement devient d'autant plus intense que les plaques sont plus près. L'amortisse- ment 0,4 que Pcarson a adopté est donc beaucoup plus fort que celui de l'excitateur de Hertz rayonnant librement dans l'espace.
349. Mécanisme de la propagation. — Au début la charge est nulle dans l'oscillateur de Pearson, mais Tlntensité de courant finie fait naître immédiatement les lignes de force électrostatiques du doublet : celles-ci par leur accroissement brusque équivalent pour les actions magnétiques à de vrais courants et compensent partout au loin l'action du doublet ; ce n'est que dans le voisinage qu'il reste une petite action donnant naissance de i)roclie en proche au déve- loppement de l'onde émise. Il en résulte qu'on n'observe jamais seul l'élément de courant des théories antérieures à Maxwell, mais l'ensemble de cet élément et des éléments de sens contraire qui l'en- tourent.
Une autre conséquence de ce mode de propagation est relative à l'allure de la force électrique en un point déterminé. Les deux com- posantes axiale et transverse ayant des phases différentes, la force n'a pas d'orientation fixée, mais décrit une ellipse, dont le grand axe est orienté d'une façon qui dépend du point considéré, ainsi d'ailleurs que le sens dans lequel l'ellipse est décrite. A grande dis- tance la force électrique devient perpendiculaire au rayon, dans les limites où le terme en sin it. lf=, — '^ j n'est pas très petit, sinon le terme en cosinus reprend une petite importance. Donc l'ellipse s'oriente de manière ([ue son grand axe soit perpendiculaire au i-ayon vecteur, et elle s'aplatit de plus en plus, sauf dans le voisinage de l'axe du doublet, où la force, petite d'ailleurs, continue à avoir une orientation variable avec la phase.
CHAPITRE IV. — LE CHAMP OR l'eXCITATBOR DR HERTZ 311
350. Difficulté d un contrôle expérimental. — Ainsi un os- cillateur rayonnant librement dans rétlior aurait un amortissement faible ; or la zAnc intéressante est au voisinage immédiat de l'oscilla- leur. (lue la théorie suppose court, de sorte ({u'il faudrait, à la fois, un doublet très court et un grand amortissement ; ce qui n'est réali- sable que par un fort amortissement ohmique.
On obtiendrait h peu près les conditions initiales de Pearson en excitant l'oscillateur par induction, à la façon de Blondlot.
Soit — la force électromotricc induite, léquation du circuit est
a.^^ai^^,^c^,
mais h l'instant initial, à la fin de la variation lontc de *, q est nul.
Au moment où l'étincelle éclate dans le circuit inducteur, 'l' subit un changement brusque *o i -7 s'accroît de -;- , et q reste nul, du moins
dt Là
si l'étincelle inductrice est soufflée, et s'éteint instantanément. S'il en est ainsi, l'expression de q est celle de Pearson
Mais ces conditions sont difficiles à réaliser et il est peu probable qu'il soit légitime de réduire l'action de l'inducteur à une variation de flux de force magnétique vraiment instantanée 'i\.
11 parait donc difficile de réaliser un doublet ayant à l'origine du temps la phase qu'on a supposée, mais si on se rappelle que les vitesses obtenues sont indépendantes de la phase et par suite de l'ori- gine du temps, on voit que rien ne sera changé dans la propagation des phases quand on aura à la place du sinus, un cosinus ou une somme de sinus et de cosinus ; ce qui sera seulement changé, c'est la variation brusque au front de l'onde.
Les valeurs que nous avons données au n" 344, pour le front de
312 PROPAGATION DE l'kLECTRICITÉ
l'onde, exprimées au moyen des dimensions de roscillatcur, sont, à grande distance,
E--v/i-^. î-oi-^5
M
L désigne ici le coefficient de self-induction de l'oscillateur.
Ces forces électrique et magnétique instantanées no dépendent pas de la capacité ; elles sont proportionnelles à l'amortissement II : L, de quelque façon qu'il soit réalisé, et en raison inverse du coefficient de self-induction par unité de longueur.
351- Mode d'excitation de Hertz. Nature de l'état initial. — Les appareils au moyen desquels on fait ces expériences marchent le plus souvent à l'aide d'une machine ou d'une bobine ; celle-ci charge un condensateur et à un certain moment l'étincelle éclate. A l'instant initial, la charge n'est donc pas nulle mais maximum et il existe entre les deux parties du circuit une différence de potentiel déterminée V.
La période de l'oscillateur est déterminée par sa résistance ohmique et fictive, sa capacité et sa self-induction. On a en appelant q la charge
Or à l'instant initial, avant l'étincelle, on a sensiblement
^0 = GV,
car pendant la charge lente -^ et ^rf sont négligeables. Quand l'étin- celle éclate, ->^ reste nul ; mais, comme la force électromotricc V tombe à 0, -rf subit une variation brusque donnée par
T ^ — — V
La force électromotrice restant nulle pendant le passage de l'étin- celle, dont la résistance est minime, la solution de l'équation est :
. -e| /'2TZt \
q = Ae cos ( -^- 4- ? I.
CHAPtTRB IV. -- LB CHAMP DE l'cXCITATSUR DB IIRRTZ 313
On peut calculer les constantes A et o i>ar les conditions initiales
Ço — ^v, -j- — o.
On trouve
q = CVe * ( C08 "Y" -+- — sin ar ^j.
Le terme |iriiicipai est lo ternie en cosinus de sorte qu'on n'est pas dans les conditions de la théorie de Pearst)n.
Nous reportant aux formules du n" 319, nous trouvons facilement pour le front de l'onde
r r'
Vf . / ^ iiV
V r- Lr
en regardant le moment de l'oscillateur comme égal au produit de la charge par la longueur a. A grande distance, il ne reste que
. = \/'-.^"'r
E. ,
Cette force électrique instantanée, au front de l'onde, ne dépend pas de la capacité, et est inversement proportionnelle au coefficient de self-induction de l'excitateur, par unité de longueur. Il en est de même de la force magnétique instantanée,
Mais l'amortissement n'intervient plus ici.
Pour l'action du front de l'onde, l'équation
a i a .
-=- = == cte,
2log^
en appelant d le diamètre du fil, donnerait une idée de la relation entre le diamètre d et la longueur a d'antennes équivalentes à diffé- rentes distances r.
. CHAPITRE V
OSCILLATIONS D'UNE SPHÈRE
352. — La forme de corps vibrant dont l'étude est la plus facile, est la forme spliérique, parce que les fonctions nécessaires pour repré- senter la distribution du champ sont connues depuis longtemps, et ont été étudiées d'une manière approfondie, par Laplace d'abord, et depuis, par beaucoup d'autres.
Rappelons d'abord les propriétés les plus élémentaires de ces fonc- tions.
Une fonction spliérique solide, ou fonction harmonique V est une fonction qui satisfait à l'équation de Laplace (i) AV = o
dans tout l'espace.
Lorsqu'elle est homogène, de degré n, on peut la mettre sous la forme
et la fonction S,„ ne dépend plus que des angles directeurs ; elle satisfait à l'équation
(2) r^AS,, -4- w (n -h 1) S„ = 0
qu'on obtient facilement au moyen des équations connues.
A(UV) = UAV + .(gg + ...) + VAU, 00 — - -H V — - -V- z — ~ r= nV„.
dX '' àlj àZ
CIUPITRC V. — OSCILLATION d'unE SrilÈRR 315
Lorsqu'on définit la position d'un point sur une sphère par sa lati- tude [ - — 6] et sa longitude ç, la fonction S„ prend le nom de fonc- tion de I^apluce, et est représentée i)ar Y„.
Celles des fonctions Y„ qm ne déi>endont (juc de la latitude ( 6 j
et non de la longitude, ou angle iiziniutlial, o ont une impoiUmce spéciale ; on les représente avec Lcgcndre, qui les a parliculièrciiient étudiées, par V„ }i) en api>elant{i le sinus de la latitude X.
La fonction générale Y„ est
Y„ = > {kn,p C08 p? -h B„^ sin p'^) ( i — 1^')=' ' "/ ' •
353. — Les équations des mouvements vibratoires amortis ou non prennent fréquemment lorsc^u'on met en facteur la fonction du temps e^S la forme (3) A* — a^* = o
a' étant un coefficient qui dépend à la fois des propriétés caractéris- ti(ju»'s du corps, élasticité, conductibilité, etc., et de la vibration particulière considérée, c'est-à-dire de 0.
Pour des corps de forme sphérique, pleine ou creuse, les fonctions sphériques de degré entier s'introduisent naturellement. Posons
* = R„V„.
R„ étant une fonction de r seulement et substituons dans l'équa- tion (3) ; au moyen des formules rappelées plus haut, on met facile- ment V„ en facteur, et il reste pour déterminer R„
On peut donner à l'intégrale de cette équation diverses formes ; j'adopterai la suivante (*)
R„ = A„e ^^
(1) Cf. BaiLtooiH.— Mouvements d'une sphère dans une atmosphère gazeuse; vibrations propres de l'espace extérieur. A7in., Ch., Phys., II, i8<)4.
316 PnOI'AGATIOX DE I.'ÉLKCTRICITK
Dans le conducteur, on a ou, avec toute l'approximation nécessaire en général :
a2 = 47:/fO; dans Tisolant, au contraire, on a
354. Considérons maintenant une sphère très conductrice dans l'espace isolant indéfini. Si la sphère émet des radiations électriques, sans en absorber, un seul des deux termes de R„ intervient, le premier : en effet, une fois les dérivations effectuées, ce terme est le produit d'un polynôme de degré w en - par -~ri e~" *'' et, en prenant
iï
cela nous donne le terme e \ "7 purement émissif quel que soit 6.
355. — Adoptant la condition indiquée au chapitre II (n" 309-310) que la force électrique dans l'isolant soit normale au conducteur, nous pouvons trouver le champ extérieur à la sphère d'une manière indépendante ; nous obtiendrons ensuite ce dernier séparément.
Mettant en évidence le facteur e^ dans les équations d'Ampère et de Faraday, celles-ci deviennent
, , eK\ „ ^^^\, .->M»
\ ù àz ày
' dy dz ' une quelconque des six grandeurs E,..., M3, satisfait à réquation
AU = a^Il,
avec les valeurs de a^ indiquées plus haut.
CHAPITRB V.
OSCILLATION d'uNB SPHÈRB
317
366. — La forme du corps permet évKlemment l'existence de vibrutions dont la force électrique est partout dans le plan méridien, et la force magnétique perpendiculaire au plan méridien. Pour les trouver séparément il faut donner aux étiuations une forme qui rende simple l'équation à la âurface, qui exprime que la force électrique tùngentielle est nulle.
Soit M la force magnétique indépendante de la longitude, on a
|
M. |
= |
— M |
sin* |
|
M, |
= |
-i-M |
COStp |
|
M3 |
= |
0 |
Fig. 54
puis, en appliquant la propriété des flux de
courant qu'exprime l'équation d'Ampère ('),
au circuit formé de deux rayons vecteurs de même latitude, et de
deux circonférences, on obtient
(4.A--^^)e,=
_ a(Mr
où l'on considère M comme une fonction de r et de 6.
357. — C'est donc la fonction M, qu'il faut mettre sous la forme d'un produit de deux facteurs, l'un fonction de r, l'autre de 0, pour écrire l'équation à la surface de la manière la plus simple. Pour cela il faut dans M, et M^ mettre en facteur une fonction Y„, ce qui donne
. = - A sin o vTZv '-^^ m e- + ^^ '- (^^) ,
A / T. ôP„(u) „ ar 4- et <>" /e—'^'^'\
= A cos o v/i - K- -i^ r-e- + - (-;^^j ,
"^ d[i dr" \j,n + ij '
,') Les trois équations d'Ampère conduisent au mémo résultai plus pénible- ment en faisant le changement de coordonnées.
318 PROPAGATION DK l'ki KCTRICITÉ
et, la force éloctriquo taiigentielle est iiiiUo à la surface de la sphère de rayon a, si l'on a
o, (r = a).
Cette équation détermine a et par conséquent la période et l'amor- tissement dos oscillations de rang n correspondantes.
358. — On trouve facilement la distribution initiale d'électricité correspondante. L'équation d'Ampère pour un élément de surface de la sphère donne la force électrique normale :
r^ sin e U-rk -+- tc^j E^. = — ^ (Mr sin 6)
ou, dans l'isolant (K = o)
(|)E^ = |;(M/^^)-
La densité superficielle à un instant quelconque est donc
e, = — . - ^ (m v/i - !^^).
lia 4itO r ô(ji
Si la force électrique normale interne est négligeable, ce qui est approximativement vrai à toute époque, puisqu'elle est de même ordre que la composante tangentielle, et rigoureusement vrai dans l'état d'équilibre initial :
, . 1 A.n(w4- l) n — I otr ^n /e" ^*^\
('^^)o = --4^ — 6 — -^ « s^.\;^rnjP"(i^)
car l'équation qui définit P„ (|x) est
comme on le déduit facilement de l'équation générale des Y„.
CHAPITRB V. — OSCILLATION d'uNI SPhIcrB
3!9
359. — Formons maintenant l'équation en a, pour l'oscillation de rang n
L /® \ = (— l)n •
(wr)» -I- ^ . (n -H 1) (a«r)»- ' -4- ...
(n -+- w -h i)! , . -+- ^n-m-i)!(m-M)! ("*')
(an -^ i) !
n — »» — I
Puis
)i «, - '«
i "e
+ (" + "}+ Q! („„)»-(».+.) (n — m — i)!(w-+-i)!^ ^
-+- ... + (an -H i)!j
+ — rn(2aa)"-' -i- (n— i)n(7H- i)(2«a) "-^-f- ...
(n + m-4-i)! /,,^Nn-ffl-2 , l
(n — m — a)! i^w-*- i)! ^ ' J
360. — Pour la première oscillation (n = i) l'équation est a^a- + <xa -h 1=0
=0.
d'où
1 , ./3 aa = ± I — •
2 a
On a d'ailleurs
Pi M = K,
le facteur de propagation est
^ (Û't - r) r±r t ^ (û't - r).
3a
320 PKOPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
La période est
T = ^^^
et le décrément logarithmique
9L — ^ L
Le rapport de l'amortissement à la fréquence est un nombre, indé- pendant du rayon de la sphère très conductrice.
Dans une sphère de matière peu conductrice, ce rapport dépen- drait du rayon, et l'on pourrait évidemment réaliser des amortisse- ments supérieurs à celui-ci ; mais l'amortissement moindre, c'est-à- dire la vibration plus prolongée n'est pas réalisable au moyen de sphères.
361 . — De l'expression de la force magnétique on tire
a r'* \ rj
et
Ce champ de force magnétique est exactement celui d'un doublet de moment
aA açi't
placé à l'origine. Les deux hémisphères sont constamment de signes contraires.
Sur la sphère conductrice, la densité électrique est à tout instant proportionnelle à -, ou au sinus de latitude ; la charge totale sur une couronne dl, de hauteur axiale dz, est proportionnelle à d sin-X, ou à d(z^). On peut la représenter aussi comme équivalente à une distribution de moments par unité de longueur
3A z^ — g" aii't.
CIIAPITRB V
08CILL;ITI0N D uni SPHERE
321
362- — Donnons maintenant la forme réelle à cette vibration. Le moment du doublet central est
-^,e--iA,,....v:i4-lui„u^:i4)- La lorce magntHiquc correspondante est
M-= —
;V'-^:.
127 — >•
(■
A
\\ na
Î-- cos'-- U^ — r)
W , k\l-S\ . vXp,,,
- H ^— )sm-- (Û^ — )*
r ia I iiv
et les composantes de la force électrique sont
-i — ^— - Icosî— (û/ — v\
\ a r r / ta^
\ a r r 1 ia '
, ut — )•
5,= 2t2'\ »— "-^e ~^a
r A+E
I aa)
Bv/3
A
A— B/3
^»]
co8^— (127 — r
— Av'ii H B+Av/;î
ir^
a|sin^(tn — j 2a^
'•)
363. — L'amortissement est énorme : l'amplitude diminue dans le rapp(»rt - pendant le temps qui équivaut au parcours d'un diamètre
de la s[»hère, et au bout d'une période l'amplitude est réduite au ' environ. Cet amortissement est dû, tout entier, au rayonnement, puis- que nous avons supposé la conductibilité de la sphère infinie; la communication avec l'extérieur se fait en effet par une très grande surface, grâce à la forme spbérique.
Les cliamps extérieurs sont analogues à ceux du doublet, de Pcarson et Lee, a\t c li s caractères particuliers qui résultent du
grand amortissement.
21
322 PROPAGATION DB L*£LBCTRICITé
La force magnétique perpendiculaire au plan méridien est donnée, dans le champ extérieur, par l'expression
2 j — Slt — r
avec
Qt — r ,- ©= 1/3
2a ^
8 étant un anjJîlede phase qui n'est pas déterminé par la période vi- hratoire seule ; nous ne nous occuperons pas d'ailleurs de fixer l'ins- tant initial, ni de dire comment la vibration a été produite, et nous prendrons la forme la plus simple
tg 0 = tg Tî-
364. — Quant à la force électrique, située dans le phm méridien, nous la considérons comme résultant d'une composante perpendicu- laire au rayon E^ et d'une composante radiale E,. : la première est donnée par
E, = Au v/, - f; 2 ( . - ;".)V/. - ? + ?; e~ ^=^ cos (ç + 0')
ç a la même valeur que plus haut, et on a
sm ^
s 0' =
î: a
Ces deux forces M et E, ont le môme caractère général ; elles dé- pendent toutes deux de la latitude et de la même façon et leur phase est la même à grande distance ; mais à petite distance do la source 0 et 0' sont nettement différents : pour r = a on a
»\ -s/ '*
0=0 cj = - .
o Quant à la composante radiale, on a
Er = Aii . ;^ ^; y/ 1 - ^ 4- ^ e " ~^~ ros (cp 4- ô - ^ -+- ^) •
CliAPITRB V. — OSCILLATION D*U?«« 8PHKRB 323
Elle eA négligeable au loin devant la composante transverse. A
cause de la différence de phase "^^ (mi existe entro ces doux «oin-
o
posantes, la fore»» électrique décrit en r«'alité une petite ellipse (|ui est d'autant plus aplatie qu'on est plus loin. Quant à lu perte de phase par rapport au mouvement à l'origine elle ost intermédiaire entre - et o, mais beaucoup plus grande (|ue celle calculée par Pearson.
365. — Ainsi la splu're permellrait de réaliser un (iniil>lol très amorti grâce au rayonnement; mais, tandis qu'avec rosciilateur de Hertz, les ondes autres que l'onde fondamentale, sont tout de suite d'ordre beaucoup plus élevé (2 ou 3 octaves), avec la sphère on pro- duira à la fois tous les mouvements qui ont des périodes de même ordre : à moins d'exciter la sidièrc dii fa«;on à produire systé- matiquement le doublet, on obtiendra facilement les 2" et 3*^ har- moniques intenses, au lieu que l'excitateur de Hertz, n'émet avec intensité, comme un diapason, que sa période fondamentale.
Pour la seconde oscillation, l'équation est
a^a' -h 3x-a- -+■ 6aa h- 6 = o
dont les racines sont
aa = — 1,6
et
oLa = — 0,7 dr i. 1,8 ;
liiiu' e.<t une onde rapidement amortie : l'autre est une oscillation à amortissement rapide et à période plus courte <|ue pour n =: 1 .
La fréquence est 1 ,4 fois plus grande que celle de l'onde fonda- mentale (à peu près la quinte) et l'amortissement l>eaucoup plus grand.
Pour le troisième harmonique ou a une équation biquadratique
qui donne
aa = — 0,85 i 2,76 i,
aa = — 2,i5 ±: 0,8 i. On trouve ainsi de façon générale des périodes de même ordre <iue
324 phopaga.t;on de l'électricité
la période fondamentale, mais avec un amortissement beaucoup plus ^rand, tandis qu'au contraire, aux araortissemonts de môme ordre, correspondent des périodes beaucoup plus petites.
366. — Ainsi, quand on excite la si)bère sans précautions, on crée un état oscillatoire très complexe, surtout au voisinage immédiat de la surface. Il peut y avoir des périodes très peu différentes d'amor- tissement très inégal, donnant l'illusion d'un amortissement fonction de la distance pour une période unique ; peut-être un phénomène de ce genre se produit-il aussi avec des oscillateurs de forme différente, et est-il intervenu dans les expériences de M. Kiobitz ; je crois pour- tant que dans ce cas, ce sont les réactions du résonnateur sur l'oscil- lateur qui ont joué le rôle principal (').
367. Ondes simples- — Il semble assez difficile d'exciter une onde simple dans la sphère ; il faudrait pour cela produire une distribution centrale simple, comme celle d'une sphère placée dans un champ électrique uniforme, et de plus, détruire ce chamj) uniforme instanta- nément, c'est-à-dire en un temps beaucoup plus i)etit que la période propre de la sphère. Or pour produire un champ uniforme il faudrait placer la sphère entre deux plateaux de rayon plus grand que son diamètre; et ceux-ci auraient par eux-mêmes une longueur d'onde bien supérieure à celle de la sphère et un amortissement bien plus petit.
S'il s'agit des oscillations du second type, dans lesquelles la sphère équivaut à un doublet magnétique variable, on se heurte à la même difficulté ; on produira bien l'état initial en mettant la sphère dans une bobine parcourue par un courant constant, puis supprimant ce courant. Mais la longueur d'onde du circuit auxiliaire sera bien plus grande que celle de la sphère et l'amortissement bien plus petit.
(h KiEDiTT!. — Ueber die electrischcn Schwingiingen eines stabfOrmigen Lcilers. — Drude Ann., t. V, 1901.
M. UniLLoum. — Influence réciproque de deux oscillateurs voisins. — Ann. Gh. et Phys., l. X.WII, niou.
M Urillouik. — Influence réciproque de doux oscillateurs voisins. CarncItTo articulier des discontinuités. — C. iî., l. CXXXVI, 190:5.
(HAPITRB V. OSCILLATION d'unB SPIIÈRB 325
Dans 1 un <( l'autre cas, on pont srparcn* les (Jeux plHMioinriies, en rendant la variation du circuit auxiliaire lente par rapport à celle do lu sphère. Il faut seulement faire attention à ce qu'est alors l'état initial.
L'étincelle auxilaire, (|ui provoque le cliangeinont brusque du champ électrique ou magnétitiue, doit commencer brusquement, et persister {Mandant un temps supérieur à toute la variation de la sphère ; c'est donc un changement brusque de la vitesse de variation du champ que Ton provoquera, ce qui est évidemment un mode d'excitation peu intense, applicable seulement à des recherches de laboratoire.
Au contraire, pour avoir des oscillations intenses, il faut comme Righi ou Lodge charger la sphère principale par une étincelle émanant d'une sphère beaucoup plus petite. Ces sphères auxiliaires ont un amortissement beaucoup plus grand que la sphère principale et ne troublent pas sensiblement le phénomène lointain ; mais elles ap- portent toujours une perturliation dans son voisinage immédiat. En oulre, la distribution initiale diffère de celle que donnerait un champ uniforme et disparaît d'abord aux pôjos de la sphère où l'étin- celle jaillit, ce qui produit un état initial d'une extrême complexité.
CHAPITRE VI
OSCILLATIONS DANS UN ELLIPSOÏDE DE RÉVOLUTION AFTOUR DE SON GRAND AXE
368. Equations du champ en coordonnées orthogonales.
— Formons les équations de Maxwell en coordonnées orthogonales quelconques s^, s^, Sg. Un élément de longueur ds est donné par :
ds- = g-V
ds,'
ds^ S,=
cte
Une ligne obtenue par l'intersection des surfaces s, := cte, s^ est normale à la surface s, = de. Ceci posé écrivons d'abord les équations de Faraday : le travail de
la force électrique, le long d'un petit circuit est égal à la variation du flux de force magnétique à travers ce circuit (n° 304). Consi- dérons sur une surface ,sr, = cte un petit rectan- ^'^" gle dont les côtés sont les
intersections de la surface avec dos surfaces voisines s, = cte s, r=z de.
Le flux de force est :
M, X surface ABCD
CHAPITRC VI. — OSCILLATIONS DANS UN BLLIP8OÏ0K DB REVOLUTION 327
d'où la variation de flux
M s] S, • Le long du coté AB le travail de la force électrique est E, ^. Le long du côté CD le travail de la force électrique est
-"'.[1-^(1)4
Donc l'ensemble de ces deux côtés donne le terme -JL(h)ds,ds,.
On trouve de mrine pour l'ensemble des autres côtés Finalement on a comme première équation de Faraday :
Les deux autres équations analogues se déduisent de la précédente par permutation.
Les équations d'Ampère s'obtiennent de la môme façon : on trouve en unités électromagnétiques
. . ^ ' / p ' «^ï^i ^ L "^ /Mi\ ** {^jC\
Dans le cas où l'on veut étudier les mouvements électriques à l'intérieur d'un corps dont la surface fait partie d'un système ortho- gonal, on choisira les surfaces s^ = de, par exemple, de façon que l'une d'elles soit la surface du coq)S ; il faudra écrire à la surface les conditions de continuité relatives aux composantes tangentielles Mj et M3, Ej et E3, et aux composantes normales [iM,, KE,.
369. Systèmes de révolution. — Dans un système de révolu-
328 HHOPAGATION DE l'ÉLKCTRICITÉ
tion tous les phénomènes peuvent être indépendants de razimulh .Ç3. Dans ce cas, les équations deviennent Équations de Faraday :
/ ôM, o ç ô /E3
^Mi == S, S3 -^ i^A
(3) ; -Tr--^'^'.TAsr;
àt
- U (I) - 4 (s!) J ^^ ^^
(4)
Équations d'Ampère : 4^AE, + ^ -^ _ _ S, ^3 - (^^
1 dE„ r. c^ à /M,
Nous pouvons subdiviser ces six équations en deux groupes con- tenant l'un Ml Mj E3 ; l'autre E, E^ M3.
Le premier correspond au système dans lequel la force magnétique est dans le plan méridien et la forceélectrique tangente au parallèle. Le second correspond au système dans lequel la force électrique est dans le plan méridien et la force magnétique tangente au parallèle ; on pourra, par les circonstances initiales, susciter l'un ou l'autre de ces systèmes.
370. Ellipsoïde allongé de révolution. — Le cas particulier que nous voulons étudier est celui d'un ellipsoïde de révolution au- tour de l'axe le plus grand; prenons comme surfaces 53 = c/e, le système des plans méridiens ; soit p la distance à l'axe, on a
.3::.= e, ^ = prfO
d'où Sg
'3 1
lAPITRB VI. — OSCILLATIONS DANS UN BLLIPSOÏOB OK RÉVOLUTION 329
Prenons ensuite comme surfaces de révolution orthogonales les ellipsoules et les hyperboloïdcs de révolution homofocaux, et pour IKirauK'lies »,, «„ le demi grand axe des ellipsoïdes et le demi axe réel des liy()erboloïdes, divisés par la distance focale /*. Supposons les deux foyers à la distance f de l'origine sur Taxe des z et soient r, /•', les distances d'un point M à ces deux foyers : on aura
•xs^f =^ /•' — /•.
Soit -t l'angle FF'M ; nous avons dans le triangle FMF'
,.2 __ yii -f- 4/^ — \fr' cos % ; or )•' cos a' = - -t- /
,.â
donc - =
D'autre part
4/-
= «i «/.
3- = r - sur % = j
2 ,' ,.'i
r'^ cos* a'
d'où
(5) o = /-v/(i_s,»)(V-i).
Nous aurons ainsi les coordonnées du point M en fonction de s^ et s.^ ; il est facile d'ob- tenir l'arc ds :
ds- = dr- -h dn- r= — 4 — ' 1 '- ^--.
g," — 1 JjZLÎJL.
s, — s^ s, Sj
Fie 56.
d'où on déduit
(«
Nous avons ainsi le tableau complet des formules.
330 PROPAGATION DB l'ÉLECTBICITÉ
371. — Considérons le cas où la force éloctri(|uo est dans le plan méridien ; E, est la composante normale à rellipsoïdc. 11 faut prendre alors les équations en E,, E, et M„ qui sont pour l'ellipsoïde :
(7)
On peut poser
(8) ?U, = A,,
ot les équations deviennent, à l'extérieur du conducteur
( ^J = _ ^' k/1^z11^ ^
] M pj- \ s^'~ s/ àS,
\ dt pf V S^^ — S./ dSj
Dérivons la troisième équation par rapport à t, et remplaçons —^ et * -^ par les valeurs précédentes, il vient
en remarquant que l'expression (5) de p donne
14 /«ZEj — _J__i,
p V 1 — s^-' 1 — ^2^ /■ '
1 . /i — " '^
Multiplions les deux membres par p.
2
s,' àS,
Il n'y a pas de difficulté particulière à l'intérieur du conducteur, mais nous n'avons pas besoin des équations dans ce cas, car nous
CHAPITRE VI. — OSCILLATIONS DANS UN BLLfPSOÏOB DB RÉVOLUTION 331
avons vu que, pour les courtes périodes, la condition de continuité se réduit à ce que la force électrique soit normale à la surface du conducteur.
372. — Posons 11) A3=-Ae f,
0 étant un nombre réel ou imaginaire. L'équation (70) devient
e.A(v-»,')=(v-o:-;^+(.-o:^.
Kn écrivant cette équation sous la forme
on voit qu'on peut obtenir des solutions simples, telles que A soit le produit de deux fonctions, l'une de s^ seulement, l'autre de *, seulement :
(»2) A = 8„ («0 ^n (O.
qui satisfont toutes deux à la même équation différentielle
lU
où 11^ est une constante arbitraire.
Lorsque U„ représente 8„, s est égal à 4-,, et est plus grand que i. Lor8<iue U„ représente ?6„, s est égal à s^, compris entre — 1 et 1.
La fonction E„ («,), est constante sur cha({ue ellipsoïde », = de, mais varie île l'un à l'autre. Dans un espace indéfini extérieur à
l'ellipsoïde, elle doit évidemment s'annuler pour les très grandes
— e*, valeurs de 5, à peu près comme — , car s, joue à peu près le
*i môme rôle que r dans les problèmes sphéri(iues.
332 PROPAGATION DK t'ÉLECrKlCITÉ
La fonction X„ (Sj) est constante sur cliacpie hypcrboloïde, et définit la distribution éle('tri(|ue à chaque instant sur rdlipsoïde elle joue le rùle des fonctions de Lcgendrc dans le problème sphéricjue. Gomme l'ellipsoïde est complet, et que l'axe polaire n'est pas une ligne de discontinuité, il faut évidemment que la force magnétique
^ ^ ? /v/(i-V)(V-i)
qui est perpendiculaire au rayon p, soit nulle sur l'axe polaire, au moins de l'ordre de v^i — SgS ^t par conséquent que % (s^) y soit nul au moins comme i — 5^-.
Cette circonstance détermine la constante 'li„ pour cbaque valeur dee.
On a ensuite
(i5)
373. Comparaison avec le problème sphérique. — Insistons un peu sur la comparaison avec la sphère, et montrons les analogies et les différences.
Comparons l'expression
' ' y/i — s,Vs,^— 1 A
à celle que nous avons obtenue pour la sphère
(v/x-.^f)R„."
pour des vibrations analogues ; s.^, (|ui est le cosinus de l'angle de l'asymptote avec l'axe de révolution, correspond à ,u ; *,/" correspond à r.
L'équation en I» (ii° 358)
CHAPITRE VI. — OSCILLATIONS DANS UN KLLIPSOIDB OB RivOLl'TION 333
donne en d<'>rivanl
^- ('-"')•,'"
et la fonction qui correspond à 3t*. ^s^) est 1 1 — n'^) -. Elle en diffère surtout parce qu'on sait à l'avance, pour P„. la valeur [ n (n -• \j] qu'il faut donner à H „, et parce que 0- n'outre pas dans Téqualion en 1*, pour la sphère. l/i'(jiialinii (Ml U,, 11^ 353
■ > II, n -(- 1 M\„ ,,,
-1- i — a- H,, 1:= O
devirnt pour /" ' 'U„
et c'est la fonction 11^)" * ' «lui correspond à i'< (s, .
374. — On pourrait se figurer, par analogie avec d'autres ques- tions qu'une solution simple pour l'ellipsoïde, doit toujours devenir très peu différente à grande distance de la solution simple de même rang pour une s[)hèrc : on un mot, que la forme de la source doit toujours devenir indifférente à gronde distance. Cette conclusion serait trop rapide.
f^'é([ualion en «H tend bien, pour s^ très grand vers la même forme apparente (juc l'équation en R/" + ' ; car elle ne contient pas 0- en évidence ; mais on ne sait pas à l'avance quelle est la valeur de % en fonction du rang de la solution. C'est seulement si la constante % était rigoureusement ou approximativement égaleà n {n -+■ i ), [n étant un entier que la solution pour l'ellipsoïde tendrait vers celle relative à la sphère, aux grandes distances.
Or l'équation en K, qui contient 6* et li montre que la loi de dis- tribution en latitude, à toute distance, aussi bien grande que i>etite, reste profondément différente, en général, de celle due à une sphère. Il est facile d'en saisir la raison en se reportant à l'interprétation physique des équations. Nous avons vu en effet, dans le cas le plus
334 PhOPAQATION OB L'ÉLECTRlClTi
simple, qu'un doul)let ne peut être équivalent qu'à une sphère, lors- qu'il est oscillant avec amortissement convenable, ou h une surface à deux nappes, lorsqu'il est amorti pur, (n"' 325-326); il ne peut donc jamais être équivalent à un ellipsoïde. Ainsi, déjà dans sa forme vibratoire la plus simple, où il n'y a que deux zones de signe opposé sépanîes par une seule ligne neutre, l'équateur, un ellipsoïde ne peut pas être remplact'; par un seul doublet central ; les sources équivalentes pour l'extérieur sont, ou des doublets distribués d'un foyer à l'autre le long de l'axe, ou un ensemble de sources centrales de tous les degrés de complication ; et comme ces sources de degré élevé contiennent toutes des termes en -;, la complexité de la distri- bution en latitude persiste à toute distance.
375. Valeurs limites de '\\>. — Pour déterminer le cas limite, revenons au point de vue mathématique. Les coordonnées elliptiques
reviennent aux coordonnées sphériques lorsque f devient nul, ,., s.^
et s,/* restant finis. Dans ce cas l'équation i."» prend en effet la forme des équations i6 ou 17 suivant qu'il s'agit de s, ou de s,/"; la cons- tante H) doit donc être égale dans ce cas à n (a -+- 1) pour le n' état vibratoire, lorsque l'espace extérieur à la sphère est complètement iibre, et comprend par conséquent les deux parties de l'axe polaire. Dans ce cas la valeur limite de 'H>„ pour 0 nul, est donc 71 (n 4- 1) ; c'est le premier terme du développement de IL suivant les puissances croissantes de 8.
Dans le cas où l'espace libre autour de la sphère est limité par des cônes entourant l'un ou l'autre des demi-axes polaires, soit d'un milieu conducteur, soit d'un milieu diélectrique différent de celui qui occupe la zone équaloriale, ce ne sont plus les fonctions P„ de rang entier qu'il faudrait employer; dans les équations relatives aux coordonnées sphériques, les ?i ne seraient plus entiers ; il faudrait en déterminer les valeurs par les conditions de continuité à la surface des cônes ; la suite des nombres n serait donc fonction des latitudes X, , X, de ces deux cônes. Il en serait de même dans les problèmes ellip- tiques correspondants où les surfaces limites sont les l)y{)erbolo'ïde8
CHAPITRE VI. — OSCILLATIONS DANS UN BLUP80Ï0B DE RÉVOLUTION 335
ayant ces mômes cônes pour cônes asymptotes ; et le premier tenne (lu développement des llvi on puissances iM)sitive8 de 8 est encore le produit n{n -+- i) déterminé par le problème spliériquc en fonction des deux latitudes limites X,, X^.
376. Recherche de la fonction K {»t)' Méthode de M. Maclavirin. — H faut donc avant tout former la fonction M\ (s.^). Nous suivrons pour cela, à quelques différences de notation près, la môme marche que M. Maclaurin, qui s'est livré à une étude appro- fondie de cette équation et de celles plus compliquées qui se pré- sentent, lorsque l'azimutlidu plan méridien intervient (').
Nous avons vu que la fonction jK'. doit s'annuh'r comme (i — »,*) sur l'axe polaire ; i)renons donc, avec M. Maclaurin, la fonction K sous la forme
K = {i ~ 6-) y, l'équation 1 3 devient
(,8; (i _ ^ï) ^ _ 4s ^ -^ » (_ 2 -f- IL — 0^' -^ OV) = o.
Nous pouvons prendre comme intégrales de cette équation soit une série développée suivant les puissances paires de s, soit une série développée suivant les puissances impaires.
377. Série paire. — Posons
y = 2 ^■"" *""
(«) MACLACRi?t. — On the Solutions of tlie équation (V- -f A-) i^ = o in ellip- lic coordinates andtheir physical applications. — Cambridge Philos. Trans, 1898-99. — Vol. XVn, p. 41-108. — Section II. Spherolds, p. 79.
Notations : Maclaurin — .y (i — x^) ^* p.
Texte du livre — JC — 0* — 6^ + ^,.
Le cas particulier qui nous importe est celui de n = i (notations Maclaurin). p. 84.
336 PROPAGATION DE i/ÉLECTBICITÉ
et substituons dans 18, nous trouvons pour coefficient de s-'", qui doit être nul quelque soit m :
(19) ('im-+-i)('^.wî-l-2)a,^^. 2 — [(2m-+-i)(2m-r2) — % + 02]a^^ + 02ai,„_^=o.
Si on prend m égal à — 1 , et si on choisit a _ , nul, cette équation donne, de proche en proche, a-j, «_„ ... tous nuls. On peut donc prendre une série exclusivement formée de puissances positives, et si on choisit a^ égal à 1 , on en déduit
— %-+-02 -h 1.2 a, == + — — —
a.
|
— % -h 0-^ |
'"-^-K |
02 |
|
3.4 — '11. -h 6'^ |
"2 -+-5.6 |
3.4 02 |
|
" 5.6 |
""' 5.6 "" (am-f- i)(2mH- 2)^ |
|
|
(2m -t- |
\) {2771 -h |
2) |
■0)' «,:
_ 0^
2m + i (2m -t- 1 j (2m H- 2) -'" (2W-t-l;i^2^-l-2) '^"'
Le rapport d'un coefficient au précédent est
, V a,„, 4. , — % H- 0' 0- a _„
378- — Deux cas peuvent se présenter :
1" Le rapport ^'"-^^ reste p.ni quand m nugrnenlc indèfini- menl ; alors le premier et le dernier terme de droite dans l'équa- tion (20) tendent vers zéro, quand m croit indéfiniment et on a
Lim. "^^^^^^ = 1 .
La série est alors sûrement divergente pour s- supérieur à 1 ; elle l'est aussi pour s^ = 1 , comme on s'en assure en constatant que l'expression m l ^^"' 1 j est inférieure à 1.
On a en effet comme valeur approchée
«,„. 4^=^
CHAPITRE VI. — OSCILLATIONS DANS UN BLLIPSOÏDE DE RivOLUTION 337
d'où
Lira, m (-^ i ) =Lim. -r- = o.
Cette première série devenant divergente sur Taxe, quel que soit % ne peut donc ôtre de nul usage pour la fonction >(> relative aux ellipsoïdes complets.
a" Le rapport ^i""^* tend vers zéro quand m augmente indéfini- ment. S'il en est ainsi, le second membre de l'équation (20) tend vers zéro ; on a par conséquent à la limite
Lim. -^ '-
La série est alors convergente dans tout l'espace, pour toute va- leur réelle ou imaginaire do s, et converge au loin, comme Cosh. (65).
C'est cette série qui convient seule pour former la fonction 56 d'un ellipsoïde complet, lorsque celle-ci est paire.
379. Série impaire. — Posons de môme (21) y = bi s -h bi s"^ -+-&,*' +'•• -+-^2m-i «''"'"*
et substituons dans l'équation (18) il vient {a2)27n{'lm-\-ï)b,^ + ^—[^im{im-\-l)—%-h(i']b,„.^-\-%n,„.^=o.
Cette relation de récurrence conduit aux mêmes conséquences que la précédente.
Lorsque le rapport .^"'^ ' reste fini, sa limite est 1 , et la série est divergente pour s- = 1 ; elle ne nous est d'aucune utilité. Lorsque le rapport y~^ tend vers zéro, pour m indéfiniment
croissant, la limite est ; : et la série est convergente pour
2Wi I 27/1 -i- 1)
toute valeur de s, et au loin comme Sinh (0«).
C'est celle qui convient pour former les fonctions J(' impaires d'un
ellipsoïde complet.
22
338 PROPAGATION DE l'ÉLBCTRICITÉ
380. Condition pour que ^^^--^ tende vers zéro- — Cette con-
dition relative à la valeur limite nulle du rapport *'"-i^ fournit une équation transcendante entre N et 0^ dont il faut déterminer ap- proximativement les racines (').
Nous avons déjà remarqué (n"* 375) que ces valeurs se réduisent à n (w + i), lorsque 6^ s'annule; nous admettrons en conséquence qu'elles sont en nombre infini, et ({u'elles restent distinctes lorsque 6^ est différent de zéro quelconque.
En prenant n impair, égal à ap — i , on annule le terme indépen- dont de G^ dans le jo'«"« coefficient a.^^ ; et tous les coefficients qui suivent ont 0- en facteur, mais tous ceux qui précèdent ont un terme constant.
Cette détermination fixe la valeur du terme constant a de tous les coefficients inférieurs à a^j, et donne
Cela posé, les formules donnent
a,i, =
2p. ap
en posant
% = 2jo (ap — i) -h 0,62.
Appelons N^ la partie indépendante de 6- dans Q^, nous aurons
^^^ = ap. ap- I [%-2-«2,-;-%-2N;J -f- ..0^ + ...
Si maintenant nous déterminons No de manière que a.^^ |_ ^ ait en facteur 0*, tous les coefficients suivants auront aussi 6* en facteur : cela nous donne
^ '-^ ^ * ap.(22)— 1) — (ap — 3)(ap — a) (2/)-hi)(ap4-2) — ap(ap — ij'
C'j Voir Maculrin. — ' Loc. cit., p. 49, p. 5y el suiv., p. 82, p. 84.
CIIAi'ITRB \M. — OSCILLATIONS DANS UN ELLIPSOÏDE DE RKVOLUTION 339
381- — Au moyen de celte valeur de Nj, exatlo, nouspouvoos
calculer les termes en 6* dans a^ a^^-^', le ternie en 6* dans
a,^. Posant
% -— ap. (ap — i) 4- NjO* -\- N,e*
nous pouvons calculer le terme en 0* de a.^^ + j, a^^, } 4 au moyen de N^ seul. Ecrivant que 0,^4. » commence par un terme en 6*, nous déterminerons 7..
Au nioycn de ce Nj. nous déterminerons tous les termes en 6* des a,... ajj,_2, et tous les termes enô' de^,^,, a^^ 4.4,.. Dans les termes en 8' de fljj^^ ,;... entre en outre N,j, dont nous déterminerons la valeur en écrivant que 0,^,4 g commence par un terme en 6*.
D'une manière générale, le coefficient Nj^ de 0»* dans % sera déter- miné en écrivant que a^^j^ ^^ commence par un terme en 6" + *.
La détermination se fait de m«Mne en partant de IL =(2/> -t- 1) ip, pour la série impaire (21), (22) (n° 379).
382. — Voici les premières racines, telles que les a calculées M. Maclaurin en suivant une marche différente de la précédente. 1° Série paire :
(24) 'U'=I2 + -|8'+ '""^^ "' •
i5 77. 3*. 5^
39 ^ 7. y. iV 2° Série impaire :
'IV = 6 4- "^ 62
1029 33. f
^2Ôj / U'" = ao + ^ 6^ H- -r% ^ + ...
] 77 7'iri3
Les racines % qui correspondent à la série paire étant différentes de celles qui correspondent à la série impaire, nous avons donc pour
340 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
chaque valeur de %, ainsi déterminée, une intégrale de l'équation 18, finie dans tout le plan ; nous l'appellerons y, .
Pour avoir l'intégrale générale do l'équation 18, relative à oette valeur de %, il faut en trouver une autre, de parité différente, et qui deviendra infinie pour 5^ = 1 .
383. Equations entre ^T et ()-. — Au lieu de procéder de proche en proche, on peut former directement l'équation qui détermine ïb comme je vais le montrer.
Considérons l'équation 1 3 :
|
(26) |
|
|
et réquation |
|
|
(27) |
n{n -h i) ,r
L'intégrale U développée on série paire ou impaire a été formée n"'' 377-379, et les équations (19) et (22) donnent les coefficients successifs.
L'intégrale V est connue :
(28) v = (i-s^)^-P„(.)
P„ étant la fonction de Legendre de rang n.
Multiplions la première équation par V, la seconde par U, formons la différence et intégrons entre — 1 et -h 1 , il vient
Lorsque n est entier, Y est nul pour s == ± 1, et - est fini. Si donc nous voulons qu'il en soit de mémo de U, le premier inemhre est nul, et l'on doit avoir
(29) 0» / m„ds - [% - nin 4-0] / -^^^ ds = 0, c|uel f|ue soit le nomhre entier n.
CHAPITRE VI. • - 0SCILLAT10XS DANS UN ELLIPSOtOC DB RÉVOLUTrON 341
Kn remplaciiiit T par i — ,s-) //, cl V par sa valeur, ré(|uati<)n devient
(:io) |iv-n(«-r.l / (*^-' 'J~<^'+^'- / i^'—^rn:'^ "
384. Série paire. — Cherchons niainlonanl, au imtyen de celle é(iuation, une des racines de la série paire, n impair) et regardons en même temps les coefficients comme développés suivant les puis- sances de 6».
(3') «,« = 2'*-^/'®"'
avec
^Tfc = n (n 4- ï) -h N,e* + N^O^ -f- ...
dP Prenant l'équation (3o), relative à cette même valeur de n, — -
est un polynôme de degré n — i pair, indépendant de 6, et nous pouvons déterminer les coefficients de proche en proche par une marche régulière. Les équations ( 1 9) développées suivant les puissances de 6* donnent
am {im — l)(a.„„2,, — X, . ...)=- *2m_2.i,,-» — ='2m-V,i;>_i
n{n-\- \)^i,„-i,n,
I -h Nj^j^—j, 2p — 2
-4- \ -x
Quel que soit w, les coefficients de 0-/' sont complètement déter- minés au moyen des N jusqu a N^^ compris, et du terme constant, a,,, ,^,, qui reste arbitraire, et que nous prendrons nul pour toute va- leur de p autre (jue zéro.
385. — Dans 1 équation (3o développée en 8*, nous rencontrerons les
les intégrales
/ V^'"^rf«=[s*'"P„] '—2m / V
Vuds.
342 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITE
P„ est égal à + i pour s = -^ i, et à — i pour s = — i (n im- pair) ; le premier terme est dcrnc égal à 2. — Quant à l'intégrale du second terme on sait que dans le cas actuel (n impair), elle est égale à zéro pour 2m — 1 «< w, et à
_ (2m— 2)(2?n — 4) (2mH- 3 — n)(2m-+ 1 — n)
(33) 2n,„. „ — 2 (2m 4- i)(2m-f-3) {2m -+ n — 2)(2m-hw)
pour 2m — 1 > n, avec la valeur 2 ^^ _^ ^ , si n = i. L'équation (3o) devient
[%— n(n+ 1)] ^(a^,,, — a2,„_2) (1 — 2mn„„„), On a d'ailleurs évidemment
2 («2m — «2m -2) == 0, ^ (a,,,, — 2a2,„_2 -h «,„,__ 4) = O.
Ecrivons séparément le coefficient de de 0-^' + ^ dans cette équatio n il vient : (34)
= ^ (*2m, 2;; — 2a2m _ 2. 2;, "^ ''2m — 4^ î/-) 2^2- "m.n.
L'équation (32) ayant déterminé les coefficients a^^,^^ au moyen des Nj^, l'équation (34) détermine N^^, 4. 2 au moyen de ces coefficients "2*'2^ et permet une nouvelle application de l'équation (32) pour la détermination des coefficients aat-î;, 4 a-
Ce calcul de proche en proche, est d'ailleurs, réduit en formules, le même qui a été indique au n" 381.
CHAPITHK VI. — OSCILLATIONS DANS UN ELLIPSOÏDE DE RÉVOLUTION 343
386. — Le résulUit final est lo dôveloppcment de la fonction y suivant les puissances croissantes de 0*
y:^Y„4-0-'Y, -i-O^Y, + ...
avec
etc..
On peut d'ailleurs écrire facilement les équations différentielles qui définissent les fonctions Yq, Y^,,.. ou mieu.x, les fonctions
0^ ]u, = (i-*'-)Y„
du développement
U = U, 4-e»U, 4-0%-H...
L'équation (i3) développée en 6^ donne
(1-5^)'^^ 4-n(n H- i)U, =3 (i_.^-N,)Uo (36) ' '"'
L'équation qui détermine les N, développée de même, devient
et détermine X^,, . , au moyen de U, U,,^,.
Le mode de formation classiriue d'une intégrale particulière des
344 PROPAGATION DE l'ÉLECTKICITÉ
équations (36) avec second membre, n'est ici d'aucune utilité; l'intégrale particulière ainsi obtenue devenant infinie pour s = i.
387. — Série impaire. — Posons
(38) h,n+i=^hm,,,^'^
et encore
% = w (n -M) 4- N262 -t- N^e* 4- ...
avec w pair.
L'emploi de l'équation 3o avec la même valeur de fi permet la détermination des coefficients N de proche en proche. Les équations (22) développées suivant les puissances de 0^ donnent (39) :
nin-{- 1) ^ 2m- 2,2,, -/ + NA„-2.2„-4
\ ~^ ^2Pr2m — 2,o-
Dans l'équation (3o) développée en 6-, nous rencontrerons les intégrales
•^ — I t/ — I
le premier terme est égal à 2 ; l'intégrale du second terme est, comme on sait, nulle pour 2 in < w, et égale à
(4o) 2T,„,„
2w (2m — 2) .... (2m -4-4 — n) (2w -\- 2 — n)
{un -+- 1) (2?w -H 3) .... {2m -+- i -4- n) pour 2m j> n.
CHAPITRB VI. — OSCILLATIONS DANS UN ELLIPSOÏDE DE REVOLUTION 345
L'équation Oo) donne alors pour le coefficient de 0*^* + *, (4i)
+ ^iP ^ (K^-,.* - P,m„) («» + 0 ^«.«
-+-... [=0.
-+- ]^ <?..«-*.2^ — îPîm.â..;, 4- Pîm.Jy) (^^^ -+" "'I"
Ces équations (4o) et (40 détermineront les coefficients p et N.
388. Recherche d'une seconde intégrale. Méthode de Maclaurin — Lune ou Tautre des métliodes qui viennent d'être indiquées permet donc de former de proche en proche les termes du développement en 0* d'une intégrale V de l'équation (i3) et de la valeur de 11- qui rend U : (i — s-) finie dans tout le plan. I^'intégrale ainsi obtenue donne la fonction c"H'(sJ qui définit la distribution à la surface des ellipsoïdes.
Il reste à trouver une seconde intégrale, correspondant aux mêmes valeurs de n , pour avoir par addition l'intégrale générale. Cette se- conde intégrale, de parité différente de celle qui reste finie dans tout le plan, deviendra infinie pour s- = i, comme nous l'avons déjà re- marqué (n" 382).
Plusieurs méthodes peuvent être employées pour cette recherche : indiquons d'abord la métliode classique employée par M. Maclaurin.
Soit //i une intégrale paire, et z l'intégrale impaire de l'équation (i8) pour la même valeur de H . Posons
(42) - = yiu H- V
en appelant ti une fonction impaire, qui devient infinie pour s^ = i, et V une série, également impaire, convergente dans tout le plan.
346 PROPAGATION DB l'ÉLECTRICITB
Substituons dans l'équatiou (18) il vient :
( (i _ s') '^'! - 4s '''''' -+- en- - 2 — 0^ + ov) V ]
Faisons disparaître le terme en yj en prenant
1 r, .ç — 1 1 11
ce qui donne
8^ =
ds s — 1 s + 1 (« + 0' {« — 0"*" et porté dans l'équation (39) la transforme en
389. — Posons
(46) V = A,s -i- A/' ^ ... -h A3„, + ,s'^'"+' -+- ..., et rappelons-nous qu'on a
Ui = «0 + «/' + ... + a,,„ s-'>" + ...,
puis, identifions terme à terme : il vient
6 A3 -h (% - 6 — 02) Aj = 2a, 20 As + (% — 26 — e^) A3 = 4a, 42 A, + (% — 62 — 62) A- -h (26 — % — 282) A3 _ e^A, = Gag
et en général
( 2m (2m H- 1) (A^„, + , — A^,,,-,) 1
(47) I + [% - 2 - 2m(2m - 3) - 62] (A,„,_, - A,„,_.3) [ = o. f H-e2(A2,„_3 — A,,„_,) — 2mfl„„ )
Le coefficient A, reste indéterminé, car on peut ajouter la série impaire (21) sans cesser de satisfaire à l'équation différentielle, — et cela, joint à la présence de 4 coefficients consécutifs dans la rela- tion (4;), rend ce mode d'intégration peu maniable.
CHAPITRK VI. — 0SCILLATI0:(S DANS UN BLLirSOToC DB RBVOLOTION 347
Nous nous conteDtorons de noter que la seconde intégrale de- vient infinie pour «' = i, comme la fonction m, (44)-
L'intégrale dont nous avons besoin pour 8 (s,) n'est pas en effet, liatégrale de parité différente do M'-; c'est celle qui correspond à l'onde émise, qui est la somme dos deux int^'grales paire et impaire multipliées par des facteurs convenables. Il est plus simple de la former directement.
390. — Recherche directe de l'intégrale pour l'onde émise. — Pour cela formons une intégrale de la forme générale indiquée par Laplace
y= / e*'^?(C)
^ a
Subsliluons dans l'équation (i 8), il vient, en supposant f indé- pendante de s,
— s=)e^r/— 4«o: -t-'^i— 2 - e- -+- ov]o (C) e''^ rf;=o.
D'autre part, si la fonction o satisfait à une équation du second ordrp
- \ <>'? *>? ,
ju) rvT -H p rF + C? = o-
on a entre les mêmes limites en intégrant par parties,
(,„[z:-i-.,(pz-f)]V^,[:-*^_i|?-.,z],;=„
Si les limites a, h sont telles que la parenthèse s'annule, l'équa- tion (5o; a pour conséquence
348 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
qu'on peut identifier à l'équation (49) pourvoi que l'on ait
Cherchons à satisfaire à cette équation en laissant^, q, iiidépen-
tlants de s comme cela est nécessaire pour que 9 le soit aussi, et
posant
Z = Se^^\ il vient
= ov (1 — r^) _ 4e s; -^ %— . 2 — 02 + o-^r^.
Identifiant terme à terme, on en déduira
S = 1 — Ç2
^s = % — e^ -\- (s%K
L'équation (5o) en o est donc identique à l'équation (i3). Soit donc y^ la première intégrale, valable dans tout le plan, (382; ob- tenue pour l'équation (18) nous pouvons prendre
et dans (48)
(53) y^ (5) = / (1 _ V) y^ (-•) e^;. ^ç
si les limites a, h, sont convenablement choisies. 391 . — Portons ces valeurs dans le premier terme de l'équation (5 1 )
(54) z|^,(pZ_.f) = e-'(.-?':4t-"^S..]
Cette expression prend la même valeur nulle, aux deux limites « = — 1 , 6 — H- 1 , quel que soit s. On peut donc adopter ces deux limites dans un premier cas, et on a (55)
j {^-^')y. (^) e '-^c^Ç = 2 y (I - Ç^) [y, (K)
CRAPITRK VI. — OSCILLATiOMS DAMS UN BLLIPSOÏOE DK REVOLUTION 3 49
Cetlo intégrale, de même parité (|ue y,, et évidemment finie iK)ur s^ = zh 1 , et dans tout l'intervalle, ne peut différer de y, que par un facteur numérique :
£
4- ' . .- . , e;
I
y. (0
392- — Pour avoir la seconde intégrale, supposons que nous avons pris celle des deux valeurs de 0 dont la partie réelle est négative, et prt'Hon-; pour limites a = H- i, ft = + » :
»- + I
Cette intégrale diffère certainement dey,, car elle contient à la fois des termes pairs et impairs.
Les termes de la formule (54) sont d'ailleurs nuls pour ^= t.
Pour ^ = + 00, rappelons nous que les termes éloignés de la série //, deviennent les mêmes qOe ceux de C/t or, ou de SA 0^ sui- vant que y, est paire ou impaire. Il en est de même de ~ ; les termes
qui deviennent grands sont ceux dont l'ensemble équivaut à e "■ , car la partie réelle de 0 est négative; après multiplication par e + '^'^■\ ils donnent un ensemble qui correspond à e ^ ^* ~ '\ Si donc on suppose s plus grand que i , et la partie réelle de 0 négative, comme il a été dit, l'ensemble de ces termes décroît indéfiniment quand ^ passe à l'infini. L'expression (54) est donc nulle aussi à la seconde limite, et y^ satisfait bien à l'équation différentielle. Ces mêmes considérations montrent que l'élément sur lequel porte l'in- égrale (55) décroit comme e^' ^'' — " et par conséquent que l'in- tégrale est finie pour toute valeur de s plus grande que i, et décroît exponentiellement à grande distance.
C'est cette seconde intégrale, ([ui correspond à l'onde émissive, et à la fonction F. (s,)
393. — Du développement de y^ , on tire immédiatement le dévelop-
350 PROPAGATION DE L'ÉLECTRICIxi
pement de y^ suivant les puissances décroissanles de Sj, en intégrant terme à terme : Posons
(57) 56 (C) = (i - C^) 2/ (g = 2 •^^'"^'"
et rappelons-nous que
Q^ r 1 m m {m — 1 ) _i_ ^'^ M
(58)Ê(..)-(i-^.^)e'^' [--osf +le^«? ~1— 1^^-^ +-J'
Il vient
La signification des coefficients est évidente :
V m (m — 1) .lj„, = Ul' (+ 1) etc.
(.9).W = (.-V)e''.p„-^)-?^4i^).^;iii->...].
L'intégration par parties aurait conduit au même résultat.
394. — Les coefficients de la série (5i) peuvent être déterminés au moyen des coefficients .i,„ et par conséquent des coefficients a,„ ou &,„ (n"» 377-379). Mais il est plus simple de recourir à l'équation diffé- rentielle pour les déterminer comme nous allons le faire.
Posons
s = 1 -\- z.
L'équation différentielle ( 1 3) devient
(6.) 0 = (e.+ ^^^),v„
CHAPITRE VI. — OSaLLATIONS DANS ON RLLIPSOÏDR DK RÉVOLUTION 35i
La fonction ^>, lorsqu'on emploie les valeurs de % que nous avons déterminées, s'annulo au premier degré pour .? ^== i , on j ~ o ; on peut donc la développer en série de Taylor
(Gi) J<î = z3é'-f- ^jJC' + IJ^é" + ...
Ir> n , 3ê\ "iiT y étant précisément ceu.x de la série (69) pour
Portant h» développement (61) dans l'équation (60), et identifiant les coefficients des mi^mes puissances de z, il vient, en fonction de K\ seul qui reste comme coefficient arbitraire de toute la série :
(m — 1) \in.in — 1 / m — 1
Cette relation générale (5ç)) entre 4 coefficients consécutifs montre que pour m très grand, le rap[)ort d'un coefficient ^"' ^ * au précé- dent 36'" peut s'approcher de l'une ou l'autre des deux limites
m — 1 .
> ou + 0.
2
L'étude de la série </,, montre que pour la fonction 316, avec les dé- terminations particulières adoptées pour les %, la limite sera H- 0.
La série (59I définit donc la fonction f. dans tout le champ réelle- ment utile, et jusque sur l'ellipsoïde réduit à son axe.
En tenant compte des relations (62), les termes les plus impor- tants de la série 69 à grande distance, sont
(63) F/..)=-^e 1^, _ _ -4- _L__J _H..J. Ce développomenf, excellent pour le calcul des valeurs de la fonc-
,352 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITB
tien quand 6 est connu, ne peut être d'aucun usage pour la recherche des valeurs de 6 qui satisfont à une condition déterminée; car 6 entre à la fois dans les numérateurs 56', 36", ... et dans les dénominateurs. Tous les termes de la série (63) fournissent donc un terme indépen- dant de 0, etc. et la série en 6 que l'on tirerait du développement (63) serait illimitée dans les deux sens, ce qui ne se prête pas simplement à un calcul approché des racines 6 de — , qui sont le but ultime de notre recherche. Il faut donc donner à la fonction 8 (s^) une autre forme.
395. — Deuxième forme de l'intégrale démission. — Ramenons les limites de l'intégration à être finies ; c'est ce qu'on fait facilement à l'exemple de M. Abraham en remplaçant dans (62) ijiCQ par son expression tirée de (55) : on a alors,
(64; Ê(.0 = (i-V) / rfÇ(i~r^)e'^*" / (i~ny.(?)e^'^' dl et en changeant l'ordre des intégrations
Mais on a
e"du
I *^ 6 (5 + ?)
e
6 (* + \)
9 (*• -^ 5) + P(7:;r5;i[o^(^ + 0^-20(. + o + 2)].
_„«e(.^ + ?) f ! \ 1
CHAPITRK M. - OâCllXATIONS DANS DM CLtirSOToB DB nivOI UTION 353
et enfin
,,+ .
396. — Cotte formule peut d'ailleurs Atrc obtenue sans passer par l'intermédiaire de l'équalion (55) comme on va le voir.
Cherchons à obtenir la seconde intégrale sous forme d'intégrale définie
(66) y= m: a) •> {s + $) e^^* + ^' d
en choisissant convenablement la fonction ^. Formons lesdiiiv.'»-;
«-^— I
àS
et substituons dans l'équation 1 8 : (i _ s^ ^— Its^ 4. » (u _ 2 — 6^ H- ev) =
(67)/ ^+' IV' — *;4''
1 —s»)- 4«]
Eliminons Tl au moyen de l'équation i3 à laquelle satisfait 3é, r intégrale devient
•+i \K
r ,1 _. s') Y -+- V [2e (1 - 5-; — 4«] ~j j
.,^ - »)
23
354 PHOPAQATION DE l'ÉLECTRICITÉ
397. — Intégrons par parties le dernier terme
Le terme intégré s'annule aux limites, h cause du facteur $^ — i. Une seconde intégration par parties donne
- [e^ ^' + ^) Kk' — 0 <!>' 4- 0 (f2'_ i) 4; -+- at-l^] ^]_ .
Le ternie intégré s'annule encore aux limites, lorsque la constante % a été choisie, comme nous le supposons, de manière que M soit aussi nul aux limites.
Il reste donc comme second membre de l'équation (67)
I (, _ s^) f + [26 (1 — s^) — 4s] <|^'
j + (P - 1) f -+- [20 ($2 - 1) + 4$] f I
[ -^ [02 (çi> — 1) + 40$ + 2] ^
i
Or la parenthèse se réduit facilement à
($ — s) [(S 4- s) Y 4- [4 -h 20 (ç + s)] 4,' + m].
CHAPITRK VI. — OSCILLATIONS DANS UN BLLIPSOÏOÉ DB niTOLUTION 355
398- — Pour que réf|uation (i8) soit satisfaite par l'expression (66). il faut et il suffit que le second membre de JY*quation (67) soit nul, et par con:<éqnent, que la fonction <{'{»-+■;) satisfasse à l'équa- tion
(68) : ^*^l^ -f- [4 H- aO a -+- *)] ^ + 40-^ = o.
On y réussit en prenant
, _ 2 /_j 6 \
V - 0» \(, -+- 5)' (*-+-0V'
fonction qui reste finie dans tout le champ d'intégration * > 1, et ne devient infinie que pour s = 1 '1.
L'intégrale
*- — I (>' M. M. Abbjuiaii est conduit à mettre l'intégrale sons la forme
pAfo/A. .1/1». Bd. 5a, p. 108, formule (36i :
e.H. (*) = (I - x2) / da E,(a) ^i^
avec
Ç = p (» + «). S;(;) = 2e^, E correspond à notre <fv, H » » S,
X » » '1 ; j
Il faut qu'il y ait quelque lapsus dans ses considérations fondées sur des identités de développements en série, et l'emploi des fonctions limites pour la sphère, car cette fonction ne satisfait pas à l'équation (i3), puisque <> = / ..t
ne satisfait pas à l'équation (64).
356 PROPAGATION DE L'ÉLECTRICITé
est donc bien celle qui convient pour représenter une série de sources disposées sur l'axe s, = i entre les foyers ±: f. Telle qu'elle est écrite, l'intégrale correspond aux sources émissives
puisque nous avons pris pour facteur de temps ( 1 1 ) (n" 374) e f ' Pour avoir les sources absorbantes il suffirait de changer le signe
de 6 dans la formule (69), qui satisfait encore à l équation (18) puisque
celle-ci ne contient que 6^ On peut encore écrire cette intégrale sous la forme
399. Séparation des termes de même parité. — Il est
d'ailleurs facile de séparer les termes de même parité, soit sur l'inté- grale, soit sur son développement. D'abord, dans l'intégrale, il suffit de remarquer que l'on a identiquement
^6* , -es\j_J i_ 8 6 I
{ 95__ — e*\) ^_i_ ^ ^ 0 )
dont les deux premières lignes sont paires, et les deux dernières impaires. La somme des intégrales
CHAPITRB VI. — OSCIL* ATIONS DANS UN BLLirSOTOB DB i^ivOLUTION 357
ne diffère donc de y^ que par un facteur constant, pour les valeurs de s, sup<''rieure8 à i. Leur différence est la fonction de parité différente de y,, recherchée au n* 388.
Dans le développement 73 (n" 400) les termes se trouvent natu- rellement groupés suivant leur t)arité, soit dans les coefficients 6G,„_i — G,„, soit dans leur facteur en s. Il est inutile de les écrire ici.
400. Développpement de t' en série. — Développons l'inté- grale ^Gy en série. Lu fonction }(} ;i étant développable en série convergente dans tout le plan nous i)ouvons écrire
(71) 56($)e*^''+^=G.-t-G.(«. -4-$)-t-G,(*, -4-Ç)«-i- ...-|-G«(«, + $)--+-. en j)osant
0-J
-+- ...-+-
ô'-afé
'5ê'(-.,)
Portant dans l'intégrale (69), il vient
('.) = |i(V-i);^ (^(i„.._
.,...-0./"
>, -t- s
d\,
358 PROPAGATION DK l'ÉLECTRICITE
ce qui donne, en effectuant les quadratures :
(73)8(0-2^^1^
2" ((.V. -+- If {s, - i)V + (6G.-G,)log^-i^
H- 2 (OG2 — G3).
(OG3-G,)
{Si + 0' — (s, — f
(ôGm-i — G,,,)
(s,+ i)"'-^ — (.y, — 1)'"-^
J
avec (74)
•6G„,„i — G,,
1 2
î?i wi — 1 m — 2 12 3
m !
2e»5^('«-3)
/j ! (?/i — p)
4- ... -H (m — 1) 0'"%
,- (p — i)OPdK;"''-J'^
J
Le premier cl le troisième termes de ce développement devien- nent infinis comme l'indiquait la formation de la seconde intégrale (n" 388). Ecrivons complètement les 3 premiers termes en fonction de f/i, toutes réductions faites :
1 / \ r 1 1 ï^'i Si -H i 1
^'/'(-^•^[-2 + ...]4-.-..
401- Formules de récurrence. — On peut former facilement
CHAPtTRR VI. — OSCILLATIONS DANS UN BLUPSOÎDB DB RÉEvOLUTION f^59
l'équation de récurrence qui permet de déterminer de proche en proche les G„, ou leurs combinainaisons utiles. Posant
ce qui définit la fonctioo 3i en JC, et portant dans l'équation i3) celle-ci devient
(V-.)(;^).-.«i(^) = u*;
celte équation définit la dérivée seconde, et donne pour les dérivées suivantes la relation récurrente
(s,« — i)[3;C"-^-) — a85{("'+»)]
(m
(79)
les dérivées étant toujours prises par rapport à — Si. Gomme on a d'après 75 et 72
(76) 3v("') = m\ e~ *'G,„,
il en résulte :
, s^^ — i)(m-i- 1) [{m -+- 2)G„.^j— 20Gm + i] . --) - 2m«,[(m + i)G™ i , -20G«1 ^ = UG™.
(m-i)[mG„— 2eG„_i] )
402. — Posant maintenant
-^ 6Gm — 1 Gm == Jm
on déduit facilement de la relation précédente (77) une relation ana- logue pour les J :
/ e„_,(s*— 1)(W -4- l)(m -+- 2)J« + 8 \
■4-[(e„._, — e„H«'— 0« — 2»m_,s]w'm + i)J„. + , (
-i-[2(m— i)e,„_, -H(4(m— i)Os-i-(»n— 2)(m — 3) — U)e,„]j„ l
— e^2(m — 2)ej„_, )
360 PBOPAGATION DR L ÉLECTRICITÉ
en posant
\ B,„ = b^(s'^ — \)m{m -t- i) — 20sm(m — i) ( -h (w — \)(m — 'i) — %.
Toutefois, cette relation de forme compliquée, est d'un usage moins avantageux que la précédente (77). On a d'ailleurs
Jq =^ — Go = — 3i^{— s),
puis, par l'équation (82) (80) J, =
%
2{S^ l) ' 2 [S^ — 1) 2 .
et les autres, de proche en proche,
403. Ellipsoïdes allongés. — Posons, pour éiudier les ellip- soïdes allongés,
et développons le second membre de ré(piation 7.3, en nous rappe- lant que dans les développements 72, qui définissent Go,... G,,,, .. il faut remplacer s^ i^ar — (i -h s). Cela donne
Nous obtenons ainsi (81)
8(H-e):
%{—i) :h\{— i)
[
e 2
-.î€'(-i)
:]
-H£
1 ^ + ^
'' [6-^5^ — K" -+- 256'" — 262J(;'] I °^ e
3v) 2^6 .» „,,„ -,- H h - ^"
4 '-i 2
4- .^ (— ;h;"' 4- 3o^?(V -(- ao^sfê)
m — 3
(6G„,— i — G,„) + ...
CHAPITRE VI. — OSCILLATIONS DANS UN KLLlPSOToB DE nivOLI'TION 361
Dans celte équation, 3{> ( — i), X/ (— i), etc., peuvent ôtre dé- duils de ré(|uati<m i3, comme l'ont étô .16(0, ?6'(i), au n" 394 , on obtient d'ailleurs les formules récurrentes relatives à ( — i), en changeant le signe des dérivées impaires dans les formules 6a du n' 304 : {S-i)
a;^;* =:_/- — i\ 316' -+- aew
•f^'! = _ [^ _ 1 W,- -H aO^ ^ _ e«3f6'
m — 1 ,m ( m — i ; / w — i
5<^ ( — i) est nul, comme ^ {\) à cause du facteur s* — i dans sa,.
404. — Les formules de récurrence des n" 401 et 402, se sim- plifient un peu, et donnent
.-_. p _ (4we-i- m{in— O— U)G„ — ae(w— i)Gm-,
(8J) lj„ + , - am [m -h i)
d'où l'on tire
40 _ 11, G, = — ^^ G.
3262 — laOTb -H %(% — a) p G, = 7ô ^^i
48
.3846^— 1 766^ Tb H- a4 6%» — %^ -H 966» — 7a en, -4-8%»— 12% ^.
''* — : 8X44 *'
etc. On a d'ailleurs
J, (1) = o, J, (0 =. - G, (1) = - ^'(- 1).
362 De là on lire
PROPAGATION DE L ELKCTKICITE
%
J, = -f. -1" G
J3- + p G,
__ G, ( 3846=' — 112 O^L -i- 240% + %» *~ 8.144 1 — 96O2 — 8%2_^ i2 01> Portées dans réquation 81, ces valeurs donnent (84)
1
-H U
2i4
].ogl±i
8{i
=) f. G, ^
H-£
1 _ 3%
2 4
%2_ 2%— 16 62
12
4J.
>)»i 1
m — 2
Lorsque 0 est connu, % s'en déduit et cette formule permet le calcul complet de la fonction 8 près de la ligne des foyers.
405. Troisième forme de Tintégrale démiission. — On pourrait enfin attaquer la question d'une manière un peu différente, en cherchant directement le dévelopi)ement de l'intégrale d'émission suivant les puissances de 6. L'équation i3, à laquelle satisfont 8 (s,) et^(s.^), développée suivant les puissances de ô^, nous a donné la série des équations (36), — (u" 386), p. 343 — qui définit un déve- loppement de la fonction 8 ou ?6 suivant les puissances paires de 6 . seules. Le première intégrale 3^, valable sur la surface des ellip- soïdes a été obtenue en partant de la fonction de Legendre P„, valable sur la surface de la sphère ( — 1 < s ^ <: + 1 ) . On obtien- drait la seconde intégrale de notre problème, en partant de la seconde intégrale Q„ valable de 4- 1 à l'infini. La forme la plus simple est,
Q»w = .»b^((v-0"iogîL
— -P
*•) log
Si
CHAPITRE VI. — OSCILLATIONS DANS UN BLLIPSOTdB DB névOLUTION 363
la forme développée est
;p,{,oiogî!-±-;
I ^ i i^f^— 0^ /«, — 1 X" - •
OÙ l'on a
2 = 1 + - -+- ^ -+- ... -h -■ 2 3 n
Cambr. Math. Trip., U, 1898).
406. — Cette forme est, comme on voit, analogue à la seconde que nous avons adoptée pour l'intégrale 8 (s,) ; elle conduirait à un développement directement ordonné suivant les puissances de 0^ Mais la recherche des intégrales de même caractère des équations (36)l ne nous apprendrait probablement rien de nouveau et n'irait pas sans difficultés.
En outre, sous cette forme, l'intégrale apparaît comme développée suivant les puissances paires de 6 seulement, tandis que notre inté- grale d'émission contient certainement aussi les puissances impaires. Par conséquent, iK)ur isoler l'intégrale d'émission de l'intégnde d'absorption, il faut ajouter au développement pair en 6 un déve- loppement iin|)air qui satisfasse aussi à l'équation (i3)
w -r ftw, -+- e^w, -t- ... -+- fi-^i'-^ 'w„ ^ ...
les W satisfaisant aux mêmes équations 36) que les U de même indice, mais avec des constantes d'intégration différentes, à choisir do manière à obtenir l'intégrale d'émission pure.
407 Champ extérieur. — Le< formules (' qui définissent le (<) Deux fautes d'impressioa doivent être corrigées page 33o et page 33a ;
364 PROPAGATION DB L'éLBCTRlCITÉ
champ sont
(l4) M3 =: I- -7=^^^ A^^— ^ ^
(15)
til = 7-7 / / " '
E, = - P,
0/" V^i — s,2 /s,' — ^2'
et on doit en prendre seulement le terme réel, ou le facteur de y/ — 1 dans le terme imaginaire.
Lorsque 0 est réel, B et 5^9 sont tous deux réels ; les numérateurs sont bien les produits d'une fonction des, par une fonction de s^.
Si 62 est réel positif ou négatif, ^ (s*) est encore entièrement réel : et la décomposition des trois numérateurs en facteurs subsiste ; lorsque 0 est imaginaire pure les forces électriques sont l'une en avance, l'autre en retard d'un quart de période sur la force magné- tique.
408. — Mais, si 0 est complexe, g et 3^6 deviennent aussi com- plexes :
/ ?6(5,) =K, {s,) H- y/zrr K, (s,\
page 33o : les formules qui précèdent l'éf uation 10 doivent être écrite
P V «t'î — «22 ^^^ - __ ^^2) (5,"2 _ ,-,2)
Page 333, formule (i.*)), les dénominateurs sont incorrects ; les formules exactes sont celles du (n° 407).
CHAPITRB VI. — OSCILLATIONS DANS UN KLLIPSOÎDB DB nivOLUTION 305
et les purlies réelles des expressions i4 et i5 deviennent (II) M,
/ e.o/
K,=
fyjx — s^ v's.» - 1 / -H (g, ifê, -+- ë, aë»; sin -^
\ L-H(8i56',-+-g,^',)eJ /•
eiut lie" /
ou, en séparant la partie réelle de la partie imaginaire
409. — Lorsque 6, est connu, on {>eut employer utilement dans ces formules la première forme d'intégrale t> (.?,), (formule 69, p. 35o ; ou fonnule 63, p. 35 1). Prenons cette dernière, pour avoir l'allure à grande distance, et posons
a«'= 1 ;
% = %,-+- lU, ;
il vient (ITI)
.(*.)=
V.
»^*«)"~/^A î _L- A «
(8.* + 6/^*
f,,- - Q.^cose,*. -H 2e,o,sme,5.J[^i— ^^-|^,-:py H-...J -[(e.' - Osine,*, - .ft,e,cosfl,..][ -^|^^i^=^ + ...J
[(6,' - e,^)sine.., - ae.e,cos9,s][.-f^^J^5^...]
366 PROPAGATION DK l/étRCTRICITÉ
Rappelons que rexponeiitielle qui apparaîtdans M,, E,, E,, est en
réalité e ^^'\*' "" j) et que les expressions ne sont valables à chaque instant t que jusqu'à la distance définie par s^ = .. , si l'origine du temps coïncide avec la fin de l'action des sources étrangères qui ont servi à provoquer les vibrations propres de l'ellipsoïde. Pendant cette action le champ dû à l'ellipsoïde n'est plus exclusivement émissif ; il est au moins en partie absorbant, ce qui correspond à des valeurs négatives de Oj, et il faut y ajouter le champ des sources, à distance finie ou non ; nous ne nous en occuperons pas. Nous n'examinerons pas non plus le mode de propagation du front de l'onde dans le cas d'une discontinuité.
Les formules que nous venons d'écrire donnent, avec une approxi- mation suffisante, le champ pour de grandes valeurs de s,. On peut s'en servir pour l'étude des ellipsoïdes peu différents de la sphère.
410. Vibrations propres de l'ellipsoïde. — La composante de la force électrique tangente à un ellipsoïde s, = a, est la force élec- trique Ej dont nous avons donné l'expression (i5) (n° 407). Dans l'ellipsoïde infiniment conducteur vibrant librement, cette force tangente doit être nulle. Les vibrations propres de rang n corres- pondant à chaque valeur de % (n" 382) sont donc données par l'équation correspondante
L'amortissement et la période sont définis par la partie réelle et la partie imaginaire de chacune des racines 6 de cette équation. Pour e complexe, cette équation équivaut bien aux deux équations
auxquelles conduit la forme développée de E^ écrite au n" 408.
La recherche, que nous nous proposons, de l'amortissement et de la période propre des ellipsoïdes a toujours une solution, pour tous les ellipsoïdes ; mias la recherche inverse, des ellipsoïdes ayant un
CHÀPITRI VI, — OSCILLATtOMS DAWS ITH KLLIPSOÏDR DR névOLUTIOX 367
umortisâciuenl el uue |Hiriode donnés serait généralement iinpos >ible ; il faudrait, en effet, se donnant 6, trouver une racimT«^é'//e .s-, =: 9, de IVquation — = o, ce qui n'est évidemment possible que par exception. Pour rendre le problème moins exceptionnel, il fau- di-ait se donner seulement l'amorlissement 8, ou la période ô,, et chercher l'ellipsoïde. Par exemple, pour de faibles amortissements donnés 0, , d'après ce que nous verrons plus loin (n'' 426j ([u'on pourra en général trouver des ellipsoïdes de périodes variées, d'autant plus nombreux probablement que l'amortissement donné est moindre. Pour des périodes données par 0^ (|)ar la longueur d'onde), pas trop différentes de 0, = -— pour la vibration de rang n, on pourra aussi en général trouver des ellipsoïdes el des amortissements corresiwn- dants ; mais je ne sais si lO, peut être indifféremment supérieur ou inférieur à — .
de
411. — Sans insister davantage sur ces indications générales procédons au développement de l'équation qui donne les vibrations propres :
En dérivant ro(iuaUuii y-'S_ et en jiioupuiit les termes, on obtient le développement suivant (85)
+ [a*, (eG. -G,) H- («.« - 1) ^0 (. , (. jj jog ^^
^a [eG',— G', - ôGi-hG^J
-t- 4*1 [OG, - G,] -H 2 (5/ _ i;(OG', - G'3)
-f-(OG„._,-G„).^
(m— i)(-^i»— i) [[s, H- 1)'"-' — (•■?. — 1)" m — 2
-'I
(s, -+- 0»'-'
n-"-'
-(0G'„_, — G'„.)(«r- ij
m — 2
(<, -4- 1 )'*-« — (^, — 0»"-» m — a
368
PHOPAGATION DK L ELECTRICITE
G' désigne la dérivée — et on a
G' m Gm = -
ml
^(m + 1) _H ^ ^ î 0' 56<'»-i)
1 1
m !
p ! (m — p) !
-h . + ^m — i) e"'.!^/
(jo _ i)0''56^'"-i'+')
412. Ellipsoïdes allongés. — Pour les ellipsoïdes allongés, on obtient facilement, au moyen de la formule (8i), l'équation
J
/ofiX ÔÊ _ ôê _ 2
?f _t_ ■ _ 02.1C 4- ?^ -+- ? 56"
Jm -+• ••
log
m, — 2
et ensuite par la formule 84 (p. 362) :
(87)
dg d8 2
dSi ô£
= ;^.G.
%»\ , 2 + e
)log
1 _ i3% _ w _^. 4 ^s
•2 12 12 3
4J.
> HI 1
m — 2
Jm H-
Posant
log
ï H- s 1
e T)
où /. désigne une quantité très petite avec s, l'équation aux périodes
CHAPITRE VI. — OSCILLATIONS DANS US KLLIPâOÏOB DK RÉVOLUTIOM 369
propres est
(„, ï;^.!^ + , ,[■_'■'„,_ «in- n' + 4J. + .. 1=0.
^ ' i 4 Laii iï3 * J
Nous la discuterons plus loin (n" 425 .
413. — Développement suivant les puissances de 6- — Pour la recherche des vibrations propres des divere ellipsoïdes, il importe d'obtenir le développement des équations (74) et (75) sui- vant les puissances croissantes de 6, Voulant aboutir au calcul nu- mérique, nous développerons avec quelque détail les formules néces- saires, malgré leur longueur.
Nous avons déjà posé (n° 386
et nous connaissons les développements des Y en s, ; nous en dt'dui sons facilement ceux des
H,, = (i - s,^) Y,,, (s.) et nous écrivons
(89 K s, = Ho (5.) -+- e»H, (s,) + OML (s,)
Remarque. — Le mode de calcul de Nj, N^,... de proche en proche, indiqué au n' 381, a le grand avantage de montrer que Y^, Y'^, Y^,... sont des polynômes de degrés n — i, 7H- 1, n-i-3,... ; H^,, Hj, H^,... sont donc des polynômes de degrés ji -+- 1, n + 3, n -+- 5,.., dont les dérivées {n -h 2)' (n •+- 4)', (n -+■ G)*" sont respectivement nulles, quel que soit s. Les développements qui suivent s'arrêtent donc en s, quand on ne prend qu'un nombre limiU'; de termes en 6- Il serait in- téressant de mettre ce caractère en évidence directement et d'une ma- nière simple sur les formules générales (34) ou (37) qui définissent
414.— Indiquons par des accents les dérivées des H («1), par rap- port à s^, et rappelons par l'indice — 5, à la parenthèse, que dans les formules finales, il faudra changer 5, en -^ s, ; il vient après
24
370 PROPAGATION DR L'ÉLECTRICITé
quelques transformations :
II,("')
02
(-".
(m)
mjm — i)
H^,,„_2)j
+ ^^^ m{m- i)(m— 2)IV"'-'>
n>(m— \){m — '>.)(m — ?>) ,j f,„_4,\
H- ^ "o ;
y«0 0(j„,_i — U,„= -,
.~,m(m — i){nr — ■>.) jj j,„_3)
■ ^^^' ~ 0 • • ^"^ — 4'> 11 ^
io
nr-'^)
+ o«(-lT,("0-,-''L('^.j)Hr-^)
|
VI im |
— i) .:. (m — 3) |
|
-+- |
8 |
|
n? f»« |
— 0 ...('« — ô) |
|
-i- |
144 |
|
/ III (iv — |
i)(/» — a) ,. ^,„_ |
|
\ |
.5 "^ |
|
m (m |
— 1 1 ... (7>l — 4) |
|
:i(. |
|
|
m (m |
--i;.,.(m — 0) „ |
H.^
m-o)
(-^s
Eu s'arrètant au terme eu 0* on a
0G',„_,— G',,, — — ,
.^'-^^^^,.^i^-^^^^-!!jn^u^-'^
0' / xf Ml'"--)
4- ~m{m — i) [m. — a) 11^
[-Hl
(»i 1 1) m (m — i) ii("' — ')
--H
H^
m {m — i ) {m — i)(m — 3) , ,(
„o..-.J
(— s,
CHAflTRK VI. — OSCILLATIOXS DANS UN KLtIPSOÏDK DE RKVOLVTiON ii"!
415- — Ces formules permettent d'ordonner Téquation (86) suivant les puissances de 0. Quel que soit le numéro d'ordre n de la vibration, et la valeur de % corresix)ndante, tous ces développe- ments en 0 sont des séries. La discussion du nombre des racines 6 qui corres[>()rnlont anx vihrati<>n< de ranj; n, ot de leur caractère, est inaborduhl*'.
On ne c«innait déjà pas poyr la sphère les propriétés générales de ces racines, en particulier la distribution des racines de rang n par rapport à toutes celles de rang moindre. Tout ce qu'on sait, par les propriétés des équations algébriques de degré impair, c'e.'t qu'une au moins des racines de rang impair est réelle, et que la vibration correspondante est exponentielle pure, sans oscilla- tions.
Par analogie avec les i)ropriétés de la sphère, nous admettrons que le nombre des racines 6 qui correspond au n' nombre 'H>, à celui qui commence {ïâr n{n -i- i), est«gal à u, et que ces racines ont en général une partie réelle négative et une partie imaginaire.
Lors<|ue les 0 ont un module assez petit, il suffira de prendre les premiers termes de la série en 0 ; nous nous arrêterons à 0*, ce qui donne : (91)
e! ^^ _ [— ^ H- ,— ^ÏÏHo -^ ô^ H. + 0^ hJ 2 ds. U«, -+- »;* (», — iy]l « ^ M
r-s, (- H/ + e» (_ H/ -H Ho) -h e* (- H/ 4- H,)) "] "^ ''^'' ~ ' L '-^ {-H;' + 0^(-H/-+-Ho')-t-6^(-li;'-f-H',))J
_^ ^. , r n^w _^ 0» (- H/ -h 3Ho') + 2Ô»H, H- 0^ (- IC -t- 3H,')]
-4-
l'our les vibrations propres de la sphère, le facteur », qui joue le rôle de?.<lans re\|)osant, est fini: par conséquent pour ^es
372
LA MECANIQUE
ellipsoïdes très peu différents de la sphère, pour lesquels /"est très petit, 0 est aussi très petit. Cette équation, en y faisant — nul pour la valeur très grande de s, qui caractérise lellipsoïde quasi-spUé- riquc, permettra de calculer ses vibrations propres. On devra d'ailleurs employer au calcul des H les formules de récurrence com- plètes (3G) n° 386 ; la remarque du n° 413 montre que ce calcul se limite de lui-même.
Mais ce ne sont pas ces ellipsoïdes qui attireront principalement notre attention.
RiiMAiiQL'E. — On peut aussi développer 5^ (î) e ^''"'^ ""^ dans Tin- tégralc (il) suivant les puissances de 6, avant d'intégrer ; on obtient alors les mêmes développements, ordonnés suivant les puissances de 0.
416. Ellipsoïdes très allongés. — Pour les ellipsoïdes très al- longés s^ est à peine supérieur à i , et en posant dans l'équation précédente
Si — 1 = e,
et en conservant seulement les termes les plus importants on obtient
i (Ho + 6'^ H, -+- 0* Hj 4- 1 (h; 4- e-^ h; + s* h;)
(1 4-e) [-Ho" 4- 0-^ (11„ - H/) 4- 0* (H, - H/')]
-^t[— h;" 4- o2(ii'„ — n;") 4- o^ (ii;— h;")]
4- log -4-1
1
4-2(4-Ho"-^o^h/4-omi;')-[-iV'+o^(- 11;+ ig 4- 0^-11/4- h,)
4- ?J- Ho'" 4-0» (3H; - H/') 4- 203 Ho 4- 6' (- H /" 4- 3H;)]
Dans les G, et les H, s^ doit être remplacé par — (i 4- e). ( n° 400) tous les H ayant {s^ — 1) en facteur sont nuls pour s, =r i ; ils sont
CRAPITRK VI. — OSCILLATIONS D\!*8 UN ELLIPSOÏDE DE KévOLUIlON 373
«lonr petits de l'ordre de e, et le premier terme est en réalité, comme le second, un terme en s — *, et le compense exactement.
Dans les lignes qui suivent la seconde, on remplace .<, par i , et on peut par conséquent effacer les II, qui sont alors nuls, mais non leurs dérivées.
Il reste ainsi (92)
t. "0'
7
- l lu,' + 6* (II," - 3Ho') -h e* (H," - 3H,')]
Telle est l'équation développée suivant les puissances de 9 qui donnera les valeurs de — en fonction de l'ellipticité t. C'est bien celle que l'on obtiendrait directement en remplaçant dans l'équation du n* 412 les K par leurs développements en 8*.
417. Formation des coefficients de l'équation 92— Les H', ir, sont d'ailleurs faciles h tirer des formules récurrentes du n" 403 développées en 6'.
Les formules de récurrence du premier terme H,, sont ainsi :
2H/= — n(nH- oh;
Celles du second terme li^ sont :
aH/ = - N, Ho' -n(n -M) h;
,H,' = - C^-^^^ -Oh/- f^^ H,' 4- 2 h;
aHr ^' _\ \m(m- i V * w(m-i) "
V m — i "
374 PROPAGATION DE l'ÉLECTBICITÉ
D'une manière générale :
- — — — Il il
m — 1 -^l' — i 2?<— 2
D'aprôs la remarque du n" (413) on n"a à appliquer ces formules de récurrence qu'un nombre limité de fois, quand on s'arrête à un cer- tain rang du développement en 0 (ici 0'') :
2 i C
418. — On peut choisir la constante arbitraire qui entre en facteur dans K {s.^ de diverses manières sans changer le résultat final ; il n'est pas nécessaire de conserver le choix qui nous a paru le plus simple pour le calcul de y, (s) et de '\\^ n" 384). Or, G, ou ^' est en facteur dans l'équation 87, dont les racines sont par conséquent indépendantes de .X'/. La détermination la plus simple est alors celle qui rend ?(>' (— 1) égal à 1 quel que soit 0. Nous prendrons donc
H'o-i, ir, = in = in^... = o
dans les formules précédentes, ce qui en simplifie notablement l'emploi.
Avant ainsi les II" (— 1), on calculera numéri(iuement les termes
iV
de rang m de l'équation (92), au moyen de la formule (90), arrêtée aussi au.v termes en 6*.
C'est ainsi qu'ont été calculés les tableaux numériques II, III à la fin du volume. L'équation ainsi formée donne les valeurs de — pour de petites valeurs de 0, c'est -à dire i)our des longueurs d'onde très supérieures à la distance des foyers, et aussi au grand axe de l'ellipsoïde allongé. Celte équation pourra donc être utilisée pour étudier comment l'ellipsoïde allongé vibre sous l'influence d'ondes de grande longueur émanant de sources lointaines. Elle ne peut i)as servir pour la rorherche de> vibrations propres d<^ cet ellipsoïde»
THAriTRE TI.
OSCILLATION» DANS UN KLLIPSOÏDg DB RBVOLrmON 375
pour lesquelles 0 est év'ulemment «le l'ordre du nombre entier ;» qui (l.'finif ]o iinml.r<> ilf^^^ iKi'iids échelonnés le lonji de l'axe.
419. Vibrations d'une tige rectiligne — l'our calouler les
périodes i)ropies des ellipsoïdes, il faut revenir aux dcvcloppenienls complets du n" 412. Kn pn-miéie ;ipprn\iinnii<»ii. pour i nul. léipia- lion (Sj) se réduit à
% = o;
elle donne les péiiotles propres de la ligne condurtriro <rins épais- seur, limitée aux deux foyers.
En nous reportant à l'équation i3, nous voyons que celle-ci se réduit alors à
ds- "
dont l'intégrale générale est
U — C cos iOp.s -+- S sin ?'î„«
0„ étant racine de % rr= o.
Or la valeur générale de % a été choisie de manière qu une inté- grale particulière de l'équation (i3) soit nulle pour s = rh i. Les valeurs de 6^ qui satisfont à c«tte dernière contlition sont comprises dans la formule générale
ô» = — - . k entier.
On a alors
k J<; rr= c c«»> ^^ k impair
93) /.^,
/ ^ = S sin ' — k pair
Il re>te à savoir comment on doit faire correspondre les /r aux n le calcul nunjéri(|ue des racines des 11. dont on a calculé les premiers coefficients, fournit pour n„ une valeur de 0^- très voisine de
r^ ; les valeurs de /.• autres que ti hiisscut dans le n.« corres-
4
pondant des résidus très considérables ; les autres racines du poly-
376 PROPAGATION DE L*iLBCTRlCITÉ
nome formé par les termes calcules des 'M>, sont très grandes (•). Nous admettrons donc que la série %„ n'a pas d'autre racine que
Racines importâmes des %n
n- 60^ — T-
I — 2,4674977 — 3,467401
a — 9,8200822 — 9,869604
3 — 27,482743 — 22,206610
4 — 4o,r)8i5oi —39,4*8418
Ces valeurs j- sont celles que feraient prévoir des considéra- tions physiques; elles indiquent que le conducteur recliligne limité aux foyers de notre système de coordonnées se divise en un nombre exact de demies-longueurs d'onde, lorsqu'il émet ses vibrations propres.
420. — L'intégrale générale étant
TT /-, HITS c» • H^S
U„ == G ces h S sm — ,
•1 2
la fonction 8 qui définit l'état du milieu extérieur, pour s >> 1 est aussi de cette forme, et la condition
— =z o, S = i,
(') En s'nrrêlant au terme en 6* dans 11), ces polynômes du 3« degré en 0^,
«2,52 ont cliacnn trois racines. Les deux racines autres que r^ sont données
dans le tableau suivant :
n = 1 -f 6r),8 — 101,0
n = 2 i39,65 + 1.11,2 t 139,6.') — iài.2 t
n = 3 4«97 + 68,55 t 4-97 — 68,55 t
n = 4 — 24,965 + 191-975 i — 24,965 — 191,9-5 i
et ces valeurs justifient pleinement les indications probables contenues dan? le texte.
CHAPITRE VI. — OSaLLATIONS DANS UN ILLirSOÏOB DB RiV0LUTI0!< 377
(loviont
- ( b C08 G sin — 1 =0,
ou
G = o n impair,
S = o n pair.
Il reste donc
i 8(s) = S sin — ^ n impair,
(94; '
I g(*) r= G CCS -- n pair.
ce qui donne finalement les valeurs suivantes du champ (n" 372) :
n impair
sia — ^ cos — ^ «« ût /
sm — ' sm — ^ _'2I ^ J —
(9"" 1. A V - i ' ' e "^ f
cos — - cos — ^ _ 5? Ç' J~
et n pair
nîis, . n~s, „^ n, ,
cos * sm ^ _ ^ ^t z^-
/•»/(! -5S)(.,S-I)
sm — - sm ^ 'Iî: ^' ./TIl
K,=AUv'-;-7=J==?=e- " /' ".
378 PROPAGATION DE l/ÉLECTRlCITK
421. — Discutons maintenant ces résultats. L'amplitude delà force électrique E, normale aux ellipsoïdes homoîocaux, décroit à grande distance, à peu près comme s^~^ ; celle de la force magnétique M3 et de la force électrique E^ tangente aux eUipsoïïlcs décroit à peu près comme .«i~'. C'est le résultat ordinaire : à grande distance de la source, le champ magnctirjue et électrique tend à devenir trans- versal, puisque les hyperboles se confondent alors sensiblement avec leurs asymptotes.
Tout près du prolongement du fil rcctiligne, on a
en appelant a^ un très petit nombre positif. Le facteur qui dépend de Sj se réduit à
MIT
2
,-y- dans M3,
(97) ^=^?ir=^ ^""' ^'
2
V 2 {s\
dans E^.
Les composantes M^ et E^ deviennent nulles sur le prolongement du fd, comme il convient pour qu'il n'y ait pas de discontinuité ; la force électrique Ej, dirigée suivant le prolongement du fil conserve seule une amplitude finie.
422. — Tout près du fil rectiligne lui-même, on a
s, = 1 4- !T,.
Le facteur, qui dépend de s^ , se réduit à
dans M,
1
(98) \± -j.-.==L=r- dans E,
O
dans Ej.
CHAPITRK VI. — OSCILLATIOîW DANS IV ELLIP80ÏDB DE RÉVOLUTION 379
I^ composnntc êleclrl<|ii(' langenlielle E, est nallc, tout le long (lu fil, ronformrmenl aux conditions qu'on aôcrites.
Ia force magnétique Mj et la force éloctriquo normale E, de- viennent toutes deux infinies au contact dq fil ; il faut en effet que la densité (lu courant et les densités électriques superficielles deviennent infinies dans le fil infiniment mince pour que l'intensité totale du courant et la charge électrique par unitc' de longueur du fil aient une valeur finie, nécessaire pour que le champ extérieur ait une amplitude finie.
423. — I-c voisinage immédiat des deux extrémités mérite un examen plus attentif. On a à la fois.
s, = 1 4- î, et Sj = 1 — 7, ;
le facteur qui dépend de 5, et de Sj devient alors
- 4 Ver,
dans >L
(99) ± r . ^^^^ ^«
4 V (T,
dans E,
et la valeur de l'amplitude de toutes ces grandeurs dépend du rap- port de 7, à jj.
En se reportant à la figure 56 (p. 329), il est facile de voir, dan le cas où le point M est tout près de F, que l'on a
r =if— rcosMFF' d'i'M l'on (li'iluit
2s/= a/'H- r(i — cos MFF') 2s/^ if— r{\ -+- cos MFF')
et par const'quent, en désignant par F l'angle MFF ,
r . , F '• , F
5, = -i. sm* -, 'î = r cos' - ,
' / 2 ' ^ f i
îi — ',= — ^cosF, 7, -T-7j = ^.
380 PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
L'amplitude de M^ et de E2 est indépendante de la distancera rextrcraité ; elle ne dépend que de l'angle F du rayon vecteur avec le fil lui-même. Pour la force magnétique Mj cette amplitude est
71- F
proportionnelle à y- cotg - , infinie le long du fil, nulle dans son pro- longcment.
Pour la force électrique tangente aux ellipsoïdes Ej, l'amplitude
/lit F est proportionnelle à -. cos ; nulle exactement sur le prolonge- ment du fil (F =: -) elle croît lorsque le rayon vecteur, partant du prolongement du fil, tourne pour se rabattre sur le fil; le long du fil, elle est maximum, finie. Il semble que cela soit en contradiction avec la condition écrite à la surface du fil ; mais l'examen de la composante E, lève la contradiction. Cette composante rayonnante E, a en effet une amplitude
('oo) \/r'~T~F
V 2 sm — 2
en raison inverse de v'r, très grande à petite distance du bout du fil, surtout le long du fil lui-même (F = o). La force électrique totale reste donc normale à la surface du conducteur, malgré les valeurs finies de E^.
424. Nécessité d'une secoude approximation. — L'ensemble de ces résultais donne déjà une idée d'ensemble de la distribution du champ électromagnétique autour d'une tige rectiligne mince vibrante, avec sa période propre et dans le voisinage de son extrémité. — Toutefois, au contact même de la tige, une certaine réserve est né- cessaire. Nous avons en effet effacé le dernier terme .-., de
l'équation complète
dans l'examen du cas limite où % est nul. Mais, ce cas, où le fil est infiniment mince, n'étant pas rigoureusement réalisable, % sera
CHAPITRE M. — OSCILLATIONS DANS UM ELLIPSOÏDE UK RivOLUTION 381
seulement lrt»s iwlit. Or les formules que nous avons trouvées pour
les intégrales du cas limite montrent que le s<'cond facteur j
est généralement fini, — ce qui permet de négligence terme — sauf pour la fonction Ê(s,) tout près de la surface du fil. On a en effet alors
qui devient infini i)our 7^ = o ou s^ ^= i .
Dans tous les cas réalisables, où la section de la tige vibrante est seulement très petite mais non nulle, % est seulement très petit, et au voisinage immédiat de la tige, la simplification de l'équa- tion en 8 n'osl plus légitime); il faut conserver Téquation com- plète, et l'intégrale (73) dont nous avons déterminé dans ce cha- pitre la forme développée. La condition qui détermine les vibrations pri)pres dépendant précisément de la fonction t., la seconde ap- proximation est tout à fait nécessaire, même iK)ur les tiges les plus minces.
425- — Reportons-nous donc à l'équation (88), et dans celle-ci, lK)sons comme seconde approximation
(101) e„== ^- T.e'„ -+- £0'„
dans le [)remier terme 11», et seulement
dans les termes qui ont déjà en facteur t, et î. 11 vient
/ l n-r*
in,
Dans 1.' cas iimito actuel, on peut facilement déduire des formules de récurrence 77 (n" 404) la valeur exacte du numérateur. On doit
382 PROPAGATION DE l'ÉLBCTRICITÉ
y faire eu effet, non seulement s,* = i, mais en outre % = o, ce qui les réduit à
(m -h i) G. + . - 28G,„ ^ ^i^ (mG, - aOG.^O et
2
On en tire, pour m = i
2 G, -- 20 G, = o, et par conséquent, de proche en proche
(m + i)G„. 4. 1 — 26 G« = 0
d*où
m m ! ' m
puis
T _ fi r r (wr?)'» - 1 m — 2 p Jm — 6 lj,„_i — b,„ = — ^ , -^^ — bi.
Cette expression portée dans le numérateur, lui donne la forme
1 nV . Sn^Tt» i (2WtO'""~* t _l- -^ ^ i _l_
•2 3 2.4-' '•* ^1
qui, multipliée par ^inzi, devient
2n7ri 4- ^-^-ï^ + , / + ... 4- ^^ î^ -h ...
ou
anxi ("irmi)* » 3
e — 1 — '^ = -H 2w*K^.
2
Il reste donc
4 ^
Représentons par 11' la dérivée de % par rapport à 0^ :
^-^ = N, + 2i\0M.3i\e* +
CHAPITRE VI. — OSQLLATIONS DANS UN BLUPSOÏOR DC RKVOU'TION 383
U vient euFin
Cette seconde approximation fait apparaître rainortissement, pro- |K)rtionnol à r,.
HEMARgiE. — Les valeurs de 0 pour les vibrations propres des tiges miuces sont déjà tellement grandes (jue les développements tels que (92) arrêtés aux termes en 0*, ne donneraient aucune idée du résnllat. L'emploi de ces développements doit être limité aux pro- blèmes qui comportent de petites valeurs de 0, tels que la vibration proiluite dans la tige par des ondes extérieures très longues.
426. — Donnons d'abord le tableau numérique des amortisse- ments :
1
I I .'-708 at4^7 0,8000 -f- o,oaa6 — 0,0033 + 0,0001 3 — o,ooooo33 = o,82o5 0,61
3 3,1 4 16 9.869 OP71 -f 0,077 +0,004 — 0,00a = o,65o 0,77
3 '1,7124 3a,ao6 o,.*>33 — 0,061 +0.175 +0,060 =0.707 0,707
4 6,a83a 39,478 0,519 — 0,094 +0,06; -(-o,i39 =o,6xi 0,800
5 7.8539 6i,685 o,5i3 — 0,109 — o,o35 =0,369 '•^■'*
6 9,4a48 88,8a6 0,509 — 0,119 + o,oa4 =o,4i4 1.21
7 lo.ojpS iao.903 0,507 — o,ia5 — 0,018 =0,364 1,37
8 ia,5664 157,914 o,5o5 — o,i3o 4-0,011 =o,386 i,3o
9 14,1371 199,859 o.5o4 — o,i33 — o.oii =o,36o 1,39 10 15,7079 a46,74 oo,5o3 — o,i35 -f o.ooç) := 0,377 i,33
Il est difficile d(î dire à <jucl degré sont approchés les amortisse- ments ainsi calculés ; les valeui-s de 0* ( — n^r* \) sont tellement grandes que la convergence arithmétique est peu accentuée, surtout pour n égal à .3 et à 4 ; et on peut se demander si la série Tb' dont nous avons calculé les premiers termes est bien eiïeclivement con- vergente pour ces valeurs de 0*. Quoiqu'il en soit, l'ainoitissement des oscillations de rang pair, (nombre de lignes nodales] est toujours plus grand que celui des oscillations de rang impair voisines. Il semble y avoir une limite commune, probablement voisine de i,45, pour 71 très grand.
384 PROPAGATION DE l'ÉLKCTRICITÉ
Donc, quand on s'arrête aux termes proportionnels àr,, la lon- gueur de l'intervalle des foyers comprend encore un nombre exact de demies longueurs d'onde; l'énergie émise devient sensible" en même temps que Tj, et il en résulte un amortissement dont nous donnons ci-dessus les valeurs.
Quant à la relation entre r, et s, on s'en fera une idée par le tableau suivant :
|
10-1° |
10- ^ |
H)-* |
10-* |
10-2 |
|
0,0775 |
0,0944 |
0, l'i04 |
0, 167 |
0,2 7 -2 |
|
10 ~ " |
10 -* |
10 -' |
10-2 |
IO-' |
V"2E
où V 2£ est la valeur approchée du rapport du diamètre équatorial de la tige à sa longueur.
Précisons par deux exemples : celui d'un fil de 10 mètres de long et de 0,1 millimètre de diamètre et celui d'un large tul)e de mC'ine longueur et de 10 centimètres de diamètre :
|
n |
-6', |
[v'ae = |
10" |
-"] |
— Ô', |
[V2Ê =r 10 |
|
I |
0,0472 |
0,102 |
||||
|
2 |
0,0600 |
0 129 |
||||
|
3 |
0,05;") |
0,119 |
||||
|
4 |
0.0G2 |
0,1 3', |
on voit par là dans quelle énorme proportion il faut augmenter le diamètre des ellipsoïdes allongés pour doubler Tamorlissement.
Cet amortissement est d'ailleurs encore très appréciable puisque même pour un fil fin, l'amplitude de la vibration fondamentale est réduite au tiers après une trentaine d'oscillations seulement (').
(') RcsuUals de M. Abraham, (Wied. Ann. 1898, n" u). — De rinlégrale — inexacte à mon avis, voir p. 35ôj — que M. M. Abraham a donnée pour l'exté- rieur, il a déduit, par un mode de calcul très artificiel, les résultats suivants, que je crois devoir citer ici, bien que méritant aussi peu de confiance que l'intégrale d'où ils dérivent.
Première approximation (p. 4'>2, W. A.) Posons pour les ellipsoïdes allongés
i log (^')
b, petit axe de l'ellipso'ide;
CHAPITRK VI. — OSCILLATIONS DANS US ELL1PS070K Dl IlivOLUTIOM 385
427. Ellipsoïdes de même période que la ligne des foyers.
— Les f(.»rinules(y3 . {y4 soiil îles sululious valables pt>ur toutres[>ace qui uest pas extrêmement voisin de la ligne des foyers. Elles mon- trent plusieurs propriétés curieuses, dont je vais indiiiuer quelque- unes.
Autour (le la ligue des foyers, il y a dans l'espace une infinit<- d'ellipsoïdes, de dimensions finies, doiit la forme peut différer aussi peu que l'on veut de la forme sphériquc, le long ilesquels E, est nul |X)ur une vibration de rang déterminé.
Pour la vibration de rang 7i impair, tous ces ellipsoïdes sont don- nés par
COS = n. a. = , a A" H- I > 71.
Pour ceux de rang pair,
. tîT.s. ik , ^
sm — * ^= o. X — ~ , ik ^ n.
k désignant un nombre entier.
f, distance du centre au foyer: T,', diffère peu de -, t..
= 5 (art — 9,74 T.),
n ■=■ I
$ =: ^ (ai:/ — *J,a3 t,' , n = a
6 = # ari — (9,6^> + \ log n) t,', « > a
Deuxième approximation (p. 4^4 ^^'- ^ )
û I aitt — q.74t.'— 47.4t'- „ _ ,
e
4 1+5,6 rr-
I 4^* — 6.a3 ti — iq.y» fj* , 1 + 3.3 T.* '
__ : 2-.., - IqM 4- 't log n] t.' — g (4.8 -4- ti log n ^ t.'^ n > :i
^ - 4 4.H 4- a lox n ^.^
u '
Ces résultats diffèrent, cumiue uu voit, cuusidôrableoient de ceux donnés dans le texte.
2ô
386 PROPAGATION DB L'KLECTRlCITé
On peut donc construire un conducteur ayant la forme d'un quel- conque^^de ces ellipsoïdes, au moyen duquel on réalisera exactement pour la vibration n correspondante le champ extérieur que donnerait la ligne des foyers. Cette vibration a un amortissement rigoureuse- ment nul. Ce même ellipsoïde jouit encore de la même propriété pour toute la série des vibrations harmoniques n = nji' d'une certaine vibration principale n^. Mais pour toutes les vibrations propres dont le rang n'est pas compris dans la série ng/t', le champ n'est plus donné par les formules 93 et 94 ; et la longueur d'onde n'est plus une fraction exacte du double de la distance des foyers ; l'amortis- sement n'est pas nul.
Le fait vraiment curieux, c'est que la valeur de s^ pour ces ellip- soïdes peut être aussi grande que l'on veut, et que, par conséquent, ces ellipsoïdes peuvent différer aussi peu que l'on veut de la sphère. Cela concorde bien avec la remarque que nous avons faite au sujet de la distribution des amortissements et des périodes propres des vibrations des sphères (n° 365).
428. — De là résulte aussi une autre indication : Partant de la vitesse de propagation des fronts d'ondes transverses toujours égale à la vitesse de la lumière, on aurait pu croire, que dans les corps de révolution, la longueur d'onde diffère peu d'une fraction exacte de la longueur totale de la méridienne. Bien que la considération des fronts d'onde n'ait pas de rapport direct avec les vibrations propres, il est curieux de constater que la longueur de la méri- dienne des ellipsoïdes presque sphériques peut être incomparable- ment plus grande que le produit du rang de la vibration i)ar sa longueur d'onde.
Dbr.mère Remarque. — La période et l'amortissement de la vibra- tion de rang n d'ellipsoïdes homofocaux ne varient pas dans un sens toujours le môme à mesure que l'ellipticitô diminue.
La période et l'amortissement sont des fonctions oscillantes de l'ellipticité.
11 serait curieux de connaître les ellipsoïdes d'amortissement maxi- mum, — ceux de période maximum ou minimum; de savoir aussi,
CHAPITRE Tl. — OSCILLATIONS DAN» ON BLUPSOTdB DB IlivOLUTIOM 387
si la période — est un maximum, un miniinuin, ou un»» période moyenne. Tout cela suppose un ensemble de calculs numériques considérable et coûteux, car cela parait bien diflicilement abordable
du seul point d«^ vue antdytiquo.
TABLEAU I CoBFPiciBirrs db la pongtiox yt
SéUB PAIRB n = 1 a-i-o,8oo.oo 9*— 0,004.571. 4'* — 0,000. iai.90 6*^o,ooo.ooa.io3,4 6* — 0,000.000.017.566, lî»"
0,100.008* -f o,ooa.a85.7l* + o,ooo.o6o.95a6«-fo,ooo 001.051.7 •• + o»<x>ooo*>-«>8-783 6<«
o,oo3.n7i.49* + o,ooo.ia6.98 •• + 0,000003.778.9 •• + o,coo.ooo.o3a 549 •"
o,ooo.o6<j.i389« 4-0,000.003.886 o ft» + 0,000.000.054.377 ••"
0,000.000.751. 596*+ 0,000.000.037.000 6>'
0,000.000.005.781.5 8*«
SiRIB IUPAIRB n =^ 2
6,00000 -f- 0,571.43 82 — 0,003.887.3 8* -f 0,000.014.4^4 ^* + 0,000000.568.17 8*
^ -f 1,000.00
+ 0,071.439 8* + 0,000.647.88 8* — 0,000.002.404.0 8« — 0,000. 000.094.695 8^
+ 0,00 1. 984.1 8* -r 0,000.039.449 8« + 0,000.000. i6a. 66 8*
-f- o,ooo.o3o.o63 8' + 0,000. ooo.566. 33 6^
-|- 0,000.000.389.06 ••
» =
Sébib PAIRB n == ;i
= 13,000.00 + 0,533.33 8* + 0,001.364.8 8* + o,ooo.ti835 8« — 0,000.001.373.7 8«
= 1,000.00
a= — 5,000.00 4- 0.333.33 8» -- 0,000.683.38 8* — 0,000 059.135 8« + 0,000.000.686 83 8«
= — 0,377.78 8» + 0,009.643.7 8» — o.ooo.oo3.8o3 8* — 0,000 005.093.4 8«
= — o,oo6.3i3.i 8* + o,oco.oi8.3io 8« 4- 0,000.000.389.34 8»
s= — 0,000.080.938 8* 4- o,ooo.oo3.o53.4 8«
— 0,000.000.674.48 8»
r3nO PROPAGATION DE l'ÉLECTRICITÉ
TABLEAU I (suite) Série impaire w = 4
% = ao,ooo 4- 0,519.48 92 -f- 0,001.190.2 0* -f 0,000. oi3.i5o 66 — o,ooo.ooo..566.87 6*
b, =
1,000
*3 = — 3,333.3 + 0,080.087 62 — 0,000.198.37 6* — 0,000.002.191.766 + 0,000.000.094.4786»
65 = — 0,106.06 92 -f 0,002.063.0 0* — 0,000.007.998.1 66 — 0,000.000 159.65 98
b-j = — 0,002.039.6 6* -{- 0,000.027.142 66 — 0,000.000148.20 6*
bg = — 0,000.022.663 6* -|- 0,000.000.218 91 6*
Ajj = — 0,000,000.166.64 6*
Série faire n = 5 % = 3o,ooo 4- 0, 512.82 92 -\- 0,000.889 46 9* — 0,000 oo3 116,6 0*
ûffl = 1,000
0-2 — — 14,000 + 0,243.59 02 — 0,000.444 78 6* — 0,000.037.409 6*
«4 = 21,000 — 1,017.1 02 + 0,011. .594 0* — 0,000.001.5583 6'
«fi = 0,807.69 02 — 0,020.269 6* + 0,000. 23i,o8 06
«8 = 0,013.462 0* — 0,000.332.33 6'
ajo = 0,000.131.98 0*
Série impaire n = 6 % =: 42>ooo 4- 0)5o9.09 92 -|- 0,000.669.88 6* -f- 0,000. 001. oiS.o 96
61=:+ 1,000
63= — 6,000 +0,081.81892 — 0,000.111.65 9* — 0,000.000.169.1796
ij = -|- 6,600 — 0,287.27 92 -j- 0,002.332.0 9* — 0,000.004.990 2 96
b-, = + 0,220.00 92 — 0,005.411.1 0* -f 0,000.034.338 96
bg = + o,oo3.235.3 6* — 0,000.057.022 96
6,j = + 0,000.028.380 96
Série paire n = y % = 56,000 + 0,506.7902 4- 0,000.517.470* — 0,000.000.400,85 6*
-f 0,246 61 ©2 — 0,000.258 74 0' — 0,000.000.200,43 0'
— 2,097.3 02 + o,oi2.2.'j9 0' — 0,000.022.822 0'
+ 4,345.2 02 — 0,0.55.024 0' + 0,000.267.28 06
— 2,523.53 02 + 0,076,515 0* — 0,000.742.88 66
— o,o33.2o4 0* + 0,000.764.55 6«
— 0,000.263.53 0*
|
ao = |
1,000 |
|
aa = — |
27,000 |
|
0; = |
99,000 |
|
«6 = - |
85,8oo |
|
ftg = |
|
|
a,o = |
|
|
«» = |
PROPAGATION DB l'ÉLBCTIUCITK
391
U ^
73,000 + "
|
^1 |
== + |
1,000 |
|
*3 |
= — |
11,000 |
|
** |
= + |
a8,6oo |
|
*7 |
= — |
ao,4a9 |
|
6* |
= |
|
|
*.t |
= |
|
|
6.3 |
= |
TABLEAU I (suite) Sérib impairs n = 8
■>-.*, ir, fts -f 0,000.409-94 8* + 0,000.000.180.16 9*
+ o,o8a-456 9' — o,ooo.o68.3ai 6* — 0,000.000.030.037
— o..y6.49 9* + 0,003.44^.8 6* — o,ooo.oo3.3o3. 1 + 0,983.01 6ï — 0.010.307 ftv -f 0,000.037.803
— 0,537.59 •- + b.oi4.3i.ï 6* — 0,000.110.33
— 0,00^.399.9 8* + o,o«o.iat.97 ' — 0,000.046.370
Tl> =
Série pairb n :=r 9 90,000 -{- o,5oî,3o 6* + o,ooo.33a.oo 6* — 0,000.000.089.8^4 9'
1,000
|
oi = — 4^.ooo |
+ |
0.347.90 |
«2 _ 0,000.166 |
|
Oj ^=^ -|- 386,00 |
— |
3,5i3.6i |
62 + 0,013.539 |
|
a, = — 573,00 |
+ |
i3,3i8 |
0* — 0,09^.557 |
|
«8 = + 347.39 |
— |
•8,197 |
6- + o,xio.56 |
|
OlO = |
+ |
8,36871 |
6» — 0,348.40 |
|
0,j = |
+ 0,089.877 |
||
|
«u = |
0* — 0,000 013.096 0* 4- 0,000 378.71 0* — 0,001.307.7 0* T 0,00a 44a.6 0* — 10,001.999.0 -J- 0,000.599.18
Série lxp.urb n = 10 % = 110,000 -f- 0,503.43 ft- + 0,000.374.00 ô» + o,ooo.ooo.o48.ao3 Q*
Al = 4- 1,000
63 = — 17,333 4- 0,083.761 6* — 0,000.045.666 e
ôj = -f 78.000 — o,853 78 e' + 0,003.497.8 0
é7 = — 136,386 + 3,715.59 6- — 0,016. 606
i, = + 66,65o.8 — 3.387..53 0^ + 0.039.818 0
*i, = + 1.448.93 e- - 0,0^0.145
61, = + 0,014.489
*15 =
* — 0,000.000. oo8.o33.8 0*
* — 0,000.003.189.7 6* » + o,ooo.o39.638 6»
* — 0,000 180.39 6« I* + 0,000.339.13 6*
* — o.ooo.a85.58 0* -r 0,000.089.440 6*
392
PROfAGATION DE l'ÉLBCTRICITÉ
TABLEAU II
VALEURS DES COEFFICIBMS
II (-1)
pour la formation de Vèquation 92 et le calcul de la fonction %{s^] près de la ligne des foyers
{m)
Valeurs des H
2p
|
>l = I |
n := 3 |
n == 3 |
^- n = 4 |
||
|
"0 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
1,000 |
|
|
"0 |
— 1,000 |
— 3,000 |
— (j.ooo |
— 10,000 |
|
|
"0 |
0,000 |
3,000 |
i5,ooo |
45,000 |
|
|
p = 0 |
<^ |
0,000 |
0,000 |
— i5,ooo |
— io5,ooo |
|
Ilf' |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
io5,ooo |
|
|
"0 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
|
|
"2 |
0,000 |
0,00a |
0.000 |
0,000 |
|
|
ni |
— 0,400 |
— 0,285.71 |
— 0,266.67 |
— 0,259.74 |
|
|
ih |
i.aoo |
1,714.29 |
2,466.67 |
3,467.53 |
|
|
H^^ |
— 1,200 |
— 4.285.71 |
— 10,800 |
— 22,987.01 |
|
|
p = l |
H(/) |
0,000 |
4,285.71 |
25,000 |
89,805.19 |
|
Hr> |
0,000 |
0.000 |
— 20,000 |
— 200,454.55 |
|
|
"p |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
200,454.55 |
|
|
Hf |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
|
|
h; |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
|
|
«; |
0,002.285.7 |
0,001.943.6 |
— 0,000.682.4a |
— 0,000.595.1a |
|
|
"* |
0.078.857 |
0,035.957 |
0,039.309 |
0,039.386 |
|
|
<^ |
- 0.507.43 |
— oA'il-o'i |
— 0,528 65 |
— 0,660.79 |
|
|
/) = 2 |
1,285.71 — 1,285.71 |
2,113.70 — 5,000 |
3,589.23 — 14.195.39 |
6,026.32 — 34,.")99-79 |
|
|
«ï> |
0,000 |
5.000 |
3i,8i8.»8 |
127.117.26 |
|
|
«:> |
0,000 |
0.000 |
- 3i.8i8.i8 |
— 277, 55 j. ',5 |
|
|
iip |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
27: ■■"'•"'-'- -i'' |
|
|
ni") |
0,000 |
0,000 |
0,000 |
0.000 |
PROPAGATION OB L'itBCTRICITB
393
TABLEAU III
e»d8
VaLBVKS de A LA SURFACE DES ELLIPSOÏDES ALLONGÉS
9 ai.
+ o3
|
4- log'7* |
I + 0.4e» |
|
+ clog'|' |
1 + 0.8O* |
|
+ |
-a.5 — 1.06^ |
|
+ |
+ i,:»6» |
2 + «
+
4-
+ 0,5 + log
+ . log ^-4-
+ +
+ +
(Équation 9a, p. 373) Équation non téouiTE, n = 1 .
— o,ooa.a85.7i4e*j
— o,i55.4a8.6 6' + 0.005.714 3866* I
— 0,062.571.43 6* I J m = 3)
- 0,802 + 1,333.333 6^ — o,3ô.4a8.6 6*1
Km = 4
— o,888.888y.e» + 1,142-857 H^_m
-0,685.7.4.3 e*],^^,^
Équation non niouiTE, n = i.
3 + o.a85.7i4.3e* + 0,001. 943.6356* J
9,0+1,714.286 0* +0,069.970.856*1
_-.5_ 0,714.285.76* + o,oo4.859.o87e*J
-a +0.857.142.96- —0.023.971.49 6*J,^_
- 2.28.5 7>4 0^ + 1.333 33363 - 0,211.208.3 6*]^^ ^ ^
+ i.i42.a57 6» -2.666.6676' + 1.334.629 8*]^^^,
+ 1,333. 3336* - 2,i58.73o «'J^^ ^ g
+ 1,016.873 6*1
Jim = 7 >
394
PR0PA0A1I0N DE L ELECTRICITE
+ 0,5 + log
a+E
+ ElOg-3-
+ + + + + + +
+ 0,5
I 1 a + E
+ log "7^
+ «log-Y-
+
+
+
+
+
+
+
+
TABLE III (suite) Équation non réduite, n = 3.
6 + 0,366.666.70''' + 0,000.683.423.86^
+ 36 — 3.300.000 6' — 0,079.300.20 6*
_ i5 _ 0,666.666.7 0* —0,001.706.060 OM
— 10 +0,355 555.602 — 0,026.20."). 92 OM
4. 3,5— 4,300000 02 + 1,333.33305 — 0,178.558.9 OM,
J(
+ 5,555.556 0^ — 5,333.3330^ + i, 603.443 OM
— 2,222.322 0^ + 6,666.6670'' — 4,6'p-275 0*
— 2,666.6670' + 5,253.535
— 3,030.202
3)
4)
(m =5) 6)
=7)
{m— 8)
Équation non réduite, n = 4-
10+ 0,359.740.302 +0,000.595.120.90*
+ 100+ 5,i9',.8o5 02 +0,079.367.42 OM
— 35—0,649.350.662 —0,001.487.802 OM
— 3o — o,3ii.i82.3i02
-0,026.257.43 0* ,
J(m=:
+ 17,5 — 6,i68.83i 0^+ i,333.33303— 0,149.609.0 9 J,^_
—4,666.667 + 16,008.66 62— 8,888.8890»+ 1,939-960 ^\(mz
— 15,372.73 0- + 30,000.000 0'— 8,446,727 ^* L„i-
5,090.909 02—18,666.67 6'+iil,4''«i-7: ^J(»i=
+ 6,333.2220'^- l44^9.''ï ^J ,,1::
+4,699.301 6^]^^^
PROPAGATION DB L'ÉLBCTRICTrÉ
395
TABLE IV
Valeurs des pactecrs n„^n, v„ ,, (fom. 33 ; p. 342 ET FORM. 4*>, p. 343)
POUR LB CALCUL DBS COEFFICIENTS X, ^ PAR LES ÉQ. 34 ET 4 1
|
I |
n = I |
n = 3 |
n = 5 |
n = 7 |
n = 9 |
|
D,., |
0.333.333.3 |
0,000.000.0 |
0,000.000 0 |
0,000.000.0 |
0,000.000.0 |
|
Dt.n |
0,300.000.0 |
0,057. i4a.86 |
0,000.000 0 |
0,000.000.0 |
0,000.000 0 |
|
Uî,n |
0,142.857,1 |
0,063.492 06 |
o,oii,544-oi |
0,000.000.0 |
0,000.000.0 |
|
Ht.n |
O.III.III.I |
0,060.606.06 |
0,018.648.02 |
0,002.486.402 |
0,000 000.0 |
|
n,.. |
non calculé |
o,o55.944-o6 |
0,023.377.62 |
o,oo5. 365.323 |
0,000.554.344 5 |
|
ns.n |
» |
o,o5 1.282.05 |
0,024.132.73 |
0,007.620.862 |
0,001.451.593 |
|
Ht., |
» |
non calculé |
non calculé |
0,009,435.353 |
0,002.461.396 |
|
n«.n |
» |
» |
» |
non calculé |
0,003.445.955 |
|
n = a |
» = 4 |
n = 6 |
n = 8 |
n = 10 |
|
|
^'l.n |
0, 133.333.3 |
0,000.000 0 |
0,000.000.0 |
0,000 000. 0 |
0,000 000. 0 |
|
»»•*.« |
0,114.285.7 |
0,025.396.83 |
0,000.000 0 |
0,000 000.0 |
0,000.000.0 |
|
*-3,« |
0,095.338.10 |
o,o34.632.o3 |
o,oo5.328.oo5 |
0,000.000 0 |
0,000 000.0 |
|
**i.« |
0,080.808.08 |
0,037.296.04 |
0,009.946.133 |
0,001.170.072 |
0,000.000.0 |
|
'lï.H |
0,069.930.07 |
0,037.296.04 |
o,oi3.i63.3i |
0,002. ;7 1.223 |
0,000 263.936 0 |
|
1-6,n |
non calculé |
0, 036.199 09 |
0,015.241.73 |
0,004.354.778 |
0,000.757.352.^ |
|
'^T.'. |
» |
non calculé |
non calcule |
0.0O5.743.258 |
0,001.378.383 |
|
'*■- |
» |
» |
» |
non calculé |
0,003 043.047 |
TAHLI-: \)K^ MVVW'MKS
LIVRE PREMIER
HISTORIQUI
Chàpuri I. — Fin ilu xviii«^ siècle. Cavendish (§ i-io) i
Chapithb 11. — I).-lnit^ (lu xix -H-dr, Davy — Barlow — Becquerel.
(S U-Jl; l'i
Chapitri ni. — Ohm. (§ aa-5j; « xj
Chapitre IV. — KirchhoH — Claii?;iii'. f§ 56-66) 49
LIVRE n
COURANTS HiRMAÎIB.'«Td OU VARIABLES SAKS WDUCTION
.. 6i
>0TATI05?i
CuiPiTBE I. — Courants dan» l'espace. (§ 67-82) 'it
.CiiiPiTBB 11. - Electrodes de Rrande conductibilité. (S «3-«h) .... :'^ Cbapitrb 1H. — Evaluation approximative des résistances. Lord Ray-
leigh. (§ 90-98) "^
Chap.tri IV. - Résistance d'unoyli-Hi. 1 int, ..les diverse-
Chapitre V. - (Juelques propriétés'.de la fonction JodeBessel. ,> ' ' ^ '
CnpiTRi VI. - (.i\blef«. Étal variable. (§ 1 24-1 5.Î) n;
Chapitre VII. -t.liiunp électrostatique des courants. (i56-î6o). ... .4:
Chapitrr VIII. - fl'a-up élei-trostallque particulier. (.61-169) lu
398
TAULE DBS MATièRES
LIVRE III
INDUCTION
Pages
Expériences fondamentales. Induction dans les circuits
fermés immobiles. (§ 170-179) iSg
Chapitre II. — Induction dans les circuits fermés immobiles Théorie.
(§ 180-19/,) 168
Quelques applications. (§ i9r)-2io) 179
Fils parallèles. (§ 21 i-23o) 192
Bobines cylindriques. Bobines sphériques. (§ 231-240) . 208
Distribution spontanée du courant. (§ 241-248) ... 219 Propagation avec capacité et induction. Mémoire de
Kirchhoff. (§ 249-262) 22G
Chapitre VIII. — Propagation avec induction et capacité. Discussion.
(§ 263-278) 23o
Ghapitrb I.
Chapitre III. Chapitre IV. Chapitrb V. Chapitkb VI. Chapitre VII.
LIVRE IV
LE CHAMP ÉLECTKOMAGNÉTIQUE
Chapitre I. — Le champ d'induction avant Maxwell. (§ 279-295) ... 25 1
Chapitre II. — Le champ de force électrique; Maxwell, Hertr. (§ 296-310). 260
Chapitre III. — Champ d'un élément de courant. (§ 3i 1-327) 274
Cbapitte IV. — Le champ de l'excitateur de Hertz. — K. Pearson et
A. Lee. (§ 328-35i) 290
Chapitre V. — Oscillations d'une sphère. (§ 352-367) 3 14
Chapitre VI. — Oscillations d'un ellipsoïde de révolution autour de
son grand axe. (§ 368-428) 326
TABLES NUMÉRIQUES
Table 1 3gy
Table II 3^^
T"«.«ni 393
Table IV. . 3^5
Planches a la Fin du volume.
tUT-AMA!ID (cita). IMrklMEBK BUSSICII
^ «.
v\^ 11
'r%^
> . /■
^ >
... i^\
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J?^'^^
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A - . S^A .
-Sr'^v^:
./^4
533
B7
Brillouin, Marcel
Propagation de l»^ectricit^
e^6r
t
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